2010年全国硕士研究生入学统一考试

农学门类联考

数学试题参考答案

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸...

指定位置上. (1 设函数(((

33x e e f x x x e −=−−,则 (

(A 3x =及x e =都是(f x 的第一类间断点. (B 3x =及x e =都是(f x 的第二类间断点.

(C 3x =是(f x 的第一类间断点,x e =都是(f x 的第二类间断点. (D 3x =是(f x 的第二类间断点,x e =都是(f x 的第一类间断点. 答案:C

详解:((333

33311lim lim lim 333313x x x x x x e e e e e e x x e e x e e →→→−−===

−−−−−−, ((331

lim lim

33x e x e x e e e e e x x e e x e

→→−−==∞−−−−, 3x ∴= 是(f x 的第一类间断点,

x e = 是(f x 的第二类间断点. (2 曲线(

2

4x

y x =

−的凸弧区间是 (

(A(,8−∞−. (B(8,4−−. (C(4,4−. (D(4,+∞. 答案:A 详解:(

2

4x

y x =

−, (

3

4

4x y x −−′=

−, (

4

216

04x y x +′′=

<−,

∴在 (,8−∞−上,曲线是凸的

(3 设函数(f x ,(g x 具有二阶导数,(((00,0,0g x a g x g x ′′′==<,则((

f g x 在

0x 取极大值的一个充分条件是 (

(A (0f a ′<. (B (0f a ′>. (C (0f a ′′<. (D (0f a ′′>. 答案:B 详解:({

}((f g x f g x g x ′′′=⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,

({

}

((((2

f g x f g x g x f g x g x ′′

′′′′′′=⋅+⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦

⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 由于 (00g x ′=,得:

({}((((0

0f g x f g x g x f a g x ′′

′′′′′′=⋅=⋅<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.

由于 (00g x ′′<,所以 (0f a ′>

(4 设函数(f x 在区间[]0,1上连续,(01f x <<,且

(1

1

2

f x dx <

∫

,记 (((11001I f x f y dxdy =−∫

∫

,(((11

200

1I f x f y dxdy =−∫

∫,

(((11

300

I f x f y dxdy =∫

∫,则 (

(A123I I I <<. (B132I I I <<. (C213I I I <<. (D321I I I <<. 答案:D 详解: ((((100

11I f x dx f y dy f x dx f x dx =

⋅−=⋅−∫

∫

∫

∫

((((1

1

1

1

2000011I f x dx f y dy f x dx f x dx =⋅−=⋅−⎡⎤⎡⎤⎣

⎦⎣⎦∫∫∫∫ ((((1

111

30

I f x dx f y dy f x dx f x dx =

⋅=⋅∫

∫∫∫,

由于 (01f x <<,所以 ((f x f x >((11f x f x −>−

((1

f x dx f x dx ∴>∫

∫,((1

011f x dx f x dx ∴−>−⎡⎤⎣

⎦∫

∫,12I I ∴>. 又

(((1

1

1

1

0000111f x dx dx f x dx f x dx −=−=−⎡⎤⎣⎦∫∫∫∫,且(1

12

f x dx <∫. ((1

1

001f x dx f x dx ∴−>⎡⎤⎣

⎦∫∫, 23I I ∴>, 123I I I ∴>>

(5 设向量组12:,,r I ααα 可由向量组12:,,s II βββ 线性表示,下列命题正确的是

(

(A 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B 若向量组I 线性相关,则r s >. (C 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D 若向量组II 线性相关,则r s >. 答案:A

详解:由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以((r I r II ≤,即

11(,,(,,r s r r s ααββ≤≤

若向量组I 线性无关,则1(,,r r r αα= ,所以11(,,(,,r s r r r s ααββ=≤≤ ,即

r s ≤,选(A.

