2018-2019学年广东省汕头市龙湖区八年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列图案是轴对称图形的有（　　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（　　）

A. 50°

B. 55°

C. 60°

D. 70°

3. 五边形的外角和等于（　　）

A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°

4. 已知：点P（-2，4），与点P关于x轴对称的点的坐标是（　　）

A. （-2，-4） B. （2，-4） C. （2，4） D. （4，-2）

5. 在-3x、、-、、-、、中，分式的个数是（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

6. 如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（　　）

A. AB=AC

B. DB=DC

C. ∠ADB=∠ADC

D. ∠B=∠C

7. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A. （x+2）（x-2）=x2-4 B. x2+4x-2=x（x+4）-2

C. x2-4=（x+2）（x-2） D. x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x

8. 解分式方程时，去分母后变形为（　　）

A. 2+（x+2）=3（x-1） B. 2-x+2=3（x-1）

C. 2-（x+2）=3（1-x） D. 2-（x+2）=3（x-1）

9. 下列运算正确的是（　　）

A. -3a2•2a3=-6a6 B. 4a6÷（-2a3）=-2a2

C. （-a3）2=a6 D. （ab3）2=ab6

10. 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：

①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE；

其中正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为______．

12. 若分式的值为零，则x=______．

13. 石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，这个数用科学记数法表示为______．

14. 边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为______．

15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为______．

16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B（9，0），且∠ACB=90°，CA=CB，则点C的坐标为______．

三、计算题（本大题共3小题，共19.0分）

17. 化简：÷（x-）

18. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度数；

（2）求证：DC=AB．

19. 先化简，再求值：[（x-2y）2+（x-2y）（x+2y）-2x（2x-y）]÷2x，其中x=-1，y=-2018．

四、解答题（本大题共6小题，共47.0分）

20. 计算：

21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．

（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．

（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．

22. 某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价7元售出150本时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的书．

（1）每本书第一次的批发价是多少钱？

（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？

23. 下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程

解：设x2-4x=y，

原式=（y+2）（y+6）+4　（第一步）

=y2+8y+16　（第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2-4x+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）．

A．提取公因式                           B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式          D．两数差的完全平方公式

（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果______．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．

24. 已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．

（1）求证：BE=AD；

（2）求∠BPQ的度数；

（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．

25. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．

（1）求证：△OBC≌△ABD．

（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．

（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

解：第一个图形是轴对称图形，

第二个图形不是轴对称图形，

第三个图形不是轴对称图形，

第四个图形是轴对称图形，

综上所述，轴对称图形共有2个．

故选：B．

根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解．

本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】D

【解析】

解：∵AB∥CD，∠1=40°，∠2=30°，

∴∠C=40°．

∵∠3是△CDE的外角，

∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．

故选：D．

先根据平行线的性质求出∠C的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．

3.【答案】B

【解析】

解：五边形的外角和是360°．

故选：B．

根据多边形的外角和等于360°解答．

本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．

【解答】

解：与点P（-2，4）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-4）．

故选A．

5.【答案】A

【解析】

解：-3x、、-、、-、、中，分式是：、-、-，共3个．

故选：A．

直接可以分式的定义进而分析得出答案．

此题主要考查了分式的定义，正确把握分式的定义是解题关键．

6.【答案】B

【解析】

解：A、∵AB=AC，

∴，

∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此选项正确；

B、当DB=DC时，AD=AD，∠1=∠2，

此时两边对应相等，但不是夹角对应相等，故此选项错误；

C、∵∠ADB=∠ADC，

∴，

∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此选项正确；

D、∵∠B=∠C，

∴，

∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此选项正确．

故选：B．

先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB=AC与∠1=∠2、AD=AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．

本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA无法证明三角形全等．

7.【答案】C

【解析】

解：A、（x+2）（x-2）=x2-4，是整式的乘法运算，故此选项错误；

B、x2+4x-2=x（x+4）-2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；

C、x2-4=（x+2）（x-2），是因式分解，符合题意．

D、x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x，不符合因式分解的定义，故此选项错误；

故选：C．

直接利用因式分解的定义分别分析得出答案．

此题主要考查了因式分解的意义，正确把握分解因式的定义是解题关键．

8.【答案】D

【解析】

解：去分母得：2-（x+2）=3（x-1），

故选：D．

分式方程去分母得到结果，即可做出判断．

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

9.【答案】C

【解析】

解：A、-3a2•2a3=-6a5，故A错误；

B、4a6÷（-2a3）=-2a3，故B错误；

C、（-a3）2=a6，故C正确；

D、（ab3）2=a2b6，故D错误；

故选：C．

根据单项式的乘法和除法法则，以及幂的乘方法则即可作出判断．

本题考查了单项式的乘法、除法以及幂的乘方，正确理解幂的运算法则是关键．

10.【答案】C

【解析】

解：如图所示：连接BD、DC．



①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ED=DF．

∴①正确．

②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD=30°．

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°．

∵∠AED=90°，∠EAD=30°，

∴ED=AD．

同理：DF=AD．

∴DE+DF=AD．

∴②正确．

③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．

假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，

又∵∠E=∠BMD=90°，

∴∠EBM=90°．

∴∠ABC=90°．

∵∠ABC是否等于90°不知道，

∴不能判定MD平分∠EDF，

故③错误．

④∵DM是BC的垂直平分线，

∴DB=DC．

在Rt△BED和Rt△CFD中

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD．

∴BE=FC．

∴AB+AC=AE-BE+AF+FC

又∵AE=AF，BE=FC，

∴AB+AC=2AE．

故④正确．

故选：C．

①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=AD，DF=AD，从而可证明②正确；③若DM∠EDF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．

