从2020年上海各地高考模拟试题数列压轴题谈谈2020高考命题趋势

2020年上海高考已经结束，2020届的高考的号角即将吹响，很多考生一头埋进全国高考试题里去研究，我们不妨停下脚步，从各地的模拟试题当中掘金呢。模拟试题是各大市名师或学科带头人的智慧的结晶，那我就从2020年上海各地模拟试题谈谈自己的看法吧。

首先看一道比较基础的压轴题：选自2020.4闸北区模拟题

将数列中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

……

记表中的第一列数，，，… ，构成数列．

（Ⅰ）设，求的值；

（Ⅱ）若，对于任何，都有，且．求数列 的通项公式；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为的等比数列，且，求上表中第（）行所有项的和．

[解]（Ⅰ）由题意，

（Ⅱ）由 ，

令得，且

即，

所以

因此，，．．．，

将各式相乘得

（Ⅲ）设上表中每行的公比都为，且．因为，

所以表中第1行至第9行共含有数列的前63项，故在表中第10行第三列，

因此．又，所以．则．

【思考】第二问中为什么不用数学归纳法呢，我们姑且先猜猜。

由且知

，，

，，

因此，可猜测（）

将，代入原式左端得

左端

即原式成立，故为数列的通项．

『经验探究』看到第二问中比较复杂的式子，我们应该想想，是不是可以先猜猜他的结果，如果猜中了，但是不会做，我还可以得一分，高考有时一分就决定一个人命运呀。如果猜出结果，想想数学归纳法，因为答案上有很多方法很妙的，在考场中很难想到，我们换种思维，就能寻找解题的捷径。

很多出题人很喜欢在压轴题中混合上很多的知识点，而且混合上的每一个知识点都有些难度。向量与数列的综合再也普通不过了，但是最后一问来点数论的知识，题目档次就上去了，让我们来看看2020.4长宁区的一道题目。

设9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴、415290769594460e2e485922904f345d.png轴正方向上的单位向量分别是9205ce13b3f6839911f1c71e7ddd9751.png、80f60d4346f8327c4301ed26865a65e2.png，坐标平面上点列5614f2f428505eeff293fcebfdc6c8c3.png、166b1ea663cc1d2529153f72f6d40352.png

分别满足下列两个条件：①e208d8d723682fb97e1eac22ce0e805c.png且58563c933491a4d144b8582801117402.png；②6aaeea185435b0bce330dafe386bf8e1.png且eb1bb81d9005fee8c4a03b0c1b9b8da4.png.

（1）求cecc352627e814c7fef93b57ff875ad0.png及7b59e4bbd37bd294bf26e22690b31463.png的坐标，并证明点5614f2f428505eeff293fcebfdc6c8c3.png在直线f37095873a385c6512cb745773e5963a.png上；

（2）若四边形19a8e7da5f32a46f6c5c5f327f981e98.png的面积是9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png，求de709a6aec8e66ce3f443e283a6bab8e.png的表达式；

（3）对于（2）中的9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png，是否存在最小的自然数69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，对一切c58b6dcb128a27c865e880f592a2f116.png都有e343fa64c4b25121977704a09598c1e4.png

成立？若存在，求69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png；若不存在，说明理由．

解92f940ce57180865f2b998b3448ed3bb.png， 66a947dd9ccee1e6979024c819cd5535.png

所以e4e3f011e766fb0061feb62d25b48931.png，它满足直线方程f37095873a385c6512cb745773e5963a.png，因此点5614f2f428505eeff293fcebfdc6c8c3.png在直线f37095873a385c6512cb745773e5963a.png上。 （2）

 。

设直线f37095873a385c6512cb745773e5963a.png交9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴于d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png18ef6aca6bc4767f8b17a7d2e53e2d3a.png，

则　　

　　，

e2448fba522e84aee8f008f6e7cbc857.png88e40166c5aaeb76f99c6314d014c384.png

等

即在数列中，720682833b7b44d68afe94204149d83c.png是数列的最大项，

所以存在最小的自然数，对一切都有＜M成立.

