圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案）

一．选择题（共7小题）

1．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（　　）

A．（﹣，0），（，0） B．（﹣2，0），（2，0） C．（0，﹣），（0，） D．（0，﹣2），（0，2）

2．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（　　）

A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

3．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

4．已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

5．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）

A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x

6．已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（　　）

A． B．3 C．2 D．4

7．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）

A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x

二．填空题（共6小题）

8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　 　．

9．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　 　；双曲线N的离心率为　 　．

10．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=　 　时，点B横坐标的绝对值最大．

11．已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=

　 　．

12．曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=　 　．

13．曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为　 　．

三．解答题（共13小题）

14．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；

（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

16．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．

17．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．

18．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．

19．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

20．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

21．记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．

（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．

22．已知函数f（x）=﹣lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；

（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．

23．已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1．

（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；

（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=；

（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．

24．已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．

（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．

25．已知函数f（x）=ex﹣ax2．

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

26．已知函数f（x）=﹣x+alnx．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．

圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案）

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（　　）

A．（﹣，0），（，0） B．（﹣2，0），（2，0） C．（0，﹣），（0，） D．（0，﹣2），（0，2）

【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，

由此可得c==2，

∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）

故选：B．

2．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（　　）

A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线

y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），

AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，

F是AB的中点，EF==3，

EF==b，

所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，

可得：，解得a=．

则双曲线的方程为：﹣=1．

故选：C．

3．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，

∴点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，

∴|OP|===a，cos∠PF2O=，

∵|PF1|=|OP|，

∴|PF1|=a，

在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，

∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），

即3a2=c2，

即a=c，

∴e==，

故选：C．

4．已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），

直线AP的方程为：y=（x+a），

由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），

代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，

∴题意的离心率e==．

故选：D．

5．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（　　）

A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x

【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，

则=====，

即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，

故选：A．

6．已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（　　）

A． B．3 C．2 D．4

【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=，

则：解得M（，），

解得：N（），

则|MN|==3．

故选：B．

7．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）

A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x

【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，

可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，

曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，

则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．

故选：D．

二．填空题（共6小题）

8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为　2　．

【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，

可得：=b=，

可得，即c=2a，

所以双曲线的离心率为：e=．

故答案为：2．

9．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　　；双曲线N的离心率为　2　．

【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），

解得e=．

同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，

可得：，即，

可得双曲线的离心率为e==2．

故答案为：；2．

10．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=　5　时，点B横坐标的绝对值最大．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

