河北省石家庄市精英中学2019年高一数学下学期期末考试模拟试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡上）

1. 已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：采用特殊值法，，且，则，对数进行赋值。

点睛：利用特殊值，对选项进行排除是选择题中判断不等式成立的基本方法，注意赋值时要考虑题意。

2. 在△中，,则等于

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析：先解角,由正弦定理求边。

详解：，由正弦定理,解得。故选C。

点睛：已知两角用正弦定理求解

3. 下列命题正确的个数为

①梯形一定是平面图形；

②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.

详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.

点睛：(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.

4. 在数列中，，则等于

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】分析：已知逐一求解。

详解：已知逐一求解。故选D

点睛：对于含有的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律。

5. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为

A. B. C. D.

【答案】B

..................

考点：圆锥的几何性质及侧面积公式.

6. 设数列是等差数列，若，则等于

A. 14 B. 21 C. 28 D. 35

【答案】C

【解析】分析：利用等差中项的性质先求，。

详解：，故选C

点睛：等差数列的性质：若，则。

7. 下列说法正确的是

A. 相等的角在直观图中仍然相等

B. 相等的线段在直观图中仍然相等

C. 正方形的直观图是正方形

D. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

【答案】D

【解析】分析：找反例用排除法筛选出正确答案。

详解：等腰三角形的两底角相等，但在直观图不相等，故A错误。

正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，故B,C错误。故选D

点睛：直观图：与轴平行的直线不变，与轴平行的角度变为，长度变为原来的一半。

8. 在△中，角所对的边分别为,若，则△为

A. 钝角三角形 B. 直角三角形

C. 锐角三角形 D. 等边三角形

【答案】A

【解析】由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.

9. 设满足约束条件则的最大值为

A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

【答案】B

【解析】试题分析：作出约束条件的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时有最大值，由得，将代入得，即的最大值为，故选B．

考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．

【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．

视频

10. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了

A. 192里 B. 96里 C. 48里 D. 24里

【答案】B

【解析】由题意有：此人每天所走的路程形成等比数列，其中公比，则，解出，所以，选C.

11. 已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．

考点：异面直线所成的角．

【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．

视频

12. 如图，在平面四边形中，，将其沿对角线对角折成四面体，使平面⊥平面,若四面体的顶点在同一球面上，则该求的体积为

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，

使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，

BC的中点就是球心，所以BC=2，球的半径为：；

所以球的体积为：．

故答案选：A ．

点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡上）

13. 直线在轴和轴上的截距相等，则实数=__________.

【答案】1或-2

【解析】分析：先分别设解出直线在轴和轴上的截距，当，当，列方程求解。

详解：当，当，直线在轴和轴上的截距相等，所以，解得

点睛：求坐标轴上的截距，只需要即可不用化为截距式求。

14. 如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为_______________.

【答案】1：1

【解析】分析：在半球里挖去一个圆锥，计算半球和圆锥的体积即可。

详解：球的半径为2，故体积的公式为，圆锥的体积

剩余部分与挖去部分的体积之比1：1

点睛，组合体的体积，要弄懂组合体的结构，哪些被挖去，哪些是留下来的。

15. 若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为_____________.

【答案】（-3，0）

【解析】分析：一元二次不等式，所以，时，求解的取值范围

详解：题意为一元二次不等式故，，函数开口向上不可能对一切实数，都位于轴的下方。所以当时.

点睛：二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式

问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想，我们要灵活的应用。

16. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两条直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是________.（填命题的序号）

【答案】①③

【解析】分析：将可换命题放在几何体中研究，逐一排除即可

详解：

垂直于同一平面的两条直线平行，可换命题为垂直于同一直线的两个平面平行。①对

垂直于同一平面的两平面平行，可换命题为垂直于同一直线的两直线平行。异面直线就不平行。所以②错。

平行于同一直线的两条直线平行，可换命题为平行于同一平面的两个平面平行。③对

平行于同一平面的两直线平行，可换命题为平行于同一直线的两平面平行。所以④错误

点睛：而借助几何图形处理直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系问题，是常见解法，学生要多熟练。

三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 在△中，内角所对的边分别为.若， 求△的面积.

【答案】

【解析】分析：利用余弦定理先求，再由面积公式求解即可。

详解：由，可得，

由余弦定理：，

所以：，

所以；

所以。

综上所述：答案为.

