第二章 一元二次方程单元综合测试题

一、填空题（每题2分，共20分）

1．方程x（x－3）=5（x－3）的根是_______．

2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的有________．

（1）2y2+y－1=0；（2）x（2x－1）=2x2；（3）－2x=1；（4）ax2+bx+c=0；（5）x2=0．

3．把方程（1－2x）（1+2x）=2x2－1化为一元二次方程的一般形式为________．

4．如果－－8=0，则的值是________．

5．关于x的方程（m2－1）x2+（m－1）x+2m－1=0是一元二次方程的条件是________．

6．

7．x2－5│x│+4=0的所有实数根的和是________．

8．方程x4－5x2+6=0，设y=x2，则原方程变形_________

原方程的根为________．

9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________（写一个即可）．

10．代数式x2+8x+5的最小值是_________．

二、选择题（每题3分，共18分）

11．若方程（a－b）x2+（b－c）x+（c－a）=0是关于x的一元二次方程，则必有（ ）．

A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对

12．若分式的值为0，则x的值为（ ）．

A．3或－2 B．3 C．－2 D．－3或2

13．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（ ）．

A．－5或1 B．1 C．5 D．5或－1

14．已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x2－px+q可分解为（ ）．

A．（x+2）（x+3） B．（x－2）（x－3）

C．（x－2）（x+3） D．（x+2）（x－3）

15已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）．

A．8 B．8或10 C．10 D．8和10

三、用适当的方法解方程（每小题4分，共16分）

17．（1）2（x+2）2－8=0； （2）x（x－3）=x；

（3）x2=6x－； （4）（x+3）2+3（x+3）－4=0．

四、解答题（18，19，20，21题每题7分，22，23题各9分，共46分）

18．如果x2－10x+y2－16y+89=0，求的值．

19．

20．如图，是丽水市统计局公布的2000～2003年全社会用电量的折线统计图．

（1） 填写统计表：

2000～2003年丽水市全社会用电量统计表:

（2）根据丽水市2001年至2003年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率（保留两个有效数字）．

21．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．

（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．

22．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c－a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0．

（1）试判断△ABC的形状．

（2）若a，b为方程x2+mx－3m=0的两个根，求m的值．

23．已知关于x的方程a2x2+（2a－1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

解：（1）根据题意，得△=（2a－1）2－4a2>0，解得a<．

∴当a<0时，方程有两个不相等的实数根．

（2）存在，如果方程的两个实数根x1，x2互为相反数，则x1+x2=－=0 ①，

解得a=，经检验，a=是方程①的根．

∴当a=时，方程的两个实数根x1与x2互为相反数．

上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．

24、如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点B移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?

25、如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动（不与B点重合），动直线QD从AB开始以2cm/s速度向上平行移动，并且分别与BC、AC交于Q、D点，连结DP，设动点P与动直线QD同时出发，运动时间为t秒，

（1）试判断四边形BPDQ是什么特殊的四边形？如果P点的速度是以1cm/s，

则四边形BPDQ还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？

（2）求t为何值时，四边形BPDQ的面积最大，最大面积是多少？

1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒，

（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

（2）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

2、有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动，

（1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5，求时间t；

（2）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7，求时间t；

3、如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D，(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，

且，求这时点P的坐标；

答案:

1．x1=3，x2=10

2．（5） 点拨：准确掌握一元二次方程的定义：即含一个未知数，未知数的最高次数是2，整式方程．

3．6x2－2=0

4．4 －2 点拨：把看做一个整体．

5．m≠±1

6．m>－ 点拨：理解定义是关键．

7．0 点拨：绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想．

8．y2－5y+6=0 x1=，x2=－，x3=，x4=－

9．x2－x=0（答案不唯一）

10．－27

11．D 点拨：满足一元二次方程的条件是二次项系数不为0．

12．A 点拨：准确掌握分式值为0的条件，同时灵活解方程是关键．

13．B 点拨：理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键，同时要注意x2+y2式子本身的属性．

14．C 点拨：灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键．

15．D 点拨：本题的关键是整体思想的运用．

16．C 点拨：本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用．

17．（1）整理得（x+2）2=4，

即（x+2）=±2，

∴x1=0，x2=－4

（2）x（x－3）－x=0，

x（x－3－1）=0，

x（x－4）=0，

∴x1=0，x2=4．

（3）整理得x2+－6x=0，

x2－2x+1=0，

由求根公式得x1=+，x2=－．

（4）设x+3=y，原式可变为y2+3y－4=0，

解得y1=－4，y2=1，

即x+3=－4，x=－7．

由x+3=1，得x=－2．

∴原方程的解为x1=－7，x2=－2．

18．由已知x2－10x+y2－16y+89=0，

得（x－5）2+（y－8）2=0，

∴x=5，y=8，∴=．

19．（1）换元 降次

（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，

解得y1=6，y2=－2．

由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．

由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，

b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解．

所以原方程的解为x1=－3，x2=2．

20．（1）

（2）设2001年至2003年平均每年增长率为x，

则2001年用电量为14.73亿kW·h，

2002年为14.73（1+x）亿kW·h，

2003年为14.73（1+x）2亿kW·h．

则可列方程：14.73（1+x）2=21.92，1+x=±1.22，

∴x1=0.22=22%，x2=－2.22（舍去）．

则2001～2003年年平均增长率的百分率为22%．

21．（1）设每件应降价x元，由题意可列方程为（40－x）·（30+2x）=1200，

解得x1=0，x2=25，

当x=0时，能卖出30件；

当x=25时，能卖出80件．

根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意．

故每件衬衫应降价25元．

（2）设商场每天盈利为W元．

W=（40－x）（30+2x）=－2x2+50x+1200=－2（x2－25x）+1200=－2（x－12.5）2+1512.5

当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．

22．∵x2+x+c－a=0有两个相等的实数根，

∴判别式=（）2－4×（c－a）=0，

整理得a+b－2c=0 ①，

又∵3cx+2b=2a的根为x=0，

∴a=b ②．

把②代入①得a=c，

∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．

（2）a，b是方程x2+mx－3m=0的两个根，

所以m2－4×（－3m）=0，即m2+12m=0，

∴m1=0，m2=－12．

当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），

∴m=12．

23．上述解答有错误．

（1）若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，

∴a2≠0且满足（2a－1）2－4a2>0，∴a<且a≠0．

（2）a不可能等于．

∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，同时a的取值范围是a<且a≠0，

而a=>（不符合题意）

所以不存在这样的a值，使方程的两个实数根互为相反数．