习 题

2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,表示系统输出,表示系统输入,哪些是线性系统?

(1) (2)

(3) (4)

解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。

2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中表示输入位移，表示输出位移，假设输出端无负载效应。

图(题2.2)

解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有

即

(2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有

消除中间变量有

(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有

即

2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。

图（题2.3）

解:(1)对图(a)所示系统,设为流过的电流,为总电流,则有

消除中间变量,并化简有

(2)对图(b)所示系统，设i为电流，则有

消除中间变量,并化简有

2.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩,为圆周阻尼，J为转动惯量。

解：设系统输入为M（即），输出(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：

消除中间变量,即可得到系统动力学方程

2.5 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+0.5 (t)。

（1）求当工作点为=0, =1, =2时相应的稳态时输出值；

（2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x和y，写出新的线性化模型。

解: (1) 将 =0, =1, =2分别代入y(t)= 2x(t)+0.5 (t)中,即当工作点为=0, =1, =2时相应的稳态输出值分别为, ,

。

(2) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点附近,将非线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得

若令,有

当工作点为时,

当工作点为时,

当工作点为时,

2.6已知滑阀节流口流量方程式为，式中．Q为通过节流阀流口的流量；p为节流阀流口的前后油压差；为节流阀的位移量；c为疏量系数；w为节流口面积梯度；为油密度。试以Q与p为变量（即将Q作为P的函数）将节流阀流量方程线性化。

解：利用小偏差线性化的概念，将函数Q=F(，p)在预定工作点F(，)处按泰勒级数展开为

消除高阶项，有

若令，，

将上式改写为增量方程的形式

2.7 已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s)。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y(s)/R(s)。

(1)

(2)

(3)

(4)

2.8 如图（题2.8）为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移x为输入量，位移y为输出量，求系统的传递函数Y(s)/X(s)。

2.9 试分析当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。

解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为

, , ,而闭环传递函数为

,则

(1)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，

(2)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时，

(3)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为积分环节时，

2.10 证明图（题2.10）与图（题2.3（a）所示系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同形式）。

解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。

对以上三式分别作Laplce别换，并注意到初始条件为零,即

则

,得

, 得

, 得

即

则

将(4)式中的代入(9)式

再用(4)式与上式相比以消去,即得电系统的传递函数为

而本题中，引入中间变量x,依动力学知识有

对上二式分别进行拉式变换有

消除有

比较两系统的传递函数有

故这两个系统为相似系统。

2.11 一齿轮系如图（题2.11）所示。图中，、、和分别为各齿轮齿数；、、和表示各种传动轴上的转动惯量，、和为各轴的角位移；是电动机输出转矩。试列写折算到电动轴上的齿轮系的运动方程。

2.12 求图（题2.12）所示两系统的传递函数。

图（题2.12）

解：(1)由图(a)中系统，可得动力学方程为

作Laplce别换，得

则有

(2)由图(b)中系统,设i为电网络的电流，可得方程为

作Laplce别换，得

消除中间变量有

2.13 某直流调速系统如图（题2.13）所示，为给定输入量，电动机转速n为系统的输出量，电动机的负载转矩为系统的扰动量。各环节的微分方程：

比较环节

比例调节器 （为放大系数）

晶闸管触发整流装置 (为整流增益)

电动机电枢回路

(为电枢回路电阻,为电枢回路电感,为电枢电流 )

电枢反电势 (为反电势系数)

电磁转矩 (为转矩系数)

负载平衡方程 (为转动惯量，为负

载转矩)

测速电动机 (为转速反馈系数)

试根据所给出的微分方程，绘制各环节相应的传递函数方框图和控制系数的传递函数方框图，并由方框图求取传递函数和。

2.14 试绘制图（题2.14）所示机械系统传递函数方框图。

2.15 若系统传递函数方框图为图（题2.15）。

(1) 求以为输入，当时，分别以、、、为输出的闭环传递函数；

(2) 求以为输入，当时，分别以、、、为输出的闭环传递函数；

(3) 比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论？

图(题2.15)

解:(1)求以为输入，当时:

若以为输出,有

若以为输出,有

若以为输出,有

若以为输出,有

(2)求以为输入，当时:

若以为输出,有

若以为输出,有

若以为输出,有

若以为输出,有

(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递出数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数的分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。

2.16 已知某系统的传递函数方框图为图（题2.16），其中，为输入，为输出,N(s)为干扰，试问：G(s)为何值时，系统可以消除干扰的影响。

图（题2.16）

解：方法一：根据线性系统的叠加原理，令,N(s)为输入，系统的输出为

其中

令

有

方法二：令，N(s)为输入，则系统的传递函数方框图可以表示成图（题2.16.b）所示。

图（题2.16.b）

根据相加点前后移动的规则可以将其进一步简化成图（题2 .16. c）和图（题2.16．d）所示的形式。

图（题2.16.c）

图（题2.16.d）

因此，系统在N(s)为输入时的传递函数为

同样可得时，系统可消除干扰的影响。

2.17 系统结构如图(题2.17)所示，求系统传递函数。

2.18 求出（题2.18）所示系统的传递函数。

图(题2.18)

解：方法一：利用梅逊公式，可得

方法二：利用方框图简化规则，有图（题2.18.b）

图（题2.18.b）

2.19 求出图（题2.19）所示系统的传递函数。

图（题2.19）

解：根据方框图简化规则，有图（题2.19.b）

图（题2.19.b）

2.20 求出图（题2.20）所示系统的传递函数。

图（题2.20）

解：根据方框图简化规则，有图（题2.20.b）

图（题2.20.b）

2.21 设描述系统的微分方程为

(1) (2)

试导出系统的状态方程。

2.22 RLC电网络如图（题2.22）所示，u(t)为输入，流过电阻的电流为输出，试列写该网络的状态方程及输出方程。

2.23 系统传函数方框图为图（题2.23），试列写该系统的状态方程及输出方程。

2.24 图（题2.24）为某一级倒立摆系统示意图。滑台通过丝杠传动，可沿一直线的有界导轨沿水平方向运动；摆杆通过铰链与滑台连接，可在沿直线平面内摆动。滑台质量为M，摆杆质量为m，摆杆转动惯量为J，滑台摩擦系数为c,摆杆转动轴心到杆质心的长度为L,加在滑台水平方向上的合力为u,滑台位置为x,摆杆与铅直向上的夹角为。

(1) 以为输入，为输出，列写系统的微分方程；

(2) 求系统的传递函数；

(3) 试列写该系统的状态方程及输出方程。