数学选修2－1

第一章：命题与逻辑结构

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

2、真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.

3、若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.

若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.

若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”。

4、四种命题的真假性：

5、四种命题的真假性之间的关系：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）如果要判断一命题的真假，可以转化为其逆否命题的真假性.

6、若，则是的充分条件，是的必要条件．

若，则是的充要条件（充分必要条件）．

7、逻辑连接词

（1）用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．

当、都是真命题时，是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题．

（2）用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．

当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题都是假命题时，是假命题．

（3）对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作．

若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题．

8、全称量词与特称量词

（1）短语“所有的”、“任意一个”、“每一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．

（2）短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．

9、全称命题与特称命题

（1）含有全称量词的命题称为全称命题．

（2）含有存在量词的命题称为特称命题．

10、全称命题与特称命题的否定

（1）全称命题的否定：：，，它的否定：，。全称命题的否定是特称命题。

（2）特称命题的否定：，，它的否定：，。特称命题的否定是全称命题。

第二章：圆锥曲线

1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：

建、设、限、代、化

①建立适当的直角坐标系；②设动点及其他的点；③找出满足限制条件的等式；④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证

2、椭圆的定义：

平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。

3、椭圆的几何性质：

4、双曲线的定义：

平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。

5、双曲线的几何性质：

6、等轴双曲线

（1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

（2）表达式：

（3）性质： 渐近线方程： 两渐近线互相垂直

7、抛物线的定义：

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．

9、抛物线的几何性质：

第三章：空间向量

1、空间向量的概念：

在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小.

向量的大小称为向量的模（或长度），记作．

模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．

与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．

方向相同且模相等的向量称为相等向量．

2、空间向量的加法和减法：

求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．

求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则．

3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．

当时，与方向相同；

当时，与方向相反；

当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．

4、空间任意两个向量，数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：；结合律：．

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．

9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．

10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．

11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．

12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．

13若，为非零向量，为单位向量，则有

；

； ，；

； ．

14空间向量的运算律：

；

；

．

15、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．

16 、设，，则

．

．

．．

若、为非零向量，则．

若，则．

．

．

，，则．

17、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．

18、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则

，．

19、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则

，．

20、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则

，．

21、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有

．

22、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．

23、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．

24、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

25、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．

26、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．