点睛：条件为三边的二次齐次式用余弦定理化简，以为整体求解代入面积公式。

18. 根据所给的条件求直线的方程：

（1）直线过点（-4，0），倾斜角的正弦值为；

（2）直线过点（5，10），到原点的距离为5.

【答案】（1）x−3y+4=0或x+3y+4=0；（2）x−5=0或3x−4y+25=0.

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先设出所求直线的倾斜角为，然后由已知条件并运用直线的斜率公式可求出其斜率，进而由点斜式可得出其所求的直线方程；（Ⅱ）分直线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，然后由点到直线的距离公式可求出所求的直线的方程即可得出所求的结果．

试题解析：（Ⅰ）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为，则，从而，则．故所求直线方程为．即．

（Ⅱ）当斜率不存在时，所求直线方程为；当斜率存在时，设其为，则所求直线方程为，即．由点到直线距离公式，得，解得k＝．故所求直线方程为．综上知，所求直线方程为或．

考点：1、直线的方程；2、直线与直线的位置关系．

19. 如图，四棱锥中，⊥平面，底面为正方形，为的中点，.

（1）求证：；

（2）边上是否存在一点，使得//平面？若存在，求的长，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）23.

【解析】分析：（1）要证明，需证面，需证：，用分析法书写即可。

（2）连结AC,取AC中点O,连结EO,GO,延长GO交AD于点M,则PA∥平面MEG，再求解

详解：(Ⅰ)证明：∵PD⊥平面ACD，∴PD⊥BC

又∵ABCD是正方形∴BC⊥CD

∵PD∩CD=D

∴BC⊥平面PCD

又∵PC⊂面PBC

∴PC⊥BC

（2）连结AC,取AC中点O,连结EO,GO,延长GO交AD于点M,则PA∥平面MEG

下面证明之

∵E为PC的中点，O是AC的中点，

∴EO∥PA,

又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG

∴PA∥平面MEG

在正方形ABCD中,∵O是AC的中点,∴△OCG≌△OAM，

∴AM=CG=23,∴所求AM的长为23.

点睛：（1）证明线线垂直，转化为线面垂直，证明线面垂直转化为线线垂直，用分析法思考，用综合法书写。

（2）探讨型问题，往往找特殊点，有中点找中点，有比例关系找有比例关系的点。

20. 如图，△内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，平面，.

（1）求证：⊥平面；

（2）设，表示三棱锥的体积，求函数的解析式及最大值.

【答案】（1）见解析；（2）解析式见解析，最大值为3√3.

【解析】分析：（1）要证（1）要证平面，需证平面，需证,用综合法书写即可。

（2）由（1）可知平面，所以体积为,，利用均值不等式求解最大值。

详解：(1)证明：∵四边形DCBE为平行四边形,∴CD∥BE,BC∥DE.

∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.

∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C.

∴BC⊥平面ADC.

∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC；

(2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.

在Rt△ABE中,AB=2,EB=3√.

在Rt△ABC中,∵AC=x,BC=4−x2−−−−−√(0

∴S△ABC=12AC⋅BC=12x⋅4−x2−−−−−√，

∴V(x)=VE−ABC=3√6x⋅4−x2−−−−−√,(0

∵x2(4−x2)⩽(x2+4−x22)2=4,当且仅当x2=4−x2,即x=2√时，取等号，

∴x=2√时,体积有最大值为3√3.

点睛：证明线面垂直，转化为线线垂直，求体积的最值，建立体积的函数关系式，注意自变量的取值范围。求最值可用均值不等式，也可求导。

21. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时（万元）.每件商品售价为0.05万元.通过分析，该工厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【答案】（1）见解析；（2）100.

【解析】分析：此题以分段函数为模型建立函数表达式，设千件产品的销售额为万元，当时，年利润；当时，年利润.再分别求每段函数的值域得出结论。

详解：∵每件产品的售价为0.05万元，∴x千件产品的销售额为0.05×1 000x＝50x万元．①当0时，年利润L(x)＝50x－x2－10x－250＝－x2＋40x－250＝－ (x－60)2＋950，

∴当x＝60时，L(x)取得最大值，且最大值为L(60)＝950万元；

②当x≥80时，L(x)＝50x－51x－＋1 450－250＝1 200－≤1 200－2＝1 200－200＝1 000，当且仅当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．

由于950<1 000，

∴当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为

1 000万元．

点睛：分段函数的实质是将几个基本函数分段的陈列出来，定义域取不同的范围，所以综合性很强，可以将高中体系的任何一个函数及其知识点吸纳进来，要求学生储备的知识很多，不易入手。研究分段函数的性质，实质是研究分段函数的图像，故分段函数题型的方法用数形结合法。分段函数的研究方法很好的体现了研究函数性质的方法故是高考的热门考点

22. 已知数列的前项和（其中），且的最大值为8.

