第一讲 坐标系

第一节 平面直角坐标系

一、选择题

1．已知▱ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D的坐标是 (　　)．

A．(9，－1) B．(－3，1)

C．(1，3) D．(2，2)

解析　由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D点坐标．设D(x，

y)，

则即∴，故D(1，3)．

答案　C

2．把函数y＝sin 2x的图象变成y＝sin的图象的变换是 (　　)．

A．向左平移 B．向右平移

C．向左平移 D．向右平移

解析　设y′＝sin2，变换公式为

将其代入y′＝sin2，得μy＝sin2，

∴μ＝1，λ＝－，∴

由函数y＝sin 2x的图象得到y＝sin的图象所作的变换为，故是向左平移个单位．

答案　A

3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋4y′2＝1，则曲线C的方程为 (　　)．

A．25x2＋36y2＝1 B．9x2＋100y2＝1

C．10x＋24y＝1 D. x2＋y2＝1

解析　将代入x′2＋4y′2＝1，得25x2＋36y2＝1，为所求曲线C的方程．

答案　A

4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是(　　)．

A. B.

C. D.

解析　设　代入第二个方程y′＝sin x′得uy＝sin λx，即y＝sin λ

x，比较系数可得.

答案　B

二、填空题

5．在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为____________________________．

解析　∵△ABC的周长为10，

∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，

即有|AB|＋|AC|＝6>4.

∴A点轨迹为椭圆除去长轴两项两点，

且2a＝6，2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5.

∴A点的轨迹方程为＋＝1 (y≠0)．

答案　＋＝1 (y≠0)

6．在平面直角坐标系中，方程x2＋y2＝1所对应的图形经过伸缩变换后的图形所对应的方程是____________．

解析　代入公式，比较可得＋＝1.

答案　＋＝1

7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋9y′2＝9，则曲线C的方程是__________．

答案　x2＋y2＝1

8．在同一平面直角坐标系中，使曲线y＝2sin 3x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是____________________________．

答案　

三、解答题

9．已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程．

解　(代入法)设A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)，

∵|AB|＝6，∴a2＋b2＝36. ①

M分的比为.

∴⇒ ②

将②式代入①式，化简为＋＝1.

10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换φ：后，曲线C变为曲线x′2－9y′2＝9，求曲线C的方程．

解　直接代入得曲线C的方程为x2－y2＝1.

11．(图形伸缩变换与坐标变换之间的联系)阐述由曲线y＝tan x得到曲线y＝3tan 2x的变化过程，并求出坐标伸缩变换．

解　y＝tan x的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝tan

2x，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y＝3tan 2x.

设y′＝3tan 2x′，变换公式为.

将其代入y′＝3tan 2x′得，

∴.