本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

11.【答案】12

【解析】

解：（1）若2为腰长，5为底边长，

由于2+2＜5，则三角形不存在；

（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．

所以这个三角形的周长为5+5+2=12．

故答案为：12．

求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

12.【答案】-3

【解析】

解：∵分式的值为零，

∴，解得x=-3．

故答案为：-3．

先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．

本题考查的是分式的值为0的条件，在解答此类问题时要注意“分母不为零”这个条件不能少．

13.【答案】3.4×10-10

【解析】

解：0.00 000 000034=3.4×10-10，

故答案为：3.4×10-10．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

14.【答案】70

【解析】

解：根据题意得：a+b=7，ab=10，

则a2b+ab2=ab（a+b）=70．

故答案为70．

先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．

本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．

15.【答案】15

【解析】

解：作DE⊥AB于E．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=CD=3．

∴△ABD的面积为×3×10=15．

故答案是：15．

要求△ABD的面积，现有AB=10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．

此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．

16.【答案】（6，6）

【解析】

解：如图，过点C作CE⊥OA，CF⊥OB，

∵∠AOB=90°，

∴四边形OECF是矩形，

∴∠ECF=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠BCE

在△ACE和△BCF中，，

∴△ACE≌△BCF，

∴CE=CF，

∵四边形OECF是矩形，

∴矩形OECF是正方形，

∴OE=OF，

∵AE=OE-OA=OE-3，BF=OB-OF=9-OF，

∴OE=OF=6，

∴C（6，6），

故答案为：（6，6）；

先构造出△ACE≌△BCF，得出四边形OECF是正方形，再用OA=3，OB=9，求出OE=OF=6即可得出结论．

此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了正方形的判定，解本题的关键是构造出全等三角形，是一道比较基础题目．

17.【答案】解：原式=÷（-）

=÷

=•

=．

【解析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．

此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.【答案】（1）解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

∵∠C+∠BAC+∠B=180°，

∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，

∵∠DAB=45°，

∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°；



（2）证明：∵∠DAB=45°，

∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，

∴∠DAC=∠ADC，

∴DC=AC，

∴DC=AB．

【解析】

（1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°；

（2）根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．

本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．

19.【答案】解：原式=[x2-4xy+4y2+x2-4y2-4x2+2xy]÷2x=（-2x2-2xy）÷2x=-x-y，

当x=-1，y=-2018时，原式=1+2018=2019．

【解析】

原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．

此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20.【答案】解：原式=7+3×1-5

=5．

【解析】

直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

21.【答案】解：（1）点D如图所示；



（2）∵DE垂直平分线线段AC，

∴AD=DC，

∴△CDB的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB，

∵AB+AC+BC=21，BC=5，

∴AB=AC=8，

∴△CDB的周长为13．

【解析】

（1）作线段AC的垂直平分线即可；

（2）根据线段的垂直平分线的性质可知：AD=CD，求出AB、BC即可解决问题；

本题考查基本作图、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

22.【答案】解：（1）设每本书第一次的批发价是x元，根据题意得：

．

解得：x=5．

经检验，x=5是原方程的解，

答：每本书第一次的批发价是5元；



（2）第一次购书为1200÷5=240（本），

第二次购书为240+10=250（本），

第一次赚钱为240×（7-5）=480（元），

第二次赚钱为150×（7-5×1.2）+（250-150）×（7×0.5-5×1.2）=-100（元），

所以两次共赚钱480-100=380（元），

答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了380元．

【解析】

（1）设每本书第一次的批发价为x元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，列出方程，求出x的值即可得出答案；

（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价-当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．

此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

23.【答案】C   否   （x-2）4

【解析】

解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；

故选：C；



（2）这个结果没有分解到最后，

原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4；

故答案为：否，（x-2）4；



（3）（x2-2x）（x2-2x+2）+1

=（x2-2x）2+2（x2-2x）+1

=（x2-2x+1）2

=（x-1）4．

（1）根据分解因式的过程直接得出答案；

（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；

（3）将（x2-2x）看作整体进而分解因式即可．

此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．

24.【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，

在△AEB与△CDA中，

，

∴△AEB≌△CDA（SAS），

∴BE=AD；

（2）由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE=∠CAD，

∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，

∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°；

（3）如图，由（2）知∠BPQ=60°．

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°，

∴PQ=BP=3，

∴BP=6

∴BE=BP+PE=7，即AD=7．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ=60°；

（3）利用（2）的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=6，则易求BE=BP+PE=7．

本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

25.【答案】解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，

∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，

∴∠OBC=∠ABC，

在△OBC和△ABD中，

∵，

∴△OBC≌△ABD（SAS）；



（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：

∵△AOB是等边三角形，

∴∠BOA=∠OAB=60°，

∵△OBC≌△ABD，

∴∠BAD=∠BOC=60°，

∴∠CAD=180°-∠OAB-∠BAD=60°；



（3）∵△OBC≌△ABD，

∴∠BOC=∠BAD=60°，

又∵∠OAB=60°，

∴∠OAE=180°-60°-60°=60°，

∴∠EAC=120°，∠OEA=30°，

∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，

∵在Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，

∴AE=2，

∴AC=AE=2，

∴OC=1+2=3，

∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．

【解析】

（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；

（2）由△AOB是等边三角形知∠BOA=∠OAB=60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD=∠BOC=60°，根据∠CAD=180°-∠OAB-∠BAD可得结论；

（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC=120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，据此得到OC=1+2=3，即可得出点C的位置．

本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．