2017年江苏省扬州市中考数学试卷

满分:150分

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

1．(2017江苏扬州)若数轴上表示－1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是

A．－4 B．－2 C．2 D．4

【答案】D

【解析】根据绝对值的几何意义结合点的位置，AB=de004b141d03e646e81438bd1fa693aa.png＝4或AB＝469fa5d9d50ced4bdbb6b4074f82a9c0.png＝4.

2．(2017江苏扬州)下列算式的运算结果为a13db38d8d1cc2fe9a87b7ee11ebc4c3.png的是

A．f8bbe20696dabd2338a3b027da25cb3b.png B．9ff472fe9127a8b3e1959890dce737b8.png C．2f3dc90519034630414faec1885bb770.png D．db4e99eca781a4cf6af4a9de1665b286.png

【答案】B

【解析】根据“同底数幂的乘法法则”5fe377558bffa1e7b2280c445d8f15b5.png，根据“幂的乘方法则”7cbd0b1c8150e688da8cf995691770ad.png，根据“合并同类项法则”c9eefff6e4a4d5bf1971fa48c4bebfc0.png，根据“同底数幂的除法法则”a37580a1da133af7810301cfc71202a0.png.

3．(2017江苏扬州)一元二次方程b50161a7a83fea8ba04dab01f288bbc3.png的实数根的情况是

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定

【答案】A

【解析】用根的判别式就可判断一元二次方程根的情况，因为249172cdd957afd0c206ee4f2fa697d1.png＝57>0, 所以方程有两个不相等的实数根.

4．(2017江苏扬州)下列统计量中，反映一组数据波动情况的是

A．平均数 B．众数 C．频率 D．方差

【答案】D

【解析】“平均数”、“众数”是反映数据集中程度的两个量，而“频率”是“频数与总次数的比值”，“极差”和“方差”才是反映数据波动大小的量.

5．(2017江苏扬州)经过圆锥顶点的截面的形状可能是

word/media/image14.gif

【答案】B

6．(2017江苏扬州)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是

A．6 B．7 C．11 D．12

【答案】C

【解析】根据“两边之差<第三边<两边之和”,所以第三边大于2小于6,因此周长大于8小于12,所以三角形的周长可能是11.

7．(2017江苏扬州)在一列数：8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，0f768ac5d5dea8d93716a27da05871de.png，a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png，…，9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png中，8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png=3，0f768ac5d5dea8d93716a27da05871de.png=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是

A．1 B．3 C．7 D．9

【答案】B

【解析】根据数列的排列要求,通过逐一试举可以得到771879d8edf481bcdc123e18c4537118.png,

4d18303bdee4786feffda2f705eb0159.png,通过观察可以发现每6个数据就循环一次,而7f87b517c3c0b65900a279d046dd36e2.png,所以6cdfdbde5dff81d7ab54cc2579b6293f.png.

word/media/image23.gif8．(2017江苏扬州)如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数187f25d0e603d34ce06d6cd001ac0530.png的图像与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的取值范围是

A．5470b72c32df758204ada430c6a7acf8.png B．656ef9fd8acfbfaecce1cddbaed21026.png

C．63653735015df38e026defbcff2dafa2.png D．e6a5ff94e7c806d8a993f4956a1bd770.png

【答案】C

【解析】由二次函数系数a、b、c的几何意义可知该函数的开口方向和开口大小是确定不变的，与y轴的交点（０，１）也是确定不变的。唯一变化的是“b”，也就是说对称轴是变化的。若抛物线经过点（０，１）和Ｃ（２，１）这组对称点，可知其对称轴是直线59e621518eb075b63d3c7e6ca855e611.png，即b＝－２时是符合题意的，所以可以排除Ｂ、Ｄ两个选择支，如果将该抛物线向右平移，此时抛物线与阴影部分就没有公共点了，向左平移才能符合题意，所以4b2f95ccda9e0cdd62f3f3acdffceb84.png，即63653735015df38e026defbcff2dafa2.png。

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

9．(2017江苏扬州)2017年5月18日，我国在南海北部神狐海域进行的可燃冰试开采成功，标志着我国成为全球第一个在海域可燃冰开采中获得连续稳定的国家．目前每日的天然气试开采量约为16000立方米，把16000立方米用科学记数法表示为 ▲ 立方米．