[思考] 这道题目其实难度不大，但是许多考生容易做懵，为什么呢，没耐心呗。当时我在监考的时候，我发现考场很多考生这道题目空在那儿，倒把下面一道比较难的解析几何题目解出来了，后来我问这个学生原因，学生说太烦了，而且弄不好就错，与其花那么多力气做错一题，不如先做下面一题。我可以明确的告诉每位考生，高考繁琐的计算，易错的陷阱题肯定有的，平时训练就要耐心做下去。

数列中对奇偶数的讨论往往是压轴题目的难点所在，稍微有些错误就会前功尽弃，下面看看2020.4崇明县的模拟试题：

已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中的相邻两项7d8b541dc9a91b8820673163d7a8fc8b.png, 776fd7a867a8626924d72de4d2aa3497.png（2adc11f6bb81c7e145cdbea2c2d00333.png）是关于x的方程724a16dea46c723838282c3255ca6347.png的两个根，且7d8b541dc9a91b8820673163d7a8fc8b.png≤776fd7a867a8626924d72de4d2aa3497.png (87512043925586a5cfab5d9279cd7673.png).

（1）求b0c12a06bdeabff1b5132aa8307d7b05.png的值；

（2）求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png；

（3）求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项的和44d853a7808a331d95220fcb38095649.png.

解：（1）由4ef51b2003c95ea339519f2d8ee9da16.png可知方程两根为0721c67a17cc875f0f0f4a44b3b74ee6.png

ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19d.png，4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，fcb59a1ff9affb5c8b3f89c2d43fd060.png

38c9abaca4c0e762d42281e967e45959.png，289ebaa3f78440c9d3f4cf940388a739.png，cf7b43756f0081cdde75ac9efac1eda9.png

（2）（理）当da2834da18aa2abab2d6edaa8cd08b87.png，即158d7321f22289cfa19fc6819d6517c7.png时，244ef1eeb5cb1ad31a57fae345307ef2.png

当bb044ef27083952b22b9b1ce4c8e0432.png，即19378ff8b3abd87fff1e0d6d8a2d6534.png时，f89d54185718934090cf892e9ef9290e.png

（3）（理）当da2834da18aa2abab2d6edaa8cd08b87.png，即158d7321f22289cfa19fc6819d6517c7.png时，244ef1eeb5cb1ad31a57fae345307ef2.png，

ⅰ）当b444209ce9b47f0b57abd1c743e93b95.png为偶数时，

4cb0d8cf86d1a9214de9513fea295dc9.png7b737f7529a5975fa52f3c4fd9117cda.png999447c90962f8dd04086c47d8e9fa2b.png

74631d80a1d91a8bcd8cef71a79da849.png

ⅱ）当fcb243cb8336c9b27dadfe91e3f126c5.png为奇数时，

4cb0d8cf86d1a9214de9513fea295dc9.png43e665e40a8bb0ae73f2e19363c0f72c.png+2c73378512ab7f21592db53079d2fc67.png

5ba941581ac0c46ac15e40d602570f16.png

当bb044ef27083952b22b9b1ce4c8e0432.png，即19378ff8b3abd87fff1e0d6d8a2d6534.png时，f89d54185718934090cf892e9ef9290e.png

ⅰ）当53c5ad95b5fb06c6c614fdbe21710e97.png为偶数时，

4cb0d8cf86d1a9214de9513fea295dc9.png7b737f7529a5975fa52f3c4fd9117cda.png999447c90962f8dd04086c47d8e9fa2b.png

74631d80a1d91a8bcd8cef71a79da849.png

ⅱ）当fcb243cb8336c9b27dadfe91e3f126c5.png为奇数时，

4cb0d8cf86d1a9214de9513fea295dc9.png43e665e40a8bb0ae73f2e19363c0f72c.png+4910f661df87967415cf97f5c03bbe41.png

cb7ed5f5429a2123b8f7891bec95acd6.png

【思考】其它各省市对数列中奇偶数的讨论已经淡化了，但是2020，2020上海卷中依旧有奇偶数讨论的影子，讨论作为一种思想方法，是不会但出高考舞台的，这需要我们一定的耐心和信心。其实最具代表性奇偶讨论的题目是2020年南京一模的第20题，