由P（0，1），=2，

可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），

即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，

又x12+4y12=4m，

即为x22+y12=m，①

x22+4y22=4m，②

①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，

可得y1﹣2y2=﹣m，

解得y1=，y2=，

则m=x22+（）2，

即有x22=m﹣（）2==，

即有m=5时，x22有最大值16，

即点B横坐标的绝对值最大．

故答案为：5．

11．已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=

　2　．

【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），

∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），

联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 x1+x2=，x1x2=1，

∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，

∵M（﹣1，1），

∴=（x1+1，y1﹣1），=（x2+1，y2﹣1），

∵∠AMB=90°=0，∴•=0

∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，

整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，

∴1+2+﹣4﹣+2=0，

即k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

故答案为：2

12．曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=　﹣3　．

【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex，

曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，

可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．

故答案为：﹣3．

13．曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为　y=2x　．

【解答】解：∵y=2ln（x+1），

∴y′=，

当x=0时，y′=2，

∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．

故答案为：y=2x．

三．解答题（共13小题）

14．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；

（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的导数为

f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．

由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，

可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，

解得a=1；

（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex=（x﹣2）（ax﹣1）ex，

若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．

x=2处f（x）取得极大值，不符题意；

若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；

若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，

可得f（x）在x=2处取得极小值；

若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，

可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；

若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，

可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．

综上可得，a的范围是（，+∞）．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，

∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．

∵∴，又a2+b2=c2=3，

解得a=2，b=1．

∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．

（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，

∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．

由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．

由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，

可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．

将k=﹣，m=3代入可得，

解得x=，y=1，故点P的坐标为（．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），

由⇒k＜﹣．

联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

|x2﹣x1|==，

O到直线l的距离d=，

|AB|=|x2﹣x1|=，

△OAB的面积为S===，

解得k=﹣，（正值舍去），m=3．

∴y=﹣为所求．

16．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），

AB中点为M的坐标为（，），

抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，

可得（）2=4•，

（）2=4•，

化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根，

可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，

可得n=，

则PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，

可得m2+=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，

由（Ⅰ）可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，

由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=|PM|•|y1﹣y2|

=（﹣m）•

=[•（4n2﹣16m+2n2）﹣m]•

=（n2﹣4m），

可令t==

=，

可得m=﹣时，t取得最大值；

m=﹣1时，t取得最小值2，

即2≤t≤，

则S=t3在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，

△PAB面积的取值范围为[6，]．

17．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，

由椭圆的离心率为e=，

∴=；

又a2=b2+c2，

∴2a=3b，

由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|•|AB|=6；

可得ab=6，

从而解得a=3，b=2，

∴椭圆的方程为+=1；

（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；

∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；

又|AQ|=，且∠OAB=，

∴|AQ|=y，

由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；

由方程组，消去x，可得y1=，

∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；

由方程组，消去x，可得y2=；

由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，

两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，

解得k=或k=；

∴k的值为或．

18．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．

【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵线段AB的中点为M（1，m），

∴x1+x2=2，y1+y2=2m

将A，B代入椭圆C：+=1中，可得

，

两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，

∴k==﹣=﹣

点M（1，m）在椭圆内，即，

解得0＜m

∴．

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），

可得x1+x2=2，

∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，

∴x3=1，

∵m＞0，可得P在第一象限，故，m=，k=﹣1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．

则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，

联立，可得|x1﹣x2|=

所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=，

∴该数列的公差为±．

19．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；

设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，

由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，

∴直线l的方程y=x﹣1；

方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，

∴θ=，则直线的斜率k=1，

∴直线l的方程y=x﹣1；

（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）

由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，

以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，

由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，

则D（3，2），

过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．．

20．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

【解答】解：（1）c==1，

∴F（1，0），

∵l与x轴垂直，

∴x=1，

由，解得或，

∴A（1.），或（1，﹣），

∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，

证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，

A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，

直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=+，

由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=，

将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k）=0

从而kMA+kMB=0，

故MA，MB的倾斜角互补，

∴∠OMA=∠OMB，

综上∠OMA=∠OMB．

21．记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．

（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．

【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，

则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；

（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，

由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，

f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；

（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），

由f′（x0）=g′（x0），得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，

由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，

令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），

设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），

则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，

又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，

则m（x）在（0，1）上有零点，

则h（x）在（0，1）上有零点，

则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．

22．已知函数f（x）=﹣lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；

（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．

【解答】证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣lnx，

∴x＞0，f′（x）=﹣，

∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，

∴=﹣，

∵x1≠x2，∴+=，

由基本不等式得：=≥，

∵x1≠x2，∴x1x2＞256，

由题意得f（x1）+f（x2）==﹣ln（x1x2），

设g（x）=，则，

∴列表讨论：

∴g（x）在[256，+∞）上单调递增，

∴g（x1x2）＞g（256）=8﹣8ln2，

∴f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．

（Ⅱ）令m=e﹣（|a|+k），n=（）2+1，

则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，

f（n）﹣kn﹣a＜n（﹣﹣k）≤n（﹣k）＜0，

∴存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，

∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，

由f（x）=kx+a，得k=，

设h（x）=，则h′（x）==，

其中g（x）=﹣lnx，

由（1）知g（x）≥g（16），

又a≤3﹣4ln2，∴﹣g（x）﹣1+a≤﹣g（16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0，

∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴方程f（x）﹣kx﹣a=0至多有一个实根，

综上，a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．

23．已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1．

（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；

（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=；

（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．

【解答】（Ⅰ）解：由已知，h（x）=ax﹣xlna，有h′（x）=axlna﹣lna，

令h′（x）=0，解得x=0．

由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；

（Ⅱ）证明：由f′（x）=axlna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为lna．

由g′（x）=，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为．

∵这两条切线平行，故有，即，

两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logalna=0，

∴x1+g（x2）=；

（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）在点（）处的切线l1：，

曲线y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线l2：．

要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，

只需证明当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，

即只需证明当a≥时，方程组

由①得，代入②得：

，③

因此，只需证明当a≥时，关于x1 的方程③存在实数解．

设函数u（x）=，既要证明当a≥时，函数y=u（x）存在零点．

u′（x）=1﹣（lna）2xax，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减，

又u′（0）=1＞0，u′=＜0，

故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）=0，即．

由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，

u（x）在x=x0处取得极大值u（x0）．

∵，故lnlna≥﹣1．

∴=．

下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，

由（Ⅰ）可得ax≥1+xlna，当时，有

u（x）≤=．

∴存在实数t，使得u（t）＜0．

因此，当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）=0．

∴当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．

24．已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．

（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；

（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．

【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．

，，

可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0

∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，

∴f′（x）≥f′（0）=0，

∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．

∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0．

（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得

f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=，

令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），

h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．

当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．

当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+，

显然h″（x）单调递减，

①令h″（0）=0，解得a=﹣．

∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0，

∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，

∴h′（x）≤h′（0）=0，

∴h（x）单调递减，又h（0）=0，

∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，

当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，

∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意；

②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e）＜0，

∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0，

∴当0＜x＜x0时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，

∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；

③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，

∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1，

∴当x1＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，

∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，

∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，

∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．

综上，a=﹣．

25．已知函数f（x）=ex﹣ax2．

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=ex﹣x2．

则f′（x）=ex﹣2x，

令g（x）=ex﹣2x，则g′（x）=ex﹣2，

令g′（x）=0，得x=ln2．

当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，

∴g（x）≥g（ln2）=eln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，

∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，

解：（2），f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程ex﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，

⇔a=在（0，+∞）只有一个根，

即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．

G，

当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，

∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，

当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，

∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．

26．已知函数f（x）=﹣x+alnx．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．

【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，

设g（x）=x2﹣ax+1，

当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞0时，判别式△=a2﹣4，

①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，