2019年河南省高考理科数学模拟试题与答案
(一)
考试说明:
本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分;满分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设集合
A.[0,3) B.{1,2} C.{0,l,2} D.{0,1,2,3}
3. 若某多面体的三视图(单位:)如右图所示,则此多面体的体积是
A.
B.
C.
D.
4. 设满足约束条件则的最大值为
A.4 B.8 C.12 D.16
5.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场,《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有
A.144种 B.48种 C.36种 D.72种
6. 已知,则=
A. B. C. D.
7.现有一半球形原料,若通过切削将该原料加工成一正方体工件,则所得工件体积与原料体积之比的最大值为A
A. B. C. D.
8. 当时,,则下列大小关系正确的是
A. B.
C. D.
9. 设函数,且其图象关于直线对称,则
A.的最小正周期为,且在上为增函数
B.的最小正周期为,且在上为减函数
C.的最小正周期为,且在上为增函数
D.的最小正周期为,且在上为减函数
10.一条渐近线的方程为的双曲线与抛物线的一个交点为A,已知(F为抛物线C的焦点),则双曲线的标准方程为
A. B.
C. D.
11.设函数定义域为R,且满足f(-x)=f(x), f(x)=f(2-x),当时,f(x)=2x-1 , 则函数在区间上的所有零点的和为
A. B. C. D.
12.函数的图像大致为
第卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题、第23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每题5分.)
13. 已知数列的前n项和=n2+n,则a3 + a4= .
14.安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参
加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为____.(用数字作答)
15. 在中,,且(其中),且,若分别为线段中点,则线段的最小值为 .
16.若圆关于直线对称,则的最小值为 ,
由点向圆所作两条切线,切点记为A,B,当|AB|取最小值时,外接圆的半径
为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知函数(),是偶函数.
(1)求的值;
(2)求函数在区间的最大值.
18.(本小题满分12分)
如图1,在△中,,分别为,的中点,为的中点,,.将△沿折起到△的位置,使得平面平面,如图2.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线和所成角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
图1 图2
19. (本小题满分12分)
大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量(单位:)和年利润(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 | 573 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 215083.4 | 31280 |
表中,.
根据散点图判断,与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
根据的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程;
已知这种产品的年利润与、的关系为.根据的结果回答下列问题:
年宣传费时,年销售量及年利润的预报值是多少?
年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,.
20. (本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,交轴于点为坐标原点.
(1)若,求直线的方程;
(2)线段的垂直平分线与直线轴,轴分别交于点,求的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.
请从下面所给的22、23题中任选一题作答,如果多做,则按做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同.已知曲线C的极坐标方程为,.
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)在曲线C上求一点,使它到直线(为参数)的距离最短,写出点的直角坐标.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数,,且的解集为[-1,1].
(1)求的值;
(2)若是正实数,且,求证:.
参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.A 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.D 9.B 10.B 11.B 12.B
第卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题、第23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每题5分.)
13. 14 14. 30 15. 16.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
请从下面所给的22、23题中任选一题作答,如果多做,则按做的第一题计分.
17.(本小题满分12分)
(1)依题意,……………2分
.……………3分
因为是偶函数,所以.……………5分
又因为,所以.……………6分
(2)由(1)得,,.……………8分
.……………10分
时,,
故函数在区间的最大值为.……………12分
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)因为 在△中,,分别为,的中点,
所以 ,.
所以 ,又为的中点,
所以. [ 1分]
因为 平面平面,且平面,
所以 平面, [ 3分]
所以 . [ 4分]
(Ⅱ)取的中点,连接,所以 .
由(Ⅰ)得 ,.
如图建立空间直角坐标系. [ 5分]
由题意得,,,,.
所以 ,,.
设平面的法向量为,
则 即
令,则,,所以 . [ 7分]
设直线和平面所成的角为,
则 .
所以 直线和平面所成角的正弦值为. [ 9分]
(Ⅲ)线段上存在点适合题意.
设 ,其中. [10分]
设 ,则有,
所以 ,从而 ,
所以 ,又,
所以 . [12分]
令 ,
整理得 . [13分]
解得 ,舍去.
所以 线段上存在点适合题意,且. [14分]
19. (本小题满分12分)
解:由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.
令,先建立关于的线性回归方程
,
,
所以关于的线性回归方程为,
所以关于的线性回归方程为.
由知,当时,年销售量的预报值为,
年利润的预报值为.
根据的结果知,年利润的预报值
,
当,即时,年利润的预报值最大,
故年宣传费为46.24千元时,年利润预报值最大.
20.(本小题满分12分)
解:(1)设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得y2-4my-4=0,
y1+y2=4m,y1y2=-4.
所以kOA+kOB=+==-4m=4.
所以m=-1,
所以l的方程为x+y-1=0.
(2)由(1)可知,m≠0,C(0,-),D(2m2+1,2m).
则直线MN的方程为y-2m=-m(x-2m2-1),则
M(2m2+3,0),N(0,2m3+3m),F(1,0),
S△NDC=·|NC|·|xD|=·|2m3+3m+|·(2m2+1)=,
S△FDM=·|FM|·|yD|=·(2m2+2)·2|m|=2|m| (m2+1),
则==m2++1≥2,
当且仅当m2=,即m2=时取等号.
所以,的最小值为2.
其它解法参考答案给分.
21.(本小题满分12分)
(1)因为f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,所以函数的定义域为(0,+∞).
所以f′(x) =-2ax+(a-2)==.
因为f(x)在x=1处取得极值,即f′(1) =-(2-1)(a+1)=0,解得a=-1.
当a=-1时,在(,1)上f′(x)<0,在(1,+∞)上f′(x) >0,
此时x=1是函数f(x)的极小值点,所以a=-1.
(2)因为a2<a,所以0<a<1,f′(x) =-.
因为x∈(0,+∞),所以ax+1>0,所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.
①当0<a≤时,f(x)在[a2,a]上单调递增,所以f(x)max=f(a)=lna-a3+a2-2a;
②当即<a<时,f(x)在(a2,)上单调递增,在(,a)上单调递减,
所以f(x)max=f()=-ln2-+=-1-ln2;
③当≤a2,即≤a<1时,f(x)在[a2,a]上单调递减,所以f(x)max=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.
综上所述,当0<a≤时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是lna-a3+a2-2a;
当<a<时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是-1-ln2;
当≤a<1时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2.
22.(本小题满分10分)
解:(1)由,可得
曲线的直角坐标方程为 …………5分
(2)直线的参数方程为,消去得的普通方程为,
与相离,设点,且点到直线的距离最短,则曲线在点处的切线与直线平行,
,又
或,
点的坐标为 …………10分
23. (1)因为,所以等价于,
由有解,得,且其解集为.
又的解集为,故
(2)由(1)知,又是正实数,由均值不等式得:
,
当且仅当时取等号,所以.
¥29.8
¥9.9
¥59.8