【答案】1.6×104

【解析】根据绝对值不小于１的数的科学记数法的表示要求及规律：329e61aef08699e9a4d9618ec783611c.png（6cd6e231da9adb29f96e265070cd61dd.pngn＝整数位数－１），可以得到16000＝1.6×104

10．(2017江苏扬州)若b242b9a3b31b79af167b40279b522432.png，de4ec79e2276489fd3dbf460e4833ace.png，则2f4e0f8ce428ed9929265fbf4e10b22e.png ▲ ．

【答案】12

【解析】运用整体思想，根据分式的乘法法则d46e4643a9aa811cd3b7425e2a395f4b.png.本题也可采用“统一变量法”求解，由b242b9a3b31b79af167b40279b522432.png，可以得到25a6b47a05d0cc1c850519b9080da8cd.png，同理可以得到9238f6042e4530fdbe6ab29ec2e796b4.png，所以51a52735f6b0e352af444bd063ab8c8c.png

11．(2017江苏扬州)因式分解：c551aa080d90bc657f6f8d03121945a4.png= ▲ ．

【答案】3b99d71a73e261c5d5550c390ade5dcd.png

【解析】根据因式分解的一般步骤，先提公因式3，再套用平方差公式，就有c551aa080d90bc657f6f8d03121945a4.png＝

d8e8992186cfaff6cb83dce7e4569efd.png

12．(2017江苏扬州)在□ABCD中，∠B +∠D=200°，则∠A= ▲ °．

【答案】80

【解析】根据“平行四边形的对角相等、邻角互补”可以求得7f7c6b69eb86cb3584c3667bf80f5fe2.png

13．(2017江苏扬州)为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了13份试卷成绩，结果如下：3个140分，4个135分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分．则这组数据的中位数为 ▲ 分．

【答案】135

【解析】将这13个数据按从小到大或从大到小的顺序排列，根据“中位数”的定义，中间的一个数即第7个数135分是中位数。

14．(2017江苏扬州)同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数表达式是y＝3d54dca1696bb6b154242be0cf7df28a.pngx＋32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数是 ▲ _℃．

【答案】-40

【解析】当5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png时，3f86441126a27476b607d6fb109a615e.png，解得e27a2441e79857b7db515d3ef22b40d8.png

15．(2017江苏扬州)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC = ▲ °．

【答案】50

【解析】根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，连接OC，便有5b01e3ee1d5687978b8d9d4f765cf61b.png=cb54b23cef67e088718c68b340d1e055.png再由OA=OC,根据“等边对等角”及“三角形内角和定理”可以求得0193077f8b9e5ea98070b0dfc3463e2d.png

16．(2017江苏扬州)如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC= ▲ cm．

【答案】2581b9ffce526298275f256992d9957a.png

【解析】根据“4a9d4d7f423027115a81bffd11e13008.png角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP＝9f525fcad8e41db98394ae9281e4da10.png。根据折叠的性质可以得到5a2841edf506fb9eea7636ef904d2703.png,372d41251ce3ab7d9e8aa3af17dad64c.png,易得6261233b09ee4b09e9717b6810ae4beb.png,所以6655da567dc59bfff0f6410836e8f49d.png

17．(2017江苏扬州)如图，已知点A是反比例函数14bd33535feb95ad0e605860ceba73ce.png的图像上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图像的函数表达式为 ▲ ．

【答案】0b808145a4319d5278175df4fe3d0903.png

【解析】分别过点A、点B作x轴的垂线，垂足分别为G和H，很容易发现这是一个“K”字型全等三角形，根据反比例函数比例系数k的几何意义可以知道△AOG的面积是1，于是△BOH的面积也始终为1，再结合点B在第一限的位置，可以知道点动点B在反比例函数的图像上且K＝2，所以所求的函数表达式为0b808145a4319d5278175df4fe3d0903.png

18．(2017江苏扬州)若关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程58cc65dca9e29e5dea7b733f47f978ba.png存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ▲ ．

【答案】15

【解析】先将等式变形成a16cb9989d79e4746fbea213f408a326.png，再根据二次根式的非负性以及积的符号性质可以得到bbd8566946717f3b74ada02e5c9b0537.png解得e82a2fb79add51626c77ddd9e2259108.png，又因为x为整数，所以x可取2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017，分别代入等式验证，正整数m只能取3和12，所以和为15.

