对VaR改进的一致性的风险度量尺度分析

    【摘要】文章先对现有的风险度量尺度进行了简介，特别重点介绍了流行的VaR优点与缺点，以及后人对它的改进。在此基础上，文章针对VaR的不足构造了一种一致性的风险度量尺度AVaR。最后文章还对AVaR与VaR作了简单的比较。

　　【关键词】金融风险；风险度量尺度；VaR；AVaR 

　　

　　一、风险度量尺度简介

　　随着金融市场在近年来的快速发展，特别是金融工具创新的大量涌现，金融风险是当今金融领域最受关注的话题之一。为了更好地对金融风险进行预测和控制，学术界和金融领域的实际工作者相继提出了各种度量风险的尺度，从最早的收益的标准差到现在最热门的VaR。尽管方法很多，最常见的有以下六种：

   （1）标准差：；

   （2）半方差与下偏差Lbm[1]：

   ；，；

   （3）变异系数[2]： ；

   （4）VaR：；

   （5) 右尾风险MEL与尾部VaR(TCE) [3]：

   , x为固定的目标值   ；

   （6）系数[4]：     y代表市场指数。

   （符号说明：上面的符号统一定义为：z：金融指数；y：市场指数；：变量的标准差；：变量的方差；：变量的期望值；：代表求变量的最小值。其它的符号请参见上面式子的定义。）

     其中VaR最为流行。金融衍生产品是一大金融创新，同时也给金融市场带来了前所未有的巨大冲击，风险的度量需要一种广泛接受的尺度。在这种背景下，VaR诞生了。如今，VaR模型已经成为国际金融领域进行金融风险管理的主流方法。与传统的风险度量方法不同，VaR模型提供了对于投资组合整体风险的很好的度量。不同的金融产品有专门的风险度量方法，例如，对于股票组合的风险度量，通常可采用BETA系数，TrackingError等指标；对于普通债券的风险度量，通常可采用久期（Duration）和凸性（Convexity）等指标；对于可转换债券的风险度量，还需考虑其可转换的期权特征[5]。但是，人们更关心由各种类别混合组成的金融资产的整体风险，此时，以上所说的几种指标就无能为力了。VaR模型可以通过考虑各类组成资产的配置比例、各自的特点和相互之间的关系，从而计算出投资组合整体的整体风险。VaR的另一个重要的特征还在于它的透明性，仅此一个VaR数值所表述的潜在风险可使任何人都能弄明白风险的程度。VaR模型本质上是使用标准的统计分析技术来评估风险。更确切地说，VaR模型衡量的是在一般的市场情况和给定的置信水平下，金融资产在一个给定的时间区间可能面临的最大损失。

     但是，VaR作为广泛应用的风险度量方法，本身固有的缺陷也遭到了的批评。其中最为突出的是VaR只反映风险发生的概率，而不能反映超过它的“尾部风险”。为了弥补这个不足，Albrecht 建议用不足量（Shortfall）来度量“尾部风险”，而Artzner用“尾部条件期望”（Tail Conditional Expectation）来代替。但是都没法像VaR那样具有直观的经济含义。下面将给出一个基于对VaR改进的风险度量方法。

     二、定义与解释



     对于风险变量，它的密度函数为，定义函数

                     

     其中是示性函数，

 

     函数可以写成，

 

     定义1：对一个风险变量，密度函数为。给定一个正的常数，方程



的解为，我们把称作在给定置信度下的AVaR(Adjusted Value at Risk)。或记为。

     给定风险变量，它的概概率密度函数为，给定置信度， 方程的解就是的VaR。因此可以看出，VaR的含义是“处于风险中的价值”，即在正常市场波动下，给定一个的置信度，某一金融资产或组合在未来特定的一段时间内可能的最大损失。VaR的不足是只反映风险发生的概率，而不能反映超过它的“尾部风险”。为了改进VaR，我们可以考虑对事件发生的概率加权。那么怎么选择权重呢？期望值是预期风险。考虑一下某一点与的距离，如果距离越大，我们就应越关注这一点对风险的影响，所以它的权值就应越大，反之亦然。对进行标准化，我们最终把权定义为：

这样，定义。可以验证，满足性质：

（1）；

（2）

根据概率的知识知仍然是一个概率密度函数。所以定义1又可以写成以下形式。

定义2：对一个风险变量，密度函数为，设 。给定常数，方程



的解为，我们把称为在给定置信度下的AVaR(Adjusted Value at Risk)，或记为。

　　三、AVaR的性质

　　不难证明AVaR具有下列性质：

   （1）是的严格递减函数

   （2），其中是一个常数。

   （3），其中。

   （4），如果。

　　根据Artznen(1998)对风险的度量尺度提出了四条公理化要求，可知AVaR是具有一致性的风险度量尺度。

　　四、AVaR与VaR的比较

　　1. 不同于VaR，AVaR作为风险度量尺度，既考虑到风险发生的概率，又考虑到了损失的严重程度。换一句说，假设有两个风险事件，损失$10万和损失$1000万，如果它们发生的概率都是5%，在VaR的观点下，这两个事件所代表的风险是一样。但是实际上，人们对这两个5%的看法是不同的。明显人们更加关注损失$1000万的发生，因为后都比前者看起来更加严重。AVaR的定义中不仅包含了概率项，还包含项，这可以看成对损失严重程度的反映。

　　2. 由AVaR的性质可知，它满足Artznen(1998)提出的对风险的度量尺度提出了四条公理化要求。从这个角度来看，它比VaR更加适合作为一个风险度量尺度。

　　3. AVaR对厚尾的分布更加灵敏 

　　我们来考察一下在正态分布与T分布情况下的VaR和AVaR。正态分布的参数， 。用Matlab求出置信度为95%的VaR和AVaR如图1所示。我们可以看出VaR和AVaR的相对差别不是很大。

　　我们知道，随着自由度n的变小，T分布的厚尾现象变得明显。图2是对自由度n从3到14的T分布，计算出来置信度为95%的VaR和AVaR。可以看出，n 越小，VaR和AVaR的相对差别就越大。也就是说，AVaR对厚尾分布比VaR更加灵敏。转载于范文中国网 http://www.fw789.com。



　　五、结语

    综上所述，作为新定义的风险度量尺度AvaR，在改进VaR不足的基础上，还保留了VaR的直观性。致于AVaR能否在风险度量中发挥实际作用，还需要进一步的理论的研究与实践的检验。不过，由于AVaR的定义与VaR有相似的地方，我们可以沿着已有的VaR研究思路进行。



【参考文献】

　　[1]陈云贤，等．风险—收益决策分析[M]．新华出版社，2001．

[2]Zongari. P  An improved methodology for measuring VaR[J]．RiskMetrics  Monitor. Reuters/J.P. Morgan,Second Quarter:7-25.1996a.

[3]Hull J.White A. Value at Risk when daily changes in market variables are not normally distributed[J]．Journal of Derivatives，1998.

[4]Guermat G. and Harris R.D.F.Robust conditional variance estimation and value-at-risk[J]．Journal of Risk，2001，4(2)．

[5]王春峰．金融市场风险管理[M]．天津大学出版社，2001．