教 学

过 程

教师

行为

学生

行为

教学

意图

时间

*揭示课题

7.3 平面向量的内积

*创设情境 兴趣导入

如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？

介绍

质疑

引导

分析

了解

思考

自我

分析

从实例出发使学生自然的走向知识点

0

5

*动脑思考 探索新知

【新知识】

我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则

i + y j，

即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即

W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500 （J）

图7－22

这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．

如图7－23，设有两个非零向量a, b，作＝a,＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a,b>．

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即

a·b＝｜a||b|cos<a,b> 　　　　　　　 (7.10)

上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.

由内积的定义可知

a·0＝0, 0·a＝0．

总结

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

思考

理解

记忆

带领

学生

分析

引导

式启

发学

生得

出结

果

15

由内积的定义可以得到下面几个重要结果：

（1） 当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|；当<a,b>＝时，a·b＝−|a||b|.

（2） cos<a,b>＝.

（3） 当b＝a时，有<a,a>＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝.

（4） 当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有

a·b＝0ab.

可以验证，向量的内积满足下面的运算律：

（1） a·b＝b·a．

（2） ()·b＝(a·b)＝a·(b)．

（3） (a＋b)·c＝a·c＋b·c．

注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即

a·(b·c)≠（a·b）·c.

请结合实例进行验证.

总结

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

思考

理解

记忆

带领

学生

分析

反复强调

30

*巩固知识 典型例题

例1 已知|a|＝3,|b|＝2, <a,b>＝,求a·b．

解 a·b＝|a||b| cos<a,b> ＝3×2×cos＝3．

例2 已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求<a,b>．

解 cos<a,b>＝＝＝−.

由于 0≤<a,b>≤，

所以 <a,b>＝．

说明

强调

引领

思考

主动

求解

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

40

*运用知识 强化练习

1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为，求a·b．

2. 已知a·a＝9,求|a|．

3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝，求(2a＋b)·b．

提问

巡视

指导

思考

口答

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

况

45

*动脑思考 探索新知

设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以

a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j)

＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j

＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2

＝ x1 x2＋ y1 y2．

这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即

a·b＝ x1 x2＋ y1 y2　　 　 (7.11)

利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则

，即

(7.12)

由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时，

cos<a,b>＝＝. (7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.

由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知

a·b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0．

因此

ab x1 x2＋ y1 y2＝0．　　　　 　(7.14)

利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．

总结

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

思考

归纳

理解

记忆

带领

学生

总结

60

*巩固知识 典型例题

例3 求下列向量的内积：

（1） a＝ (2,−3), b＝(1,3)；

（2） a＝ (2, −1), b＝(1,2)；

（3） a＝ (4,2), b＝(−2, −3)．

解 (1) a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；

(2) a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；

(3) a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．

例4 已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a·b, |a|,|b|, <a,b>．

解 a·b＝(−1)( −3)＋2×1＝5；

|a|＝；

|b|＝；

cos<a,b>＝＝，

所以 <a,b>＝．

例5 判断下列各组向量是否互相垂直：

(1) a＝(−2, 3),　　b＝(6, 4)；

(2) a＝(0, −1),　　b＝(1, −2)．

解 (1) 因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以ab．

(2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直．

说明

强调

引领

讲解

说明

引领

分析

强调

含义

说明

观察

思考

主动

求解

观察

思考

求解

领会

思考

求解

讲解

说明

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

反复

强调

70

*运用知识 强化练习

1． 已知a＝(5, −4)，b＝(2,3)，求a·b．

2． 已知a＝(1,)，b＝(0,)，求<a,b>．

3． 已知a＝(2, −3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．

4. 判断下列各组向量是否互相垂直：

(1) a＝(−2, −3)，b＝(3, −2)； (2) a＝(2,0)，b＝(0, −3)； (3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．

5. 求下列向量的模：

(1) a＝(2, −3)，　(2) b＝(8, 6 )．

启发

引导

提问

巡视

指导

思考

了解

动手

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

况

80

*理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题：

平面向量内积的概念、几何意义?

结论：

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即

a·b＝｜a||b|cos<a, b> (7.10)

a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积．

质疑

归纳强调

回答

及时了解学生知识掌握情况

83

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

引导

回忆

*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．

2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．

提问

巡视

指导

反思

动手

求解

检验

学生

学习

效果

88

*继续探索 活动探究

(1)读书部分：阅读教材

(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）

(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．

说明

记录

分层次要求

90

项目

反思点

学生知识、技能的掌握情况

学生是否真正理解有关知识；

是否能利用知识、技能解决问题；

在知识、技能的掌握上存在哪些问题；

学生的情感态度

学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；

遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；

学生思维情况

学生是否积极思考；

思维是否有条理、灵活；

是否能提出新的想法；

是否自觉地进行反思；

学生合作交流的情况

学生是否善于与人合作；

在交流中，是否积极表达；

是否善于倾听别人的意见；

学生实践的情况

学生是否愿意开展实践；

能否根据问题合理地进行实践；

在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；