(6 设A 为4阶实对称矩阵,且2

A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 (

(A1110⎛⎞⎜⎟

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎝⎠. (B 1110⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟⎜⎟−⎜⎟

⎝⎠. (C 1110⎛⎞

⎜⎟

−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟

⎝

⎠. (D 1110−⎛⎞

⎜⎟

−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟

⎝

⎠. 答案:D

详解:设λ为A 的特征值,由于2

0A A +=,所以2

0λλ+=,即(10λλ+=,这样A 的特征值为-1或0。由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ∼,((3r A r =Λ=,

因此,1110−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟Λ=⎜⎟−⎜⎟⎝⎠,即1110A −⎛⎞

⎜⎟

−⎜⎟Λ=⎜⎟−⎜⎟

⎝⎠

∼。 (7 设随机变量X 服从(1,1−上的均匀分布,

事件{}01A X =<<,14B X ⎧

⎫

=<⎨⎬⎩⎭

,则( (A (0P AB =. (B ((P AB P A =. (C ((1P A P B +=. (D (((P AB P A P B =⋅. 答案:D

详解:1

1111

4((01;(044428P AB P x x P x =<<−<<=<<==

1

((012

P A P x =<<=

11(

11144((4424

P B P x −−=−<<== (((P AB P A P B ∴=⋅

(8 设1,,n X X …使来自总体(2

,N μσ(0σ>的简单随机样本,记统计量2

1

1n i i T X n ==∑,

则ET = ( (A

2σ. (B 2μ. (C 22σμ+. (D 22σμ−.

答案:C

详解:22

22211111(((n n

i i i i i i ET E X E X n DX E X u n n n

σ==⎡⎤===⋅+=+⎣⎦∑∑ 所以选择C 项

二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...

指定位置上. (9 lim x

x x x a →∞⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠

. 答案:a

e

详解:lim lim 1ax x a x a

x a

a x x x a e x a x a −−→∞→∞⎡

⎤⎛⎞⎛⎞⎢⎥=+=⎜⎟⎜⎟⎢⎥−−⎝⎠⎝

⎠⎣

⎦

(10 曲线22

2sin cos x x

y x x

+=−的水平渐近线的方程为y = . 答案:2y =−

详解:2

222

sin 22sin 20lim

lim 2cos cos 011x x x x x x x x x x

→∞→∞+

++===−−−− (11 已知一个长方形的长x 以0.2m/s 的速率增加,宽y 以0.3m/s 的速率增加,当12x m =,

5y m =时,其面积增加的速率为 .

答案: s m /6.42

详解:设(,(x x t y y t ==,

由题意知,在0t t =时刻00(12,(5x t y t ==,且00(0.2,(0.3x t y t ′′==, 又(((S t x t y t =,所以(((((S t x t y t x t y t ′′′=+

所以 00000(((((0.25120.3 4.6S t x t y t x t y t ′′′=+=⋅+⋅=

(12 函数1

x y z y

−=在点(1,e 的全微分(1,e dz = .

答案:21dx dy e

+

详解:因为1x y z y −=,所以(1,1

1e z e

=−,且变形为 ln 11x x y yz y e =−=−

对上式两端微分,有ln 1ln ln x y

x x zdy ydz e

ydx x dy y ydx dy y y ⎛⎞⎛⎞+=+⋅=+⎜⎟⎜

⎟⎝⎠⎝

⎠ 所以 2

ln x x y y xy yz

dz dx dy y y −=+

所以 (21,1

e dz dx dy e

=+

(13 设111123A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠

,T A 为A 的转置矩阵,则行列式T

A A = .

答案:0

详解:T

A A 是3阶矩阵,A 为23×矩阵 ((2,0T

T

r A A r A A A ∴≤≤ ∴= (14 设随机变量X 的概率分布为{}(

1

1,1,2,k P X k k θθ−==−= ,其中01θ<<,若

{}5

29

P X ≤=,则{}3P X == .