（1）确定常数，并求；

（2）设数列的前项和为，求证：.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由二次函数知识可知当时，，解得，这时由可求数列的通项公式；

（2）因为是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积构成的，所以可用错位相减法求数列的前项和.

试题解析： （1）因为，又因为，所以当时，，解得，这时；

所以，当时，，又也适合这个公式，所以.

（2）设，则，…①

所以…②

①②得，所以.

考点：1.二次函数；2.与关系；3.错位相减法求和.

【名师点睛】本题考查.二次函数、与关系、错位相减法求和，属中档题；错位相减法求和的思想来源于等比数列的求和思想，主要解决一个等差数列与一个等比数列对应项积组成的数列的求和问题，具体思路为：先写出和式，在和式两边同乘以等比数列的公比，用和式减去乘以的式子，得到一个新的式子，从而转化为一个等比数列的求和问题与另外一项或两项的的和的问题，这样就可以求和了，但要注意新的式子中等比数列的项数.

高一下学期期末模拟试卷

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数的值，从而计算得解.

【详解】执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数的值，

由于，可得，则输出的y等于4，故选C.

【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有读取程序框图的输出的结果，在解题的过程中，需要明确框图的功能，从而求得结果.

2. 已知角的终边经过点，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得，，求出的值，逐项分析，求得结果.

【详解】由题意可得，所以，，，综上所述，答案选C.

【点睛】该题考查的是有关任意角的三角函数的定义，在解题的过程中，需要利用定义将角的三角函数值求出，逐项对照求得结果.

3. （ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

原式中的角度变形后，利用诱导公式化简计算即可得到结果.

【详解】

，

故选D.

【点睛】该题考查的是有关运用诱导公式化简求值的问题，在解题的过程中，正确运用公式是解题的关键.

4. 在瓶牛奶中，有瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，而满足条件的取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，根据古典概型公式，代入数据，求出结果.

【详解】由题意知，该题是一个古典概型，

因为在50瓶牛奶中任取1瓶有50种不同的取法，

取到已过保质期的牛奶有5种不同的取法，

根据古典概型公式求得，故选C.

【点睛】该题考查的是有关古典概型的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有古典概型的概率公式，解题的关键是找出基本事件数以及满足条件的基本事件数.

5. 已知，若，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用题中所给的条件，求得然后利用，根据向量数量积公式求得x所满足的等量关系式，求得结果.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

即，解得，故选B.

【点睛】该题考查的是有关向量垂直的条件，涉及到的知识点有向量的加法运算法则，向量垂直的条件，向量数量积的坐标公式，正确使用公式是解题的关键.

6. 已知平面向量，且，则的值是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先应用向量的模的平方和向量的平方是相等的，得到其满足的式子，之后应用相关公式求得结果.

【详解】因为平面向量满足，且，则有

，

故选B.

【点睛】该题考查的是有关向量的模的求解的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方和向量的平方是相等的，利用相关公式求得结果.

7. （ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接根据两角和正切公式的变形形式，整理即可得到答案.

【详解】，所以，

所以原式，故选B.

【点睛】该题考查的是有关两角和的正切公式的逆用问题，在解题的过程中，需要分析式子的特征，可得与角的关系，从而借着特殊角的正切值得到结果.

8. 将函数的图像向左平移个周期（即最小正周期）后，所得图像对应的函数为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的函数解析式，求得其周期，从而确定个周期为，再根据三角函数图像平移的规律，得到相应的函数解析式，化简求得结果.

【详解】根据题意，可知函数的周期为，所以个周期为，

所以平移后所得的图像对应的函数解析式为，

故选A.

【点睛】该题考查的是有关平移后的三角函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有左右平移变换，函数的周期的求法，需要注意平移的量是自变量x本身的变化量.