三、解答题

19．(2017江苏扬州)（本题满分8分）计算或化简：

（1）b8c15d0c682c6eb76900852524765846.png ； （2）e43b3e3f88f2a64ee940103c3782dcb5.png．

解：（1）原式=3324177f3c8656e2fe221a5e880b50c9.png=-4

【思路分析】要注意ddb57d869e0b900f7d1cb141e67bd4db.png；因为c2b173b4ca26ad8b0c099231aadb3f9c.png，所以59d5c02efbf4be0ef942de79ea936f89.png

（2）原式= dfc8b02e9d6ad7cab9c562d82a8af961.png = fc069eeb73a2581ecdab2b5a2a2ee07b.pngc848b27e2eac81d93dbccca44bfbf79d.png

【思路分析】740e983a8082b641fec31f061da54f9e.png用平方差公式可以直接计算得到2e59813360713a50736d147475a8f3be.png

20．(2017江苏扬州)（本题满分8分）

解不等式组e1168f1f4afbd23bc9784ebc9f11d475.png ，并求出它的所有整数解．

解：解不等式组d4d42acc5a3bf8ea4be4ea6fc4b80b2c.png

由①得：012f348b33bcf6c5533e6a235f29ebb7.png

由②得：c06f875f6c2d7ba10b68291a9a71e3a9.png

∴此不等式组的解集为：beb0000ce15686d84987692f019baf39.png

∴它的所有整数解为：-1，0，1，2

【思路分析】要先求出不等式组的解集，再确定解集中是整数的解。

word/media/image88.gif21．(2017江苏扬州)（本题满分8分）

“富春包子”是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种 早点的喜爱情况，设计了如右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查．根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图．

word/media/image89.gif

根据以上信息，解决下列问题：

（1）条形统计图中“汤包”的人数是 ▲ ，扇形统计图中“蟹黄包”部分的圆心角

为 ▲ °；

（2）根据抽样调查结果，请你估计富春茶社1000名顾客中喜爱“汤包”的有多少人？

解：（1）48，72°；

（2）1000×30%=300（人）

答：当天1000名顾客中喜欢汤包的估计有300人。

22．(2017江苏扬州)（本题满分8分）

车辆经过润扬大桥收费站时， 4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．

（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是 ▲ ；

（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．

解：（1）0.25，

（2）列表：

∴4f62f380a6b6f798cd6cbeea0b57c3e6.png

【思路分析】求等可能条件下的概率一般需要通过列表格或画树状图的方式分析出所有等可能的结果数n，再筛选出符合事件条件的可能结果数m，再根据概率公式832a793d5b611a862e0cbfd5008d7b11.png计算便可得到相应的概率。本题还可以画树状图分析。

word/media/image92_1.png

.

23．(2017江苏扬州)（本题满分10分）

星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度.

解：设小芳的速度为x米/分，由题意可得

94e0be98d4c5f9458f4189225d80590f.png

解方程得，78e90f576a8c0a3e22ea3b7de5982138.png

经检验，78e90f576a8c0a3e22ea3b7de5982138.png是原方程的解且符合实际

答：小芳的速度为50米/分.

【思路分析】要注意“早”字所对应的数量关系，另外，列分式方程解应用题一定要有“检验”这一环节。

24．(2017江苏扬州)（本题满分10分）

word/media/image96_1.png如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．

（1）判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；

（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24,8045bb30b79d5533ed323285803059c2.png，求CB′的长．

解：（1）四边形ACC′A′为菱形。理由如下：

∵△A′B′C′是由△ABC平移得到的

∴AA’∥CC’且AA’=CC’

∴四边形ACC’A’是平行四边形，∠AA’C=∠A’CC’

∵CD平分∠ACC’

∴∠AC A’=∠A’CC’

∴∠AA’C=∠ACA’

∴AC=AA’

∴四边形ACC′A′为菱形

（2）∵∠B=90°，8045bb30b79d5533ed323285803059c2.png

∴55f227183dfb56e208040ca0597c9496.png

∵AB=24

∴AC=26

∴BC=effd34823403693d0af79d3ce71789cb.png

∴CB’=CC’- B’C’=AC-BC=16

【思路分析】（1）根据“角平分线+平行线→等腰三角形”这一基本规律，由CD平分7f62aeb408686533b6b59fdbb3ca0b41.png和AA’∥CC’，可以推导AC=AA’，由平移的性质易知四边形ACC′A′是平行四边形，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可以判断出四边形ACC′A′为菱形。

（2）根据锐角三角函数的定义，可以求出AC=26,再根据勾股定理求出BC＝10，于是便可得到CB’= CC’－ B’ C’ =16

25．(2017江苏扬州)（本题满分10分）

如图，已知□OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF.