答案:4

27

详解:11

21(2(1(2(1

(1(1P X P X P X θθθθθθθ−−≤==+==−+−=+−

2529θθ⇒−=

得15

,33

θθ==(舍 22114

(3(1(13327

P X θθ==−=−=

三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15 (本题满分 10分

设函数(ln tan cos 22x x f x e x −=+,求(2

f π′′. 详解:(ln tan

cos 22

x

x f x e x −=+ 则211

(sec cos 2(2sin 222tan 2

x x x f x e x e x x −−′=⋅⋅−+−

csc cos 22sin 2x x x e x e x −−=−− 4分

所以(cot csc cos 22sin 22(sin 22cos 2x

x x x f x x x e

x e x e x e x −−−−′′=−⋅++⋅−−+⋅

cot csc (4sin 23cos 2x x x e x x −=−⋅+− 8分

所以 2

(32

f e

ππ

−

′′= 10分

(16 (本题满分10分

计算定积分2

x xdx π∫

详解:令2,,2t x x t dx tdt ===

所以20

cos 22sin I t t tdt t d t π

π=

⋅=∫∫ 4分

20

2sin 4sin t t t tdt π

π=−∫ 6分

=

00

4cos 4cos 4cos td t t t tdt π

π

π

=−∫

∫ 8分

4π=− 10分

(17 (本题满分11分

设某农作物长高到0.1m 后,

高度的增长速率与现有高度y 及(1y −之积成比例(比例系数0k >,求此农作物生长高度的变化规律(高度以m 为单位. 详解:由题意得

(1dy

ky y dt

=− 4分 即

(1dy kdt y y =−∫

∫,所以1ln 1

y

kt C y =+−

解得1

kt

kt

Ce y Ce =− (0.1y m ≥ 9分

代入初始条件(00.1y =解得19

C =−

所以化简得9

kt

kt e y e =+ 11分

(18 (本题满分11分

计算二重积分[]sin(D

I x xy dxdy =+∫∫,其中区域{}22

,2,1D x y x y x =+≤≥(. 详解:[]sin(sin(D

D

D

I x xy dxdy xdxdy xy dxdy =

+=+∫∫∫∫∫∫

因为D 关于x 轴对称,且sin(D

xy dxdy ∫∫的被积函数为y 的奇

函数,所以sin(0

D

xy dxdy =∫∫ 3分

又因为

1

2

40

sec 22cos D

D xdxdy xdxdy d r rdr π

θ

θθ==⋅∫∫∫∫∫

6分

2

240

sec 2cos d r dr π

θ

θθ= ⋅∫

443200221

42212cos cos 3

3cos 33cos d d π

π

θθθθθθ⎛⎞⎡⎤=− =−⋅ ⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣

⎦∫∫ 24

40

042

2cos 3

3d d π

π

θθθθ= −∫ 8分

422

333

=

−= 11分 (19 (本题满分10分

证明:1

11(0x e x x +⎛⎞+>>⎜⎟

⎝⎠

.

证明:令1

1(1(0x F x x x +⎛⎞

=+ >⎜⎟⎝⎠

对等式两边同时取对数,1ln ((1ln(1F x x x

=++ 对等式两边同时求导数得:2111111

'(ln(1(1ln(11(1F x x F x x x x x x

−⋅=+++⋅⋅=+−+

3分

又因为0x >时,ln(1x x +<

11111

ln(1'(ln(10(F x x x F x x x

∴+< ∴⋅=+−<

又(0,'(0(F x F x F x > ∴< ∴∵单调递减 7分

又1111lim (lim (1lim (1(1x x x x x F x x x x

+→+∞→+∞→+∞=+=+⋅+11

lim (1lim (1x x x e x x →+∞→+∞=+⋅+=

所以1

1(,(1x F x e e x

+> ∴+> 10分

(20(本题满分 10分

设1101011a

A a a ⎛⎞⎜⎟

=−⎜⎟

⎜⎟⎝

⎠,211β−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠

已知线性方程组Ax β=有2个不同的解,求a 的值和方程组Ax β=的通解. 详解:已知Ax β=有2个不同的解 ((,3r A r A β∴=<

又2

0(1(10A a a = −+= 知1a =或-1 4分 当1a =时,(1(,2r A r A β=≠=此时Ax β=无解 6分

1a ∴=−

31012111211121(,020102010102111100000000A β⎛

⎞−⎜⎟−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟

⎜⎟⎜⎟

⎜⎟=−→−→−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠

原方程组等价为1323212x x x ⎧−=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩,即3

12333212x x x x x ⎧

=+⎪⎪⎪

=−⎨⎪=⎪⎪

⎩1

23332110210x x x x ⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟∴=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠

