第03节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

【考纲解读】

【知识清单】

1．逻辑联结词

（1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作pword/media/image1_1.pngq，读作“p且q”．

（2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作pword/media/image2_1.pngq，读作“p或q”．

（3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作word/media/image3_1.pngp，读作“非p”或“p的否定”．

（4）命题p且q、p或q、非p的真假判断

对点练习：

【2017山东，文3】已知命题p：word/media/image5_1.png；命题q：若a＞b，则word/media/image6_1.png，下列命题为真命题的是

（A） word/media/image8_1.png （B）word/media/image9_1.png （C） word/media/image10_1.png （D）word/media/image11_1.png

【答案】B

【解析】试题分析：由word/media/image12_1.png时word/media/image13_1.png有意义，知p是真命题，由word/media/image14_1.png可知q是假命题，即word/media/image15_1.png均是真命题，故选B．

2．全称量词与存在量词

1．全称量词与全称命题

（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“word/media/image16_1.png”表示．

（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．

（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为word/media/image17_1.png，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．

2．存在量词与特称命题

（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“word/media/image18_1.png”表示．

（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．

（3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为word/media/image19_1.png，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．

3．全称命题与特称命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

（2）“word/media/image20_1.png或word/media/image21_1.png”的否定为：“非word/media/image20_1.png且非word/media/image21_1.png”；“word/media/image20_1.png且word/media/image21_1.png”的否定为：“非word/media/image20_1.png或非word/media/image21_1.png”．

（3）含有一个量词的命题的否定

对点练习：

【2018湖南益阳模拟】已知命题“”，则命题为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由已知，命题为全称命题，其否定需由特称命题来完成，并将其结论否定，即．故正确答案为D．

【考点深度剖析】

对本节的复习应紧扣概念，理解相似概念的异同点，准确把握逻辑连接词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定，本节常与其他知识结合，以小题的形式考查，难度不大，考查方式有两种：一是考查复合命题的真假判断；二是考查含有量词命题的否定．

【重点难点突破】

考点1 含有逻辑联结词的命题

【1-1】【2018广西防城港市模拟】已知命题word/media/image35_1.png “若word/media/image36_1.png，则word/media/image37_1.png”；命题word/media/image38_1.png “若word/media/image39_1.png，word/media/image40_1.png，则word/media/image41_1.png”，则下列命题是真命题的是（ ）

A． word/media/image42_1.png B． word/media/image43_1.png C． word/media/image44_1.png D． word/media/image45_1.png

【答案】B

【1-2】【2018河北衡水信息卷五】已知命题word/media/image47_1.png：word/media/image48_1.png，word/media/image49_1.png，命题word/media/image50_1.png：word/media/image51_1.png，word/media/image52_1.png．则下列命题为真命题的是（ ）

A． word/media/image53_1.png B． word/media/image54_1.png C． word/media/image55_1.png D． word/media/image56_1.png

【答案】C

【解析】word/media/image57_1.png，命题word/media/image58_1.png为真命题；

word/media/image59_1.png，命题word/media/image60_1.png为假命题，考查所给的选项：word/media/image61_1.png是假命题，word/media/image62_1.png是假命题，word/media/image63_1.png是真命题，word/media/image64_1.png是假命题，故选C．

【1-3】【2018四川联测促改】给出两个命题：word/media/image65_1.png：“事件word/media/image66_1.png与事件word/media/image67_1.png对立”的充要条件是“事件word/media/image68_1.png与事件word/media/image69_1.png互斥”； word/media/image70_1.png：偶函数的图象一定关于word/media/image71_1.png轴对称，则下列命题是假命题的是（ ）

A． word/media/image72_1.png或word/media/image73_1.png B． word/media/image74_1.png且word/media/image75_1.png C． word/media/image76_1.png或word/media/image77_1.png D． word/media/image78_1.png 且word/media/image79_1.png

【答案】B

【解析】由于“事件word/media/image80_1.png与事件word/media/image81_1.png对立”是“事件word/media/image82_1.png与事件word/media/image83_1.png互斥”的充分不必要条件，故命题word/media/image84_1.png是假命题；

由题意得命题word/media/image85_1.png为真命题．∴word/media/image86_1.png或word/media/image87_1.png、word/media/image88_1.png或word/media/image89_1.png、word/media/image90_1.png 且word/media/image91_1.png均为真命题，word/media/image92_1.png且word/media/image93_1.png为假命题，故选B．

【1-4】已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞)

C．(－∞，－12)∪(－4，4) D．[－12，＋∞)

【答案】C

【解析】命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12．由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4<a<4．故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．

【领悟技法】

1．逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

2．“pword/media/image2_1.pngq”“pword/media/image1_1.pngq”“word/media/image3_1.pngp”形式命题真假的判断步骤：

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“pword/media/image1_1.pngq”“pword/media/image2_1.pngq”“word/media/image3_1.pngp”形式命题的真假．

3．含逻辑联结词命题真假的等价关系

（1）word/media/image95_1.png真word/media/image96_1.png至少一个真word/media/image97_1.png假．

（2）word/media/image95_1.png假word/media/image96_1.png均假word/media/image98_1.png真．

（3）word/media/image99_1.png真word/media/image96_1.png均真word/media/image100_1.png假．

（4）word/media/image99_1.png假word/media/image96_1.png至少一个假word/media/image101_1.png真．

（5）word/media/image102_1.png真word/media/image103_1.png假； word/media/image104_1.png假word/media/image103_1.png真．

4．命题p且q、p或q、非p的真假判断规律：pword/media/image1_1.pngq中p、q有一假为假，pword/media/image2_1.pngq有一真为真，p与非p必定是一真一假．

【触类旁通】

【变式一】已知命题word/media/image105_1.png：函数word/media/image106_1.png的图像关于直线word/media/image107_1.png对称，word/media/image108_1.png：函数word/media/image109_1.png的图像关于点word/media/image110_1.png对称，则下列命题中的真命题为（ ）

A．word/media/image111_1.png B．word/media/image112_1.png C．word/media/image113_1.png D．word/media/image114_1.png

【答案】A

【解析】函数word/media/image106_1.png的图像如图所示：由图形可知图像关于直线word/media/image107_1.png对称，所以命题word/media/image105_1.png正确；word/media/image115_1.png，所以函数word/media/image109_1.png的图像关于点word/media/image110_1.png对称，所以命题word/media/image108_1.png正确，所以word/media/image111_1.png正确．

【变式二】【2018安徽安庆一模】设命题word/media/image116_1.png，word/media/image117_1.png；命题word/media/image118_1.png：word/media/image119_1.png，word/media/image120_1.png，则下列命题为真的是（ ）

A． word/media/image121_1.png B． word/media/image122_1.png C． word/media/image123_1.png D． word/media/image124_1.png

【答案】A

【解析】命题word/media/image125_1.png word/media/image126_1.png，word/media/image127_1.png，当word/media/image128_1.png时即可，命题为真；

命题word/media/image129_1.png：word/media/image130_1.png，word/media/image131_1.png，当word/media/image132_1.png是，两式相等，命题为假；则word/media/image133_1.png为真，故选A．

考点2 全称命题与特称命题的真假判断

【2-1】【2018山东威海二模】已知命题： “”，命题：“”，则下列为真命题的是（ ）