22.3 实践与探索

第一课时

教学目标：

知识技能目标

1.通过探索、参与和体验,学习解有关面积和体积的问题；

2.培养学生观察、分析和合情推理能力.

过程性目标

经历分组讨论,以及交流、归纳、总结,培养合作学习的意识,运用所学知识解决问题,发展应用意识,体会数学的价值.

情感态度目标

让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流,并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程,培养数学应用能力.

重点和难点：

1.利用一元二次方程对实际问题进行数学建模,从而解决实际问题;

2.学会分析方程的解,自主探索得到解决实际问题的最佳方案.

教学过程：

一、创设情境

请说出矩形的面积公式和长方体的体积公式.

（矩形面积等于长乘以宽；长方体的体积等于长、宽和高的乘积.）

二、实践应用

例1 如图,在长为50m、宽为30m的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部分种植花草,且使花草的总面积是道路面积的3倍,请你画出设计图,并计算道路的宽度.

解　方案一：如图所示,

设道路宽为xm,则横向的路面面积为,纵向的路面面积为,

根据题意列出方程为

解得

但不合题意舍去,所以

答：道路的宽为5m.

方案二：如图所示,把道路平移到两边,保持面积不变,可使列方程较容易.

设道路宽为xm,则种植花草的矩形的长为（50－x）m,宽为（30-x）m,

根据题意列出方程为

解得

但不合题意舍去,所以

答　按图设计,道路的宽应为5m.

例2 如图,小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子.

(1)如果要求长方体的底面面积为81cm2,那么剪去的正方形边长为多少？

(2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求,那么剪去的正方体的边长会发生什么变化？折成的长方体体积又会发生什么变化？

分析 在你观察到的变化中,你感到折合成的长方体体积会又最大的情况吗？先在下列表格中记录下你得到的数据,再以剪去的正方形的边长为自变量,折合成的长方体体积为函数,并在直角坐标系中画出相应的点,看看与你的感觉是否一致.

解 (1)设剪去的正方形的边长为xcm,根据题意得

解这个方程得

但不合题意舍去,所以．

答　剪去的正方形的边长为1cm时,长方体的底面积为81cm2 .

(2)按表列出的长方体底面面积的数据要求,剪去的正方形的边长会逐步增大,折合成的长方体体积会先变大,后变小.

探索　在观察到的变化中,感到折合而成的长方体体积会有最大的情况,在直角坐标系中画出相应的点之后,也可得到体积有最大的情况,这与感觉一致.

上述两题要让学生自己去探索,培养学生结合图形的直观感受去解题,培养学生观察、分析合情推理的能力.

课堂练习：

小明家准备用150米的篱笆围成一个长方形的野鸡养殖场,鸡场的一边靠墙,如何搭建才能使养殖场的面积最大?

三、交流反思

本课内容与生活密切相关,具有一定探索性和思考性,是有价值的问题,让学生综合应用已有知识去亲自体验探索过程.

四、检测反馈

1.如图,从一块长80cm,宽60cm的铁片中间截去一个小长方形,使剩下的长方形四周的宽度一样,并且小长方形的面积使原来铁片面积的一半,求这个宽度.

2.用一块长方形的铁片,把它的四个角各剪去一个边长为4cm的正方形,然后把四边折起,做成一个无盖的盒子,已知铁片的长是宽的两倍,做成的盒子的容积为1536cm2,求这块铁片的长和宽.

五、布置作业

习题22.3的第1,2题.