9. 函数 的部分图像如图所示，点是该图像的一个最高点，点是该图像与轴交点，则（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据两点的横坐标的差，确定出函数的最小正周期，从而求得，再根据最高点的坐标，结合，求得，从而确定出函数解析式.

【详解】根据题中所给的条件，以及所给的部分图像，

可以求得，所以，

从而得到，求得，

因为P是最高点，所以有，解得，

又因为，所以，所以，故选C.

【点睛】该题考查的是根据函数的图像确定函数解析式的问题，注意振幅A由最值来确定，周期由来确定，初相由特殊点来确定，结合题中所给的图像，求得结果.

10. 已知函数满足，且，当时，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的条件，可以确定函数的一条对称轴和一个对称中心，从而确定出函数的最小正周期，结合时，求得结果.

【详解】根据题意，由可得函数图像关于直线对称，

由可得函数图像关于点对称，

从而可知函数是以4为最小正周期的周期函数，

结合当时，

可知，故选D.

【点睛】该题考查的是有关函数的周期性的应用，从题的条件中判断得出函数图像的对称轴和对称中心，利用对阵中心到对称轴的距离，得到函数的周期，从而结合题中所给的相应区间上的解析式求得结果.

11. 已知，不共线，，，其中.设点是直线，的交点，则（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据从同一个起点出发的三个向量，当三个终点共线时，其中一个用另两个来表示，系数和等于1，设出两种关系，之后转化，利用一个向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的，得到方程组，求解代入得结果.

【详解】根据题中所给的条件，

可知,

，

根据一个向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的，

得到，解得，

代入可得 ，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，在解题的过程中，利用平面向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的，得到方程组，求得结果.

12. 下列四个函数中，图象可能是如图的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分别画出各个选项对应的函数图像，逐个与题中所给的图像对照，得出结果.

【详解】函数的图形为：

，

函数的图像为：

，

函数的图像为：

，

函数的图像为：

，

将选项与题中所给的图像逐个对照，得出D项满足条件，

故选D.

【点睛】该题考查的是有关函数图像的选择和判断问题，在解题的过程中，可以应用几何画板将函数图像一一作出，与所给的图像对照得出结果，但是在考场上是不可能应用几何画板的，所以可以借助于同一个周期上零点的个数来得到.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 为了了解名学生早晨到校时间，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为栋样本，则分段间隔为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可.

【详解】根据系统抽样的特征，得：

从2100名学生中抽取100个学生，分段间隔为，

故答案是21.

【点睛】该题所考查的是有关系统抽样的组距问题，应用总体除以样本容量等于组距，得到结果，属于简单题目.

14. 由茎叶图可知，甲组数据的众数和乙组数据的极差分别是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

首先从茎叶图中找到出现次数最多的数，从而得到甲组数据的众数，找出乙组数据的最大值和最小值，两者作差求得极差，得到结果.

【详解】根据众数的定义，可以断定甲组数据的众数是21；

从茎叶图中可以发现，其最大值为，其最小值为，所以极差为，

故答案为21，,43.

【点睛】该题考查的是茎叶图的应用，涉及到的知识点有一组数据的众数和极差的概念，只要明确众数是数据中出现次数最多的数，极差是最大值和最小值的差距，从而求得结果.

15. 在半径为的圆内任取一点，则点到圆心的距离大于的概率为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据几何概型的概率公式求解，，，运用面积的比得出概率为，求得结果.

【详解】因为的半径为2，在内任取一点P，

则点P到圆心O的距离大于1的事件为A，

所以，，

所以，故答案是.

【点睛】该题考查的是面积型几何概型的问题，在解题的过程中，需要明确面积型几何概型的概率的求解方法，需要正确求出基本事件对应的几何度量.

16. 使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．

数据：，，

，，

，，

，，

【答案】

【解析】

【分析】

分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为，M的值即为取最大时对应的脚码，从而求得结果.

【详解】仔细分析程序框图的作用和功能，

所解决的问题是找出一组数据的最大值，

并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7，

所以答案是9.7,8.

【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 设内角所对应的边分别是.已知 .

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）首先应用正弦定理，将式子中的角的正弦值化为边的式子，进一步求得，结合三角形内角的取值范围，求得结果；

（2）利用三角形内角和，将式子化为一个角的函数关系式，利用差角公式和辅助角公式化简，最后结合函数的性质求得最值.

【详解】（Ⅰ）由已知得，整理得.

