《指数函数及其性质》教案

一、教材分析

本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1.2指数函数及其性质的内容

二、三维目标

1．知识与技能

（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；

（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；

（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．

2．过程与方法

通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出word/media/image2_1.png次方根的概念，进而学习根式的性质.

3．情感、态度与价值观

（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；

（2）培养学生认识、接受新事物的能力

三、教学重点

教学重点：指数函数的的概念和性质．

四、教学难点

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质

五、教学策略

发现教学法

经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.

六、教学准备

回顾初中时的整数指数幂及运算性质，

word/media/image3_1.png

七、教学环节

引入课题

（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．

我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．

按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

到2050年我国的人口将达到多少？

你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？

上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？

一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

上面的几个函数有什么共同特征？

新课教学

（一）指数函数的概念

一般地，函数word/media/image7_1.png叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意： 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；

注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．

巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）

（二）指数函数的图象和性质

问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

探索研究：

1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：

（1）word/media/image9_1.png

（2）word/media/image10_1.png

（3）word/media/image11_1.png

（4）word/media/image12_1.png

（5）word/media/image13_1.png

2．从画出的图象中你能发现函数word/media/image11_1.png的图象和函数word/media/image10_1.png的图象有什么关系？可否利用word/media/image11_1.png的图象画出word/media/image10_1.png的图象？

3．从画出的图象（word/media/image11_1.png、word/media/image12_1.png和word/media/image13_1.png）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？

4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，word/media/image21_1.png值域是word/media/image22_1.png或word/media/image23_1.png；
（2）若word/media/image24_1.png，则word/media/image25_1.png；word/media/image26_1.png取遍所有正数当且仅当word/media/image27_1.png；
（3）对于指数函数word/media/image21_1.png，总有word/media/image28_1.png；
（4）当word/media/image14_1.png时，若word/media/image29_1.png，则word/media/image30_1.png；

（三）典型例题

例1．在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？

(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；

(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．

解　只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；

(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；6)中令b＝a－1，则y＝bx，b>0且b≠1，所以是．

例2　截止到1999年底，我们人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?

解　设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，

1999年底，我国人口约为13亿；

经过1年(即2000年)人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)亿；

经过2年(即2001年)人口数为13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)2亿；

经过3年(即2002年)人口数为13(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3亿；

……

经过x年人口数为13(1＋1%)x亿；则y＝13(1＋1%)x.

当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿)．

答　经过20年后，我国人口数最多为16亿．

作业布置

1．已知指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于(　　)

A.　　　　　　 B．2

C．4 D.

解析：∵指数函数在其定义域内是单调函数，

∴端点处取得最大、小值，

∴a0＋a＝3，故a＝2.

答案：B

2．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有(　　)

A．f(xy)＝f(x)f(y)

B．f(xy)＝f(x)＋f(y)

C．f(x＋y)＝f(x)f(y)

D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C.

答案：C

3．某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是____________________．

答案：y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m)

4．已知a，b＞1，f(x)＝ax，g(x)＝bx，当f(x1)＝g(x2)＝2时， 有x1＞x2，则a，b的大小关系是(　　)

A．a＝b B．a＞b

C．a＜b D．不能确定

解析：∵a＞1，b＞1，

由图示知b＞a.

答案：C