（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；

word/media/image101.gif（2）①求证：CF=OC；

②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长.

解：（1）DE与半圆O相切. 理由如下：

∵CD⊥AB ∴∠D=90°

∵四边形ABCO是平行四边形 ∴OC∥AD

∴∠OCE=∠D=90°

∴OC⊥DE 又∵OC是半圆O的半径

∴DE与半圆O相切

（2）①证明：连结AC，

∵四边形ABCO是平行四边形 ∴AB=OC，BC∥AF

∴∠BCA=∠FAC ∴CF=OC 　

②∵CF=OC=OF

∴△OCF为等边三角形 ∴∠COF=60°

∴在Rt△OCE中，CE=91a24814efa2661939c57367281c819c.pngOC=1291a24814efa2661939c57367281c819c.png,OE=2OC=24

∴EF=12,cd8fd4e879277d1fc2725dce477ff558.png

∴bf7f2153a9c7d0c8ad4b0f7a8fa822d2.png

【思路分析】（1）直线与圆O相切。由直线DE已满足经过圆上一点C这一已知条件，要证明其为圆的切线，只要再证DE与半径OC垂直即可。由OC∥AD和CD⊥AB这两个条件便得证。

（2）根据“平行四边形的对边平行”这一性质可以推得a0209943abfa37aa46250af9efa84a29.png(连接AC),再根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等”的性质便有结论CF=AB，而AB和CO这组对边是相等的，于是就可证得CF=CO。

（3）因为阴影部分的周长是9a1b0745ee339d4285e4044ff719e947.png，所以分别求出线段EF、CE及0da488be780eba7e61b48f15f7caec99.png的长即可。由结论（1）可以推导出△OCE是直角三角形，△OCF是等边三角形，通过解直角三角形可以求得EF=12, CE=1291a24814efa2661939c57367281c819c.png,根据弧长公式可以求得0da488be780eba7e61b48f15f7caec99.png的长度等于57296c7d6fccf4e67a03f8918c574cb9.png.

26．(2017江苏扬州)（本题满分10分）

word/media/image110.gif我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO 是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2－BO2的值，可记为AB AC= AO2－BO2．

（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO 是BC边上的中线，则AB AC= ▲ ，

OC OA＝ ▲ ；

（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4 ，∠BAC=120°，求AB AC、BA BC的值；

word/media/image113.gif（3）如图3，在△ABC中，AB=AC ，AO 是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngAO，

已知AB AC＝14，BN BA＝10，求△ABC的面积．

解：（1）（1）AB AC= 0 ，OC OA＝ 7 ；

（2）取BC的中点O，连结AO

∵AB=AC=4 ∴AO⊥BC，BO=CO ∵∠BAC=120°∴∠ABC=∠C=30°

word/media/image115.gif∴AO=2,BO=68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png ∴BC=2BO=9f525fcad8e41db98394ae9281e4da10.png

∴AB AC=AO2－BO2=－8

取AC的中点D，连结BD，过点D作DE⊥BC于E

∴CD=33df47430c293d8c26a33511e22c02ca.png ∵∠C=30°

∴DE=1，CE=91a24814efa2661939c57367281c819c.png

word/media/image120.gif∴BE=BC－CE=84507545f131b7108866546c72caaa20.png ∴7d4c61efa6681c4555eb32a8fdf595e0.png

