第五篇　数列

第1节　数列的概念与简单表示法

【选题明细表】

基础对点练(时间:30分钟)

1.(2016·宜春校级模拟)已知数列,,,,,…,则5是它的(　C　)

(A)第19项 (B)第20项 (C)第21项 (D)第22项

解析:数列,,,,,…,中的各项可变形为:

,,,,,…,

所以通项公式为an==,

令=5,得n=21.

2.数列{an}的前n项积为n2,那么当n≥2时,an等于(　D　)

(A)2n-1 (B)n2

(C) (D)

解析:设数列{an}的前n项积为Tn,

则Tn=n2,当n≥2时,an==.故选D.

3.(2016·河南许昌质检)若数列{an}中,a1=1,an+1=,则数列{an}的第4项是(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为a1=1,an+1=,

所以a2===,

a3===,

a4===.故选C.

4.(2016·吉林模拟)已知数列{an},an=-2n2+λn,若该数列是递减数列,则实数λ的取值范围是(　A　)

(A)(-∞,6) (B)(-∞,4]

(C)(-∞,5] (D)(-∞,3]

解析:数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数,若数列是递减数列,

则-<,即λ<6.故选A.

5.(2016·安徽皖江名校联考)已知数列{an}的首项为2,且数列{an}满足an+1=,数列{an}的前n项的和为Sn,则S2 016为(　C　)

(A)504 (B)588

(C)-588 (D)-504

解析:因为a1=2,an+1=,

所以a2=,a3=-,a4=-3,a5=2,…,

所以数列{an}的周期为4,且a1+a2+a3+a4=-,

因为2 016÷4=504,

所以S2 016=504×(-)=-588.故选C.

6.(2016·泰安模拟)已知数列{an}满足a1>0,且an+1=an,则数列{an}的最大项是(　A　)

(A)a1 (B)a9

(C)a10 (D)不存在

解析:因为a1>0且an+1=an,

所以an>0,=<1,所以an+1n,

所以此数列为递减数列,故最大项为a1.故选A.

7.在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的第　　　　项. 

解析:令=0.08,得2n2-25n+50=0,

即(2n-5)(n-10)=0.解得n=10或n=(舍去).

答案:10

8.已知数列{an}的前n项和Sn=3-3×2n,n∈N*,则an=　　　　. 

解析:分情况讨论:

①当n=1时,a1=S1=3-3×21=-3;

②当n≥2时,an=Sn-Sn-1

=(3-3×2n)-(3-3×2n-1)=-3×2n-1.

综合①②,得an=-3×2n-1.

答案:-3×2n-1

9.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　. 

解析:a1+a2=4,a2=2a1+1⇒a1=1,a2=3,

再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2)⇒an+1-an=2an⇒an+1=3an(n≥2),

又a2=3a1,

所以an+1=3an(n≥1),S5==121.

答案:1　121

10.(2016·六盘水模拟)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.

(1)求a2,a3;

(2)求数列{an}的通项公式.

解:(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3;

由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,

解得a3=(a1+a2)=6.

(2)由题设知a1=1.

当n>1时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得

=.

于是=,=,

…

=,=,

又a1=1,

将以上n个等式两端分别相乘,整理得

an=.

综上可知,数列{an}的通项公式an=.

能力提升练(时间:15分钟)

11.(2016·山东临沂模拟)已知数列{an}满足a1=0,an+1=(n∈N*),则a2 016等于(　C　)

(A)-3 (B)0

(C) (D)3

解析:由题意知a1=0,a2==-,a3==,a4==0,a5==-,…,由此可知,an+3=an.

又2 016=3×671+3,

所以a2 016=a3=.故选C.

12.(2016·邯郸一中模拟)已知数列{an}满足a1=60,an+1-an=2n(n∈N*),则的最小值为　　　　. 

解析:因为an+1-an=2n,

所以当n≥2时有an-an-1=2(n-1),

an-1-an-2=2(n-2),

…

a3-a2=2×2=4,

a2-a1=2×1=2,

又a1=60,

累加得an=60+2+4+…+2(n-1)

=n(n-1)+60=n2-n+60,

所以==n+-1,

令f(x)=x+(x>0),

由函数性质可知,在区间(0,2)上单调递减,

在区间(2,+∞)上单调递增,

又n为正整数,

当n=7时,=7+-1=,

当n=8时,=8+-1=,

又<,

所以的最小值为.

答案:

13.已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).

(1)证明:数列{}为等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式an.

(1)证明:因为a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).

所以设bn=,则b1==2.

bn+1-bn=-

=[(an+1-2an)+1]

=[(2n+1-1)+1]

=1,

由此可知,数列{}为首项是2,公差是1的等差数列.

(2)解:由(1)知,=2+(n-1)×1=n+1,

an=(n+1)·2n+1.

14.(2016·福建基地综合)已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=log2 ,n∈N*,设数列{bn}的前n项和为Tn,当n为何值时,Tn有最大值?并求最大值.

解:(1)由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3),

即an=an-1+2n-1(n≥3),

所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2

=2n-1+2n-2+…+22+5

=2n-1+2n-2+…+22+2+1+2

=2n+1(n≥3),

经检验,知n=1,2时,结论也成立,

故an=2n+1.

(2)bn=log2 =log2 =log2 28-2n=8-2n,n∈N*,

当1≤n≤3时,bn=8-2n>0;

当n=4时,bn=8-2n=0;

当n≥5时,bn=8-2n<0.

故n=3或n=4时,Tn有最大值,且最大值为T3=T4=12.

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1.已知数列{an}满足条件a1+a2+a3+…+an=2n+5,则数列{an}的通项公式为(　B　)

(A)an=2n+1 (B)an=

(C)an=2n (D)an=2n+2

解析:由a1+a2+a3+…+an=2n+5,

得a1+a2+a3+…+an-1=2(n-1)+5(n≥2),

两式相减得=2n+5-2(n-1)-5=2,

所以an=2n+1(n≥2,n∈N*),

又当n=1时,=7,

所以a1=14.

综上可知,an=

2.若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=　　　　. 

解题关键:证明{an}为等比数列.

解析:当n=1时,a1=1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,

故=-2,

故an=(-2)n-1,

当n=1时,也符合an=(-2)n-1,

综上,an=(-2)n-1.

答案:(-2)n-1