勾股定理的证明

知识精讲

一．勾股定理

1．如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．

　　2．勾股定理的变形：，，．

二．勾股定理的证明

1．如下图，，所以．

2．如下图，，所以．

三点剖析

一．勾股定理逆定理

1．如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形．

2．勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足”为前提，得到这个三角形是直角三角形．两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别．

二．勾股数

1．满足的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．

2．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10； 7、24、25；8、15、17； 9、40、41．

例题

一：证明

例1请根据我国古代数学家赵爽的弦图（如图），说明勾股定理．

例2勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．

请根据图1中直接三角形叙述勾股定理．

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；

利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜．其证明步骤如下：

∵BC=a+b，AD=____；

又∵在直角梯形ABCD中有BC____AD（填大小关系），即____．

二：勾股定理

例1如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系式（　　）

例2有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）

例3在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）

例4已知直角三角形的一直角边等于35cm，另外两条边的和为49cm，求斜边长．

随堂练习

1勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．

证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．

∵S四边形ADCB=S△ ACD+S△ ABC=b2+ab．

又∵S四边形ADCB=S△ ADB+S△ DCB=c2+a（b-a）

∴b2+ab=c2+a（b-a）

∴a2+b2=c2

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．

求证：a2+b2=c2

证明：连结____．

∵S五边形ACBED=____．

又∵S五边形ACBED=____．

∴____．

∴a2+b2=c2．

2如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为=_____，面积为_____

3若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（）

A．10

B．

C．10或

D．10或

4若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（ ）

A．10

B．

C．10或

D．10或

5设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是____

6已知在Rt△ABC中，，，，．如果，，求a、b的值．

7如图所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（ ）