小波分析—时间序列的多时间尺度分析

一、问题引入

1.时间序列（Time Series）

时间序列是指将某种现象某一个统计指标在不同时间上的各个数值，按时间先后顺序排列而形成的序列。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中：

时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；

频域分析（如Fourier变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。

然而，许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。

2.多时间尺度

河流因受季节气候和流域地下地质因素的综合作用的影响,就会呈现出时间尺度从日、月到年,甚至到千万年的多时间尺度径流变化特征。推而广之，这个尺度分析，可以运用到对人文历史的认识，以及我们个人生活及人生的思考。

3.小波分析

产生：基于以往对于时间序列分析的各种缺点，融合多时间尺度的理念，小波分析在上世纪80年代应运而生，为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。

优点：

相对于Fourier分析：Fourier分析只考虑时域和频域之间的一对一的映射，它以单个变量（时间或频率）的函数标示信号；小波分析则利用联合时间-尺度函数分析非平稳信号。

相对于时域分析：时域分析在时域平面上标示非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时域平面上，而是在所谓的时间尺度平面上，在小波分析中，人们可以在不同尺度上来观测信号这种对信号分析的多尺度观点是小波分析的基本特征。

应用范围：

目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应用。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。

二、小波分析基本原理

1. 小波函数

小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数(有限能量空间)且满足：

（1）

式中，为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：

其中， （2）

式中，为子小波；a为尺度因子，反映小波的周期长度；b为平移因子，反应时间上的平移。

需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；

注意：同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数！

2. 小波变换

若是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform，简写为CWT）为：

（3）

式中，为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a为伸缩尺度；b平移参数；为的复共轭函数。地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数，（k=1,2,…,N;为取样间隔），则式（3）的离散小波变换形式为：

（4）

由式（3）或（4）可知小波分析的基本原理，即通过增加或减小伸缩尺度a来得到信号的低频或高频信息，然后分析信号的概貌或细节，实现对信号不同时间尺度和空间局部特征的分析，因此小波分析被誉为数学显微镜。

实际研究中，最主要的就是要由小波变换方程得到小波系数，然后通过这些系数来分析时间序列的时频变化特征。

附：几种典型的小波

1、Daubechies小波

2、Coiflets小波

3、Symlets小波

4、Morlet小波 5、Mexican Hat小波

6、Meyer小波

小波即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。它有两个特点：一是“小”，即在时域具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的“波动性”。傅立叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解为一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移和尺度伸缩得来的。

3．小波分析的基本过程：

(1) 选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始点对齐；

(2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度，即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此刻信号与所选择的小波函数波形越相近，如图所示。

(3) 将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C, 直到覆盖完整个信号长度，如图所示。

(4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤(1)、(2)、(3)，如图所示。

(5) 对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。

三、matlab在小波分析中的应用

运用的方法：

1） 小波工具箱GUI；图形用户界面（Graphical User Interface，简称 GUI，又称图形用户接口）是指采用图形方式显示的计算机操作用户界面。采用这种方法最大的特点就是直观便捷。我们可直接选取分析的方式，小波基函数，尺度因子和平移因子等等。

2） 运用代码： 相对于GUI灵活性更高，更能安装我们的预期设想处理问题，更适合一些复杂问题的分析。这个简单介绍常用的针对一维信号的几种命令函数：

a. 多尺度一维小波分解函数：wavedec

[c,l]=wavedec(X，N，’wname’) c为小波分解向量，l为相应的记录向量

b. 一维小波系数重构；

直接重构：Y=upcoef（O，X，’wname’，N）

当O=‘a’为重构低频信号，O=‘d’为重构高频信号。

单支重构：X=wrcoef（‘type’，C，L，‘wname’，N）

c. 一维信号延拓函数

Y=wextend(TYPE，MODE，X，L，LOC)

LOC=’l’，‘r’，‘b’分别代表左延拓，右延拓，双边延拓

d. 自动降噪函数：

XD=wden（X，TPTR，SORH，SCAL，N，‘wname’）

TPTR，SORH，SCAL是对降噪阀值的一些设定。