Ax β∴=的通解为32110210x k ⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎜⎟

⎜⎟⎜⎟=+−⎜⎟⎜⎟

⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟

⎝⎠

,k 为任意常数。 10分 (21 (本题满分11分

设11124335A a −⎛⎞

⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠

,6是A 的一个特征值,

(I 求a 的值;(II 求A 的全部特征值和特征向量. 详解:(I由于6是A 的特征值,故60E A −=,即

51122122403

3

1

a a −−−=+=

由此可得2a =− 2分

(II111242335A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠

21

112

4

2

(2(603

3

5

E A λλλλλλ−−−=−−=−−=−

故A 的特征值为1,232,6λλ== 5分

由(20E A x −=,即1231112220333x x x −⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

−−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠

111111222000333000−−⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟−−→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠ 解得基础解系为12111,001ξξ−⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟

==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠

,

故对应于122λλ==的全部特征向量为112212,,k k k k ξξ+为不同时为零的常数. 9分

由(60E A x −=,即1235112220331x x x −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟

−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠

511111222032331000−−−⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟−→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠

解得基础解系为3123ξ⎛⎞

⎜⎟

=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠

,故对应于36λ=的全部特征向量为333,k k ξ为不为零的常数.

11分

(22 (本题满分10分

设二维随机变量(,X Y 的概率分布为

Y X

1− 0 1

13 0 a

1

14

b

112

且

{}1|03

p X Y X +===

. 求 (I 常数,a b ; (II ov(,C X Y .

详解:(I由二维离散型随机变量分布律的性质可得

111

13412

a b ++++= ① {}{}{}{}{}1,00,111010033

P X Y X P X Y a

P X Y X P X P X a +====+===

=====+ ② 由①,②可得11

,66

a b =

= 4分 (II((((,Cov X Y E XY E X E Y =−

((111

11114126E XY −=×−×+××=

(1111

146122

E X ⎛⎞=×++=⎜⎟⎝⎠

⎛1 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ −1 E (Y = ( −1 × ⎜ + ⎟ + 1× ⎜ + ⎟ = ⎝ 4 3⎠ ⎝ 12 6 ⎠ 3 Cov ( X , Y = E ( XY − E ( X E (Y = (23 (本题满分 11 分 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x = ⎨ 8分 −1 1 ⎛ 1 ⎞ − ×⎜− ⎟ = 0 6 2 ⎝ 3⎠ ⎧ x , − 1 < x < 1, ⎪ 2 令Y = X + 1 ，求 ⎪0, 其他。 ⎩ 3⎫ ⎬. 2⎭ 10 分 ( I Y 的概率密度 fY ( y ; ( II P ⎨−1 < Y < ⎧ ⎩ 详解：( I 设 Y 的分布函数为 FY ( y ，则 FY ( y = P {Y ≤ y} = P { X 2 + 1 ≤ y} = P { X 2 ≤ y − 1} 若 y ≤ 1 ，则 FY ( y = P X ≤ y − 1 = P ( ∅ = 0 2 2分 3分 { } 若 1 < y < 2 ，则 FY ( y = P − y − 1 ≤ X ≤ { y −1 = ∫ } y −1 − y −1 x dx = 2 ∫ y −1 0 xdx = y − 1 5分 若 y ≥ 2 ，则 FY ( y = P − y − 1 ≤ X ≤ { y − 1 = ∫ x dx = 1 −1 } 1 6分 y ≤1 ⎧0, ⎪ Y 的分布函数为 FY ( y = ⎨ y − 1, 1 < y < 2 ⎪1, y≥2 ⎩ ⎧1, 1 < y < 2 Y 的概率密度函数为 fY ( y = FY′ ( y = ⎨ ⎩0, 其它 (II P ⎨−1 < Y < 8分 ⎧ ⎩ 3⎫ 3⎫ 3 1 ⎧ ⎛3 ⎞ ⎬ = P ⎨Y < ⎬ − P {Y ≤ −1} = F ⎜ − 0 ⎟ − F ( −1 = − 1 − 0 = 2⎭ 2⎭ 2 2 ⎩ ⎝2 ⎠ 11 分 数学(农试题答案 第 11 页 共 11 页