（2020南京一模）在数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中，已知fce5307df3799697a11f9c62e254330f.png，且，7034cf2cdfa4db53a368006b058bd494.png

（1） 若数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等差数列，求83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的值。

（2） 求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和44d853a7808a331d95220fcb38095649.png

解：（1）设数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差为8277e0910d750195b448797616e091ad.png，则80213ea9225bce7f05f8a971f962f1c1.png，bf5793ba8cae4fa15adc95717821b29c.png，

依题得：db051d8318a845518d8fae9bf3a5cef8.png，对c58b6dcb128a27c865e880f592a2f116.png恒成立。

即：348a0a0984bba689249000d93ac68134.png，对c58b6dcb128a27c865e880f592a2f116.png恒成立。

所以86b202271360bb9c11090de7441af357.png，即：e055ce59fce272f6093385cce83d140d.png或826729f4259ad82cf84d9556bbe0c9b2.png

e0bb693fba4aa359fe519feba057537e.png，故83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的值为2。

（2）174a8f6f4164392da7ec7ec083a559d1.png

2fa6ea7b4e53b41d0d04e00b37fbf62b.png

所以，2c11affaa8c8fdd1123542fc59dfc48e.png

1 当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为奇数，且42a99f302303652d12444954704a9e11.png时，ab6a47640050ea2d08dfa24a284fbf88.png。

相乘得510eb07cadfef28930e92ad390ed68fd.png所以 02b74b97e66568be8ccc9008b1702b19.png当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png也符合。

2 当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为偶数，且535722b4f1c4ec2a678cc6f91eab8abb.png时，d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png， c742317b3861bfdd8c531eebfda9ae60.png

相乘得324470ce78e27cc60bc00d16e33e5d1f.png所以 521fbb9f02c4418670befdb3c91ea25e.png

6f137e476c91f1d5b0703a8cb41262bf.png，所以 ac9a53932b0d17be521153c97eb0b974.png。因此 33ed55d31286c88fd6af6e23803c190b.png，当c303081f7a16f603112b0375bdc84883.png时也符合。

所以数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式为934ef9acfd6aebea9711ad906fdbfdec.png。

当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为偶数时，

5f99d5534ab9c59b4d3e6d685503424a.png

cc8acc733340a464b2dbfe0880e1ad7e.png

当7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为奇数时，47425da90092a0727c15c009fac9f866.png为偶数，

66470bc60d12dae4f588c2338be5d1cc.png

0ad5ff914f4b3312dd02518b51daecf5.png

所以 556d0461fa8d9028fa1aa7ffec549bb7.png

【思考】本道题目当中引入了字母计算，这就使题目抽象多了，题目抽象没关系，只要你有耐心一定能迎刃而解，我们再看看扬州中学2020.2的月考试题，这上面的奇偶讨论就比较刁钻了：

（2020扬州中学2月月考）已知0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为实数，数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足42625d287c953f6a1df4497435feaafc.png，当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，d4ba377f492a492d52b62f23fcf186f3.png，

（Ⅰ）131e6f466e5a4eb2c66b92c058e2f058.png；(5分)

（Ⅱ）证明：对于数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，一定存在c354817d80385c4dac420a84760e1070.png，使9c3a522b6a04411d020808a9e582e1d4.png；(5分)

（Ⅲ）令4b5a45c189f3c0b57437ff0ab9c0308c.png，当ff3f994c84eb1760c4faba517043af48.png时，求证：e96b993feba37c093c56d303608986bd.png(6分)

解:（Ⅰ）35b42cbd143a850c1bd66d12f0e998a8.png由题意知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而f26261e1d547bd99d1b5842eda0bd9ce.png=43c2d3e535d1f0d6f9719ca373b0d620.png ……(3分)

=c692ff99afe7dd1f4dded7738563e7e5.png. …………(5分)

（Ⅱ）证明：①若2de79ee55de2c6b3df29864dfda99a53.png,则题意成立…………………(6分)

②若c4395cd15c99446e3d472508c811f5ac.png,此时数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前若干项满足2488aab80e8060def6982b5356897aea.png,即039421367e08b842becf1cf82ff7299f.png.

