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切线法证明条件不等式

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原帖由神龙在天于2010-11-9 17:32 发表Q
已知 An=2+ 1 / [ （--2）An--1/3 ] , + ......+ 求证：
（--1）*A1 + 1 （--1）A2*A2 + （ --1）A3*A3 （ --1）An*xn < 请问怎么做最简单？最直观的思路是什么？
then we just need to prove: Su — q Q + Q 十…+ q < 1 If 11 is an even number?then we have: 1 1 1 1 --- 1 ----------- < -------- 1 ---
(—1“ 2乳—1 2n 9n-l _ H so Sn
= C\ +C2 + + Cn < ㊁ + 羽 + 尹 + …+ 帀 < 1
If n is an odd numberjthen we have:
So the inequality is proved
设 b[n]=(-1人na[n]
则有 b[2门-1]=-2+3/[3*2人(2n-1+1] , b[2门]=2+3/[3*2人(2n-1] 由于 b[2n]>0 ,因此 b[1]+b[2]+...+b[2n-1] 因此只要证明
b[1]+b[2]+...+b[2 n]<1 成立即可，其中
b[2n-1]+b[2 门]=3/[3*2人(2 门-1+1]+3/[3*2人(2 门-1]=27*2人(2 门/[9*2人(4 n+3*2^(2 门-1]<27*2人(2 n/[ 9*2 A(4n ]=3/2 ^(2n
b[1]+b[2]+...+b[2 n]=(b[1]+b[2]+...+(b[2 n-1]+b[2 n] <3/2人2+...+3/2人(2 门=1-1/2人(2 n<1
因此.......
上面这个题目是并组放缩的方法
F面是切线法证明不等式
兀” £非貝fiA，+屛+Z2 = 1
证明迟右《学
切线法证明：

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厂密右-护
16 ?¥卜沁1卜。吃

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(Nesbitt, 1903 For all positive real numbers a. b. e. we have a u C b + c c 4- a a + b

Proof 13k We mQy n^rma/ue o + 6 + c = 1- Note that 0 < aPb. e < The problem is now io pmve £ M E + 丫亠 E > f\ 訂•曲电 /W = €
IGPELLC
' /
The Equation of the tangent line of / at x = is fjiven by yi =如・ We c/aw that /(ST > B3^"] for all x € (0. 1- It folluw& frarn th& identity
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（字_丄F
如7）
AYIHL u?e umcludt that
CVCLEE
匚ycHu cyclic
The jabuve argiiuicnt can ba gcn-cralizDcL If 赳 fiinctiDn / hits 自 siipjjorting line at some jioiiit on the grajili ijf f, tlich / satisfies Jctiscu's ihcciimlity in the fallowing sense.
Problem 26P [Japan 1997 Let us b. and e be postitive real jmmbers・ PVUUE that
(b + c — 2
(c + a — &2 (u + t —上尸性 3
少 + 起尸 + 以 + (C + G2 + 62 + (a + &}2 +e2 " 5
Frooj. Because of the houicgeiieity of the inequality, wo may iiorEciaLizo to a + i> -r e = 1・ It tm.lo?5 the fbrni ]1-%产 (1-绚z {1-加尸
111 古芒-加十1 "能-对十1 - 2c2 -饥f L (1 —。尸 + G2 (1 —亦2 + 护 (1