所以由余弦定理得，即.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 即，其中 且.

因为，所以的最大值是.

【点睛】该题考查的是有关解三角形以及三角函数的相关问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，差角公式，辅助角公式，正弦函数的有关性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

18. 某学校高一年级有学生名，高二年级有学生名.现用分层抽样方法（按高一年级、高二年级分二层）从该校的学生中抽取名学生，调查他们的数学学习能力.

（Ⅰ）高一年级学生中和高二年级学生中各抽取多少学生？

（Ⅱ）通过一系列的测试，得到这名学生的数学能力值.分别如表一和表二

表一：

表二：

①确定，并在答题纸上完成频率分布直方图；

②分别估计该校高一年级学生和高二年级学生的数学能力值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

③根据已完成的频率分布直方图，指出该校高一年级学生和高二年级学生的数学能力值分布特点的不同之处（不用计算，通过观察直方图直接回答结论）

【答案】（1）高一年级学生中抽取名，高二年级学生中抽取名学生；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）按照成比例的原则，得到高一年级学生中抽取名，高二年级学生中抽取名学生；

（2）根据数据所满足的条件，求得，，结合绘图的方法和其满足的条件，画出直方图；利用组中值乘以相应的频率作和求得其平均数；结合数据以及直方图的特点，区分两个年级的数学能力值分布特点的不同之处.

【详解】（Ⅰ）高一年级学生中抽取名，高二年级学生中抽取名学生；

（Ⅱ）①，；

频率分布直方图：

高一学生数学能力值的辨率分布直方图 高二学生数学能力值的辨率分布直方图

②样本中高一年级学生的数学能力值的平均数是：

；

样本中高二年级学生数学能力值的平均数是：

；

由此估计该校高一年级学生数学能力值的平均数是，高二年级学生的数学能力值的平均数是.

③该校高二年级学生的数学能力值平均数高于高一年级学生，高二年级学生的数学能力值的差异程度比高一年级学生人

【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有分层抽样，直方图的绘制，平均值的求解，两组数据的不同之处的比较，熟练掌握基础知识是解题的关键.

19. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所花费的时间，为此进行了6次试验，收集数据如下：

（Ⅰ）在给定的坐标系中划出散点图，并指出两个变量是正相关还是负相关；

（Ⅱ）求回归直线方程；

（Ⅲ）试预测加工个零件所花费的时间？

附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

.

【答案】（1）见解析（2）（3）预测加工个零件花费小时.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，描点作出散点图，判断得出正相关；

（2）由表中的数据，求得，，，，利用公式求得回归直线方程；

（3）将代入回归直线方程得，从而得结果.

【详解】（Ⅰ）

散点图.

正相关.

（Ⅱ）由表中数据得：

，，，；

计算得：，所以.

（Ⅲ）将代入回归直线方程，得.

即预测加工个零件花费小时.

【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有画散点图，求回归直线方程，预测某个值，总之，要求对基础知识牢固掌握，要认真读题，分析表格中的数据，利用对应的公式求得结果.

20. 一只口袋有形状大小质地都相同的只小球，这只小球上分别标记着数字.

甲乙丙三名学生约定：

（）每个不放回地随机摸取一个球；

（）按照甲乙丙的次序一次摸取；

（）谁摸取的球的数字对打，谁就获胜.

用有序数组表示这个试验的基本事件，例如：表示在一次试验中，甲摸取的是数字，乙摸取的是数字，丙摸取的是数字；表示在一次实验中，甲摸取的是数，乙摸取的是数字，丙摸取的是数字.

（Ⅰ）列出基本事件，并指出基本事件的总数；

（Ⅱ）求甲获胜的概率；

（Ⅲ）写出乙获胜的概率，并指出甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关？

【答案】（1）24（2）（3）乙获胜的概率为；甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关

【解析】

【分析】

（Ⅰ）该问题相当于从4个数字中找出3个数字的有序数组共有多少，按照一定的顺序写出即可；

（Ⅱ）认真读题，判断甲获胜对应的基本事件都有哪些，之后应用公式求得结果；

（Ⅲ）分析题意，得到乙获胜的概率，从而求得丙获胜的概率，可以发现与顺序无关.

【详解】（Ⅰ）基本事件为：

，

，

，

.

基本事件的总数是.

（Ⅱ）事件“甲获胜”所包含的基本事件为：

.

