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齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年度高一下学期期末考试

数学试卷

1、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知，那么下列不等式成立的是（ ）

A． B． C． D．

2．某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为2,则该几何体的体积为　(　 )

A. B.

C. D.

3． 若直线∥平面,直线,则与的位置关系是（　　）

A．∥ B．与异面 C．与相交 D．与没有公共点

4．已知l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是　(　 　)

A.若l∥α,m∥α,则l∥m B.若l⊥m,m∥α,则l⊥α

C.若l⊥m,m⊥α,则l∥α D.若l∥α,m⊥α,则l⊥m

5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)

A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定

6. 已知实数x,y满足不等式组则的取值范围是　(　 　)

A. B. C.[-,] D.[-,1]

7.若不等式对任意x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1，3) B．[－1，3] C．(1，3) D．[1，3]

8.圆关于直线对称圆的方程为（ ）

A． B．

C． D．

9.下列正方体中,A,B为正方体的两个顶点, M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．①④ D．②③

10.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=　(　　)

A.- B.1 C.2 D.

11.棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为( )．

A. B. C. D.

12．定义max{a,b}=设实数x,y满足约束条件且z=max{4x+y,3x-y},

则z的取值范围为　(　　 )

A.[-6,0] B.[-7,10] C.[-6,8] D.[-7,8]

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.

13.已知等差数列的前n项和为，若，则的值为 ．

14. 已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的表面积为

15.若x>1，则函数的最小值为 ；

16. 在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若,则 .

三、解答题（共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.(本题10分)如图,在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，

EC平面ABCD,F为BE的中点。

(1)求证：DE∥平面ACF;

(2)求证：BDAE

18.(本题12分)已知锐角△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，求b的值。

19.(本题12分) 已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，M（2，0）满足，点T（-1，1）在AC边所在直线上且满足

（1）求AC边所在直线的方程；

（2）求△ABC外接圆的方程；

20.(本题12分) 三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为，

求(1)三棱锥P-ABC的体积.

(2)异面直线PM与AC所成角的大小.

21.(本题12分) 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).

(1)若l1与圆C相切,求l1的方程.

(2)若l1与圆C相交于P,Q两点,求三角形CPQ的面积的最大值,并求此时直线l1的方程.

22.(本题12分) 已知数列{an}和{bn}满足 (n∈N*),若{an}为等比数列,且,.

(1)求an与bn

(2)设(n∈N*),记数列{cn}的前n项和为Sn.

①求Sn;

②求正整数k,使得对任意n∈N*,均有Sk≥Sn.

数学答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在横线上）

13. 28 14. 15. 5 16. 3

17.(本题10分)

18. (本题12分)

由23cos2A＋cos 2A＝0，

得23cos2A＋2cos2A－1＝0，

解得cos A＝±.

∵A是锐角，∴cos A＝.

又a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴49＝b2＋36－2×b×6×，

∴b＝5或b＝－.

19(本题12分)

（1）∵ AT • AB =0

∴AT⊥AB，又T在AC上

∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，

又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，所以直线AC的斜率为-3．

又因为点T（-1，1）在直线AC上，

所以AC边所在直线的方程为y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．

（2）AC与AB的交点为A，所以由

x-3y-6=0 3x+y+2=0 解得点A的坐标为（0，-2），

∵ BM = MC

∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心

又r=|AM|=

从△ABC外接圆的方程为：（x-2）2+y2=8．

20.(本题12分)

21.(本题12分)

【解析】(1)①若直线l1的斜率不存在,则直线l1:x=1,符合题意.

②若直线l1斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.

由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即:=2,解之得k=.

所求直线l1的方程是x=1或3x-4y-3=0.

(2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,设直线方程为kx-y-k=0,

则圆心到直线l1的距离d=,

又因为△CPQ的面积S=d×2

=d==,

所以当d=时,S取得最大值2.

所以d==,所以k=1或k=7,

所求直线l1方程为x-y-1=0或7x-y-7=0

22.(本题12分)

【解析】(1)由题意a1a2a3…an=(,

b3-b2=6知a3=(=()6=8,

又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),

所以数列的通项an=2n(n∈N*),

所以a1a2a3…an==()n(n+1),所以数列的通项bn=n(n+1)(n∈N*).

(2)①由(1)知

cn=-=-- (n∈N*)

所以Sn=-(n∈N*).

②因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;

当n≥5时,cn=,

而-=>0,

得≤<1,

所以,当n≥5时,cn<0.

综上,对任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4.