下学期期末考

高二（文科）数学试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

第I卷（选择题，共 60分）

、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.

一项是符合题目要求的）

设集合 S={x|x＞」}, TT{x*£荟x進 1}，则 SUT =

A.

2.

若:■

是第四象限角

B. （-3,：：）

口 3

,且cos ，则sin 等于（

5

C. [£1]

D.

3

~5

3.若a

= 20.3,b=0.32,c = log0.3 2 ,

则a, b.c的大小顺序是

A. c ::: b ::: a b . c ：：： a ::: b c

4. cos15 cos45 -cos75 sin 45 =(

B.虧

2

A. -1

C.

D.

5.已知函数f（x）

log2 x , x a0,

y 则

3x 1,^0,

f （f（*））的值是

A. 10 B

6.已知A仝

2

xx

-3x • 2 ::: 0」，B = 乂1 ：：： x a',若 A二 B ,则实数

a的取值范围是

A. 1,2 B . 1,2 1 C . 2, D . 〔2,

7.命题“ -x • R，都有ln（x 2+1）＞0”的否定为（

（A） -x R，都有 ln（x 2 +1） w 0

（C） -x R，都有 ln（x 2+l）＜0

2 兀

是（）

9. “a -3”是“ [1,2], x2 -a乞0”为真命题的(

4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置) 13•已知幕函数f (x)的图像经过点(9，3)，则f(2)-f(1) =

14函数f x = x3 ax2 x在点1, f 1处的切线与x 6^0垂直，则实数a

J[ TF

15•函数f(x)=sin(「x •—)(「・0)的图象的相邻两条对称轴间的距离是 -•若将函数

3 2

f(x)图象向右平移6个单位，得到函数g(x)的解析式为=

1该函数没有大于0的零点；

2该函数有无数个零点；

3该函数在(0, •::)内有且只有一个零点;

其中所有正确命题的序号是 .

三、解答题(本大题共 6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

10 TT

17.(本小题满分12分)(1 )求$巾( )的值；

3

/1 / _^卑7

18.(本小题满分12分)对于函数v =

12丿

(1)求函数的定义域和值域；

(2)确定函数的单调区间.

19.(本小题满分12分)已知p：关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x € R恒成立；q：函数 f(x)=-(5-2a) x在R上是减函数.若"p或q”为真，“ p且q”为假，求实数a的取值范围.

20.(本小题满分12分)已知f(x)二As in (「x，「)(A • • 0,0 ”扌”為)图象的一部分如

图所示：

(1) 求 f (x)的解析式；

(2)写出f (x)的单调区间.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) = loga (1 - x) loga(x 3)(0 ：： a . 1)

(1)求函数f (x)的定义域；

(2)求函数f (x)的零点；

(3)若函数f(x)的最小值为-4，求a的值.

f (x) = xln x -旦 x2 _

22. (本题满分14分)己知函数 2 (乳R),

(I)若函数y = f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程为x y ^0 , 求实数a , b的值；

(n)若函数f (x) wo恒成立，求实数a的取值范围；

(III) 若函数f (x)有两个不同的极值点分别为 x1 , x2，求证：x1x2 1 .

华安一中2012-2013学年下学期期末考试

高二(文科)数学试题参考答案

一、 选择题

1 . A 2 . B 3 . C 4. C 5 . D 6 . A 7 . D 8 . D 9 . B 10 . C 11 . A 12 . B

二、 填空题

13 . .2-1 14 . 1 15 . 16 .②③④

三、 解答题(本大题共 6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

n

⑵ 函数u = x — 6x + 17在[3 ,+^ )上是增函数，即对任意的 X1, X2€ [3 , +^ )

都有u1< u,从而

2

19.解析：设 g(x)=x +2ax+4.

因为关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x€ R恒成立，

所以函数g(x)的图像开口向上且与 x轴没有交点，

2

故△ =4a -16<0 ,

所以-2，所以命题 p： -2

函数f(x)=-(5-2a) x是减函数，

则有5-2a>1，即a<2.所以命题q： a<2.

又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q为一真一假.

1若p真q假，则错误！未找到引用源。 此不等式组无解.

2若p假q真，则错误！未找到引用源。 所以aw-2.

综上可知，所求实数 a的取值范围为aw-2.

增区间-5 +k二」 k二(k，z)

IL 12 12

减区间 +k二，7，• k二(k • z)

I112 12

1 x>0

21.解析：(1 )要使函数有意义：则有 ，解之得：-3,

x+3>0

所以函数的定义域为：(-3 , 1).

(2)函数可化为 f (x) =loga(1 — x)(x 3) =loga(—x2 —2x 3)

2

由 f(x) = 0，得-x ■■2x：：；,3=1 ,

即 x2 2x -2 =0, x - -1 _ ..3 , t -1 _ (-3,1),

f (x)的零点是-1 、3.

(3) f(X)二 loga (1 - x)(x 3) = loga (-X2 一 2x 3) = log ^-(x 1)2 4

••• —3 ：： x 二 0 ：： -( x 1)2 4 乞 4 .

•/ 0 ： a ::: 1，二 logq-(x 1)2 4 _ log a 4 ,

1

4 ―：

f (x)min =loga 4 •由 loga 4 =-4，得 a_ =4 , ••• a =4 4

22.解：本题满分14分.

解: ( I) f (x) =ln X -ax 1 , ,,,,,,, ( 2 分)

因为切线方程为x y ^0，所以,

a 丿

即 a =2,,,,,

3分)

又f⑴ 1可得切点为(1, -1 )，代入切线方程得b =0,,,,,

2

4分)

(n) f(x)兰0恒成立等价于a> 2ln x恒成立，即a

x

、九 /、 21n x * 、 2(1 Tn x)

设 g(x) ,则 g (x) -

x x

当 X (0,e)时，g (x) 0 ；,,,,,,,

当 x (e,：：)时，g (x) ：： 0 .,,,,,,,

2

所以当x二e时，g(x)max ,即a

e

(III)若函数f (x)有两个不同的极值点

A (如)

max小

x

6分)

5分)

(

(

_2

e

%、

7分)

8分)

9分)

X2 ,

2 -ax2

1=0

即 f (为)=ln x1 -ax1 1 = 0 , f (x2) = ln x

即 ln X1 ln X2 -a(x1 X2) 2 二 0且 ln x^ln X2 - a(X1 - X2) = 0

In捲Tn x2 丄

即 ln(X1X2)= a(X1 X2)-2= — — (x1 x?) - 2,,,,,,, (

x〔 一 X2

要证 x1x2 1，只要证 皿1一(x1 x2) - 2 0

10 分)

即证 InX1—|nX2（x1 X2）2

% -x2

不妨设x1 x2 0，只要证In Xi -ln X2

■2（X^X2）成立,,,,,,,

X1 X2

11 分）

即证In冬

X2

X-I

2（丄-1）

X2

X1 1

X2

Xi

令 t - 1,

X2

即证 In t 1

t +1

令 h(t) = In2(T-1)，贝h(t)=

t +1

所以h(t)在(1, •：：)上是增函数

所以h(t) .h(1) =0，原式得证”，””