∴BA BC=a60820d3784fa0f6ef39ff963287c261.png

word/media/image124.gif（3）如图，取AN的中点M，连接BM，设BO= CO=x，AM= MN =NO=y，则

∵AB=AC，BO= CO ∴AO⊥BC

∵AB AC＝14，∴AO2－BO2=（3 y）2－x2＝14

∵BN BA＝10，∴BM2－MN2= OM2＋BO2－MN2=（2 y）2＋x2－y2＝10

∴x＝2，y＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png

∴等腰△ABC的面积为：7b0df0f41950021cf8e7d5ef6ee06648.png

word/media/image127.gifword/media/image120.gif【思路分析】（1）根据勾股定理可以直接求得斜边BC＝10，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AO＝5，运用“极化值”的定义，便可计算出AB AC=a9e85e850d86fa663d19a595b2e80d27.png。而要求出OA和OC的“极化值”，必须先求出△OAC中AC边上的中线长，运用“三角形中位线的性质定理”易得此中线长为4，于是OC OA=d3d567645c251b8a18b8b9bcb9791be7.png.

word/media/image110.gif (2)运用“等腰三角形三线合一”的性质及锐角三角函数，可以求出BC=9f525fcad8e41db98394ae9281e4da10.png,BC边上的中线AO（也是高）为2，所以便可计算出AB与AC的“极化值”等于f6b2b54af07f194d84726a8def76469a.png。而要求BA BC，关键是要求出△ABC中AC边上的中线BD长，过点D作边BC的垂线段DE,运用“4a9d4d7f423027115a81bffd11e13008.png角所对的直角边等于斜边的一半”和三角函数，可以求得DE=1、EC＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png，再根据勾股定理在直角三角形BDE中求得BD=b5e6268f8a3db07e7c23ff5d9bb1c516.png，最后，用“极化值”的定义便可计算出BA BC=a60820d3784fa0f6ef39ff963287c261.png

word/media/image133.gifword/media/image134.gif（3）要求出等腰三角形ABC的面积，只要求底边BC的长及其边上的高AO（等腰三角形三线合一），为便于求值，可以用代数的方法求解，设BO= CO=x，NO=y，将题目中的两个已知条件已知AB AC＝14，BN BA＝10，转化成两个方程，构成一个方程组c85185cd50e0b0448753250fc2fa46b4.png，解得6ff57bcc16cd49ea8088259abc9df6c4.png，于是等腰三角形ABC的面积便可计算求得7b0df0f41950021cf8e7d5ef6ee06648.png

27．(2017江苏扬州)（本题满分12分）

农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值.（日获利=日销售利润﹣日支出费用）

解：（1）假设p与x成一次函数，设p=kx+b,

由表格知当x=30时，p=600，当x=50时，p=0

∴05315cef6a98c90a1b036e04b0514faa.png 解得0fb10f67346aa385efd372ff5cc3a75b.png ∴p=-30x+1500,把x=35，p=450、x=40，p=300 x=45，p=150代入，均符合；

假设p与x成二次函数、反比例函数时，仿照上述方法均不符合

∴p与x的关系式是p=-30x+1500

（2）设每日的销售利润为y元，由题意得

y=(x-30)p=(x-30)(-30x+1500)=36ea3c36dcf1eb8d889b5f56d4fb9d43.png

∴当销售价格定为40元/千克时，才能使每日销售利润最大

（3）W=y-ap=36ea3c36dcf1eb8d889b5f56d4fb9d43.png+a(-30x+1500)

=dad193366af5c9b36ad7306a6a599646.png=cea9ab2c36b489244a895794d40e5b4c.png

∵当40≤x≤45时，日获利最大值为2430元

∴分三种情况

①当ac0f754279a2b5f30f051b1e32189a59.png<40时，a<0与题意不符；

②当40≤ac0f754279a2b5f30f051b1e32189a59.png≤45时，即0∵-30<0，开口向下 ∴49484ecd675f2b0ba1d5230f3eadbe5a.png=2430

∴a=2，a=38(不合题意，舍去)

③当ac0f754279a2b5f30f051b1e32189a59.png>45时，即a>10 ,当x=45时，W的最大值为2430，

∴9537fd14da15d77aa278df79132c7c4d.png，2250-150a=2430 ∴a=-1.2不合题意舍去

∴综上，a的值为2

【思路分析】（1）要确定函数解析式，首先要确定出是什么函数类型，由表格中的P=0,便可直接判断出此函数不是反比例函数（当然也可由30×600≠40×300也可判断出不是反比例函数），至于其他两个函数中到底是哪一个，可以通过描点法将这5组对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中描出相应的点，通过描点就会发现这5个点在一条直线上，所以就可以猜想出是一次函数，不可能是二次函数，接着选择两组对应值求出一次函数解析式p=-30x+1500，再验证另外3组对应值也满足这一关系式（这是必要步骤，不可遗漏）

（2）设日销售利润为y元，根据“销售利润＝单位利润×销售数量”可以建立如下的函数关系式y=(x-30)p，再根据公式法或配方法求得当8b691bc544f4ca6228426cb54b275810.png时，415290769594460e2e485922904f345d.png最大.