甲获胜的概率为：；

（Ⅲ）乙获胜的概率为；甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关.

【点睛】该题考查的是有关随机事件的概率问题，涉及到的知识点有基本事件一一列举，找出满足条件的基本事件，分析问题和解决问题的能力，注意对基础知识要牢固掌握.

21. 如图，一直一艘船由岛以海里/小时的速度往北偏东的岛形式，计划到达岛后停留分钟后继续以相同的速度驶往岛.岛在岛的北偏西的方向上，岛也也在岛的北偏西的方向上.上午时整，该船从岛出发.上午时分，该船到达处，此时测得岛在北偏西的方向上.如果一切正常，此船何时能到达岛？（精确到分钟）

【答案】该船于时分到达岛.

【解析】

【分析】

根据题中所给的条件在中, ，根据正弦定理可得,即，在中，，

根据正弦定理得， ,从而得到 ,最后求得所用的时间即可得结果.

【详解】在中, ，

根据正弦定理得，,即.

在中，，

根据正弦定理得， ,

即 .

所以 ，

即 ,

从而，此船行驶和共需分钟.

故由岛出发至到达岛全程需要分钟.

即该船于时分到达岛.（说明：时分，也正确.）

【点睛】该题考查的是有关海上距离的测量问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦定理，注意所用的总时间与题中所涉及到的量之间的关系.

22. 已知函数 ，为的零点，为图像的对称轴，且在区间上单调.求的值.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据题中的条件零点和对称轴的位置，列出和所满足的等量关系式，根据函数在区间上单调，得到其满足的不等关系式，分情况讨论求得结果.

【详解】由题意知：其中

所以：其中

从而：其中

即：其中

故：或或或或

【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质问题，结合其条件，得到其满足的关系式，从而求得解析式中的参数问题，熟练掌握基础知识是解题的关键.

高一下学期期末模拟试卷

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知数列中，，，则

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意将，代入递推表达式求解即可

【详解】，，故选B

【点睛】根据递推表达式求前面的项，直接代入求解。

2.已知集合A，B=,则A∩B=

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先解A、B集合，再取交集。

【详解】,所以B集合与A集合的交集为，故选A

【点睛】一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

3.在空间直角坐标系中，与原点O距离最小的点是

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据在空间直角坐标系中，点到点的距离公式，分别求解距离，比较大小。

【详解】在空间直角坐标系中，点到点的距离公式，分别求解，所以最小，故选A

【点睛】在空间直角坐标系中，点到点的距离公式

4.直线的倾斜角为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由可求出倾斜角。

【详解】直线，故选C。

【点睛】求倾斜角往往用斜截式，已知斜率与倾斜角的关系：求出倾斜角即可。

5.已知，，成等差数列，则实数的值为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差中项的定义直接求解

【详解】根据等差中项的定义：,解得.故选C

【点睛】等差中项的定义，若成等差数列，那么。

6.直线与的交点坐标为

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

联立直线与的方程求解即可。

【详解】联立直线与的方程为，解得，故选D

【点睛】联立直线方程组成的二元一次方程组的解即为直线的交点坐标。

7.下列不等式中，正确的是

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】A

【解析】

【分析】

根据不等式的性质和带特殊值逐一排除。

【详解】若，则,故B错，

设,则，所以C、D错，故选A

【点睛】本题考查不等式的性质，注意正负号的应用。

8.如图，在三棱锥中，⊥底面，，则直线与平面所成角的大小为

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据⊥底面，判断出为直线与平面所成角，利用三角形为等腰直角三角形求解