（3）因为题目中已经明确指出“日获利=日销售利润﹣日支出费用”，所以设日获利润为W元时，便有函数关系式W=y-ap，代入化简及变形可得W＝cea9ab2c36b489244a895794d40e5b4c.png，由此可判断出此函数图像是抛物线的一部分（因为自变量的取值范围是40≤x≤45），但因为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png是一个变量，所以对称轴的位置是不确定的，因而对应的图像也是不确定的，根据对称轴与自变量区间的不同位置关系可以分为三类分别进行讨论：（1）当ac0f754279a2b5f30f051b1e32189a59.png<40时（即对称轴在区间的左侧）；（2）当40≤ac0f754279a2b5f30f051b1e32189a59.png≤45时（即对称轴在区间上）；（3）当ac0f754279a2b5f30f051b1e32189a59.png>45时（即对称轴在区间的右侧），再根据已知条件“日获利的最大值为2430元”及“ a＞0”，最终确定出a的取值为2。

28．(2017江苏扬州)（本题满分12分）

如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O.

（1）若AP=1，则AE= ▲ ；

（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；

②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；

（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值.

word/media/image149.gif

word/media/image150_1.png解：（1）9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png

（2）① ∵正方形ABCD、正方形PEFG

∴∠A=∠EOP=90° ∴PE为△APE外接圆△的直径

取PE的中点M,连结OM

∴OM=4bd28c6a6a3cde4e28fb359606b97922.png

∴点O一定在△APE的外接圆上

②连结OA，在⊙M中∠OAP=∠OEP=45°

∴在点P的移动过程中，点O始终在正方形ABCD的对角线AC上移动（也可证点O到AB、AD的距离相等），且当P点在A点时，O点与A点重合，当P点移动到B点时，点P运动到AC的中点处.

∴点O的运动路径是一条线段，且长度等于AC的一半，∴路径长为44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png

（3）过点M作MN⊥AB于N,word/media/image154_1.png∴MN∥AE

∵M是EP的中点 ∴PN=AN

易证△MNP∽△PBC ∴0f0b9e96a0f3d71008ebc71a1595230c.png

设NP=x，MN=y，则AP=2x，PB=4-2x ∴133c41cc0f07ddb0ca6266e1b8fdc49c.png

∴69634bd42e42e5151a9124455bc44ca6.png

∴当x=1时，y有最大值93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，即在点P从点A到点B的运动过程中，△APE外接圆的圆心到AB边最大距离是93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.

【思路分析】（1）运用“两角对应相等的两个三角形相似”可以判断出△APE∽△BCP,再根据“相似三角形的对应边成比例”便可得到fae838fda744c57af8ed4ef4257343d7.png,代入具体的数值，就可以求得5ce2f2f633968c9a229f6128a87396a3.png.

（2）由题意可以知道△APE和△OPE是有公共斜边的两个直角三角形，取斜边PE的中点M，再连接MA、MO，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”便有MA=MP=MO=ME,所以结论“点O一定在△APE的外接圆上”得证。

要求出“点O经过的路径长”，首先要确定动点O的运动路径是什么，是一个什么图形？根据A、P、O、E四点共圆这一已证的结论，再根据“同弧所对的圆周角相等”，我们便会发现3ed90fc5ea9ea947b91766994ed95d33.png，也就是说无论点O怎么运动，它都在对角线AC上且是从点A开始运动到对角线的中点处结束.所以点O经过的路径长便可以很容易地求出是44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png.

(3)过圆心点M作边AB的垂线段MN，可以证得△MNP∽△PBC，再设NP=x，MN=y，根据“相似三角形的对应成比例”可以得到133c41cc0f07ddb0ca6266e1b8fdc49c.png，化简及变形可以得到69634bd42e42e5151a9124455bc44ca6.png ，最后根据二次函数的图像及其性质便可判断出当x=1时，y有最大值93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，即在点P从点A到点B的运动过程中，△APE外接圆的圆心到AB边最大距离是93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.