【详解】由题意可知，⊥底面，所以为直线与平面所成角，，所以三角形为等腰直角三角形，所以，故选B

【点睛】求解线面角的步骤：先找出线面角，再证明线面角，最后求解线面角。

9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 球 D. 四棱柱

【答案】B

【解析】

解：由已知中的三视图可得：

该几何体是三棱柱，

故选：B

【点评】本题考查的知识点是简单几何的三视图，熟练掌握各种几何体三视图的形状，是解答的关键．

10.下列结论中正确的是

A. 若直线上有无数个点不在平面内，则//．

B. 若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都平行．

C. 若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线都垂直．

D. 四边形确定一个平面．

【答案】C

【解析】

【分析】

由线线平行的性质定理和线面平行的性质定理即可判断。

【详解】若直线上有无数个点不在平面内，直线与平面，有可能相交，故A错。

若直线与平面平行，则直线与平面内的直线有可能异面，故B错

空间四边形为两个平面组成不能确定一个平面，故D错

【点睛】线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握。

11.若实数满足，则z=x-y的最大值为

A. B. 1 C. 0 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

：先画出可行域，由z=x-y在y轴上的截距越小，目标函数值越大，得出最优解，再代入目标函数求出最大值。

【详解】：由图可知，可行域为封闭的三角区域，由z=x-y在y轴上的截距越小，目标函数值越大，所以最优解为，所以的最大值为1，故选B。

【点睛】：1、先画出可行域，高中阶段可行域是封闭图形。

2、令目标函数，解得判断目标函数最值的参考直线方程。

3.画出判断目标函数最值的参考直线方程的图像进行上下平移

4.根据参考直线方程的截距大小判断取最值的点

（1）当时截距越大目标函数值越大，截距越小目标函数值越小

（2）当时截距越大目标函数值越小，截距越小目标函数值越大

5.联立方程求点的坐标，求最值。

12.朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则＝

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

：先设第一个音的频率为，设相邻两个音之间的频率之比为，得出通项公式，

根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

【详解】：设第一个音的频率为，设相邻两个音之间的频率之比为，那么，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，所以，故选D

【点睛】：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13.半径为的球的体积为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据球的体积公式求解。

【详解】根据球的体积公式。

【点睛】球的体积公式

14.点的到直线的距离等于______．

【答案】

【解析】

【分析】

直线，点的横坐标为，直接计算即可

【详解】直线，点的横坐标为，所以点的到直线的距离等于

【点睛】对于特殊的直线：平行于轴和平行于轴的直线，在计算点到直线的距离时直接计算坐标之差。

15.已知，则函数的最小值为 ______．

【答案】4

【解析】

【分析】

利用均值不等式直接求解。

【详解】已知，根据均值不等式可知：，当且仅当时取等号。

【点睛】均值不等式成立的3个条件“一正、二定、三相等”。

一正：的范围要为正值

二定：如果为数，那么均值不等式两边本身就为定值。

如果为变量，那么均值不等式两边为未知数，使用均值不等式后必须为一个常数才算使用成功。

三相等：验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件。

16.定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列是等积数列且，公积为10，则______．

【答案】5

【解析】

【分析】

通过数列是等积数列的定义，，公积为10，逐一推出奇数项和偶数项的数值。

【详解】已知数列是等积数列且，公积为10，可得，由此奇数项为2，偶数项为5，所以

【点睛】对于摆动数列，通过对通项的推导得出其内在规律。

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知点,，：．

（1）求线段AB的中点的坐标；

（2）若直线过点B，且与直线平行，求直线的方程．

【答案】(1);(2).

【解析】

【分析】

（1）利用中点的坐标公式直接求解

（2）两直线平行，斜率相等，直接写出直线的点斜式方程。

【详解】

（1）线段的中点；

（2）直线的斜率为，

因直线与直线平行，则直线的斜率为，

直线的方程，即．

【点睛】两直线平行，斜率相等。两直线垂直斜率互为负倒数。

18.已知不等式（R）.

（1）当时，求此不等式的解集；

（2）若不等式的解集非空，求实数a的取值范围．

【答案】(1);(2).

【解析】

【分析】

（1）不等式为，解得

（2）不等式的解集非空，则，求解即可

【详解】（1）当时，不等式为，解得，

故不等式的解集为；

（2）不等式的解集非空，则，

即，解得，或，

故实数的取值范围是．

【点睛】二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想。

19.如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形．

（1）证明：//平面；

（2）求异面直线与所成角的大小；

（3）已知三棱锥的体积为，求的长．

【答案】(1)见解析;(2);(3)1.

【解析】

【分析】

（1）要证//平面，需证//，由长方体的性质可得。

（2）由平面，可知以异面直线与所成角

（3）直接由体积公式求解即可。

【详解】

（1）证明：在长方体中，因, //，可得//，

不在平面内，平面，

则//平面；

（2）因为平面，平面,可得，

所以异面直线与所成角；

（3）由，．

【点睛】线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，过这条直线作一个平面与这个平面交线，那么直线和交线平行。线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握。

20.已知数列中，，．

（1）求；

（2）若，求数列的前5项的和.

【答案】(1);(2)77.

【解析】

【分析】

（1），则数列是首项为2，公比为2的等比数列，求解即可。

（2）利用分组求和，分为一个等差数列和一个等比数列，利用数列求和公式求解。

【详解】（1），

则数列是首项为2，公比为2的等比数列，

；

（2），

.

【点睛】当两个数列不为同类数列求和时，采用分类求和。

21.在中，分别为角所对的边，已知，,.

(1)求的值；

（2）求的面积．

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

【分析】

（1）正弦定理可得，由余弦定理，求解即可

（2）由的面积求解即可

【详解】（1）因为，由正弦定理可得，

由余弦定理，

得，解得，

所以；

（2）的面积．

【点睛】正弦定理，由余弦定理，的面积公式。

22.已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点.

（1）求圆的圆心坐标和面积；

（2）若直线的斜率为，求弦的长；

（3）若圆上恰有三点到直线的距离等于，求直线的方程．

【答案】(1)见解析;(2);(3)，或．

【解析】

【分析】

（1）化圆的一般式为标准方程：得出圆的圆心坐标为，半径即可。

（2）先求圆心到直线的距离为，再利用半径，距离，半弦长构成直角三角形求解即可。

（3）圆上恰有三点到直线的距离等于，等价于圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解。

【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径，面积为；

（2）直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

；

（3）因圆上恰有三点到直线的距离等于，转化为

则圆心到直线的距离为，

当直线垂直于轴时，显然不合题意；

设直线的方程为，即，

由，解得，

故直线的方程为，或．

【点睛】利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为。设点，直线方程为，点到直线的距离公式为.

高一下学期期末模拟试卷

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1．的值为　　▲　　.

2．在中，已知，则的长为　　▲　　．

3．函数的最小值为　　▲　　．

4．函数的定义域为　　▲　　.

5．若三点在同一条直线上，则实数的值为　　▲　　.

6．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，则边上高所在的直线方程为　　▲　　．

7．已知等差数列的前项和为，，则的值为 ▲ ．

8．骆马湖风景区新建三个景点， 其中在的正北方向，位于的北偏东

处，且位于的北偏东处．若相距10千米，则相距　▲　千米．

9．对于直线和平面，有如下四个命题：

①若，则； ②若，则；

③若，则； ④若，则

其中正确命题的序号是 ▲ ．

10．已知点在不等式组所表示的平面区域内运动，则的最小值为 ▲ ．

11．如图，正三棱柱的全面积为且，

　　则三棱锥的体积为 ▲ ．

12．若，则的值为　　▲　　．

13．已知等比数列的公比，且，则数列的前项和为 ▲ ．

14．若，且，则的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．如图，已知正方体，为的中点.

（1）求证：直线平面；

（2）求证：平面.

16．在中，（其中分别为角的对边）.

（1）若求的值；

（2）若的面积为，且，求的值．

17．某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括保养费和维修费两部分．每年的保养费用为1万元．该系统的维修费为：第一年1.2万元，第二年1.6万元，第三年2万元，…，依等差数列逐年递增.

（1）求该系统使用年的总费用（包括购买设备的费用）；

（2）求该系统使用多少年报废最合算（即该系统使用多少年平均费用最少）.

18．在中，已知.

（1）若直线过点，且点到的距离相等，求直线的方程；

（2）若直线为角的内角平分线，求直线的方程.

19．已知数列，满足，其中.

（1）若，.

①求证：为等比数列；

②求数列的前项和.

（2）若，数列的前1949项之和为69，前69项之和等于1949，求前2018项之和．

20．已知函数，其中是常数.

（1）若，解关于的不等式；

（2）若，自变量满足，且的最小值为，求实数的值；

（3）是否存在实数，使得函数仅有整数零点？若存在，请求出满足条件的实数的个数；若不存在，请说明理由.

数学参考答案与评分标准

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 2. 3. 6 4. 5. 6

6. 7. 9 8. 9. ①④ 10.

11. 12. 13. 14.

二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．

15. （1）证明：在正方体中，平面,

平面, …………………………2分

在正方形中， …………………………4分

又平面，平面,

直线平面 …………………………7分

（2）证明：设连结

在正方体中，所以四边形是平行四边形.

则有 …………………………9分

分别为为的中点,

四边形是平行四边形.

…………………………11分

又平面，平面，