设bbc1e304e1938d2380181cf177a7ccc7.png,则当b7eb27d0b2cabbf70084c60f4ce9fc8a.png时,2bd86edc81a07a94aa6f282d1a2f27d8.png.

从而此时命题成立…… (8分)

③若e6e35b2d09cdc26ccd9c6cb106bb20d5.png,由题意得f02c6e7d7d6d50877c1bc45a537785c5.png,则由②的结论知此时命题也成立.

综上所述,原命题成立……………(10分)

（Ⅲ）当ff3f994c84eb1760c4faba517043af48.png时，因为c116ce2d02020640c227f99439405acd.png,

所以4b5a45c189f3c0b57437ff0ab9c0308c.png=0268998cb2fe683029ebcd4f33f8a2a5.png……………(11分)

因为c9d72c24c8835176f6f1a0ee2a14167a.png>0,所以只要证明当42a99f302303652d12444954704a9e11.png时不等式成立即可.

而61eb3a1c2120c5aa30765318eec5c61b.png

e4a39ab66e9e538e0aa0fb7eb79bac3d.png………(13分)

①当word/media/image233.wmf时,

a6d4630b7d7ecba4edc1bce78a82bb5f.png

1a3776c34982c37cc0cfdf82554d03c1.png39b9361857abd49d9074089c960d0ad5.png576cac2d67f9421f7c8caffe81aedf8e.png……(15分)

②当38624d87aa55a39189f25b86586f6e3a.png时,由于c9d72c24c8835176f6f1a0ee2a14167a.png>0,所以da327f29598b311a26630f8981b8db40.png<fcae796b5b3fb35c01bce3ca835b9d1e.png

综上所述,原不等式成立………(16分)

【思考】虽然很刁钻，但是上海卷很喜欢出这种刁钻的题目，说难也只不过如此，就是考生在考场里愿不愿意做，肯不肯做，能不能静下心来把思路理清楚。

有些地方的奇偶讨论还要来点分类讨论，你不能含糊，含糊了你自己做着做着就糊涂了，下面我们看看2020.4奉贤区的一道试题：

已知点集578a9496e54e0a3f9f1223cdad255803.png，其中fc279f6f6072766790a01d73a1b56cba.png，59bafca64bbbb4346eea5bee0a1151ef.png，点列50d97c766c73912e817c79b1eac9ba64.png在L中，47ddd0a8d1607438330cf19c0c1ac45e.png为L与y轴的交点，等差数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的公差为1，c58b6dcb128a27c865e880f592a2f116.png。

（1）求数列eac391c0815f72031ce6673528b827f2.png的通项公式；

（2）若a8988ce0f88f5292aa28b6e49f114d45.png＝，令ba71e3b8ed3551a33733cab460613391.png；试用解析式写出44d853a7808a331d95220fcb38095649.png关于7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的函数。

（3）若a8988ce0f88f5292aa28b6e49f114d45.png＝，给定常数m(e8b627077db6656280a70385afb4a594.png),是否存在f738ee5cccac03c8efed62fa926bec7c.png，使得cfe634d20b5f110b2ad52c0523fc6db9.png ，若存在，求出8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的值；若不存在，请说明理由。

（1）y＝· ＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1 -----(1分)

45046de61b285009b23590450000d87f.png与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的交点52b7abf0a3be40bed180c4723c205bab.png为b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png，所以17a7d70dda52e39a15d9ea188028e1c3.png； -----(1分)

所以4c8dc261c34313b0d64225a4fa96a285.png，即4e6fb47707510c925f0caf539fdb6de6.png， -----(1分)

因为50d97c766c73912e817c79b1eac9ba64.png在45046de61b285009b23590450000d87f.png上，所以3acbf8d62d0578900c39fbf9169f0214.png，即75f9e69ffa898052a89d04f2585077b8.png -----(1分)

（2）设ea89a8d785a1d00d28a7160d1e8cf2aa.png b415c559054a1d79f2e6c1d6a9045b53.png（c354817d80385c4dac420a84760e1070.png），

即d5335481804db24066bde2b5cca736da.png b415c559054a1d79f2e6c1d6a9045b53.png（c354817d80385c4dac420a84760e1070.png） ----(1分)

（A）当04a7f68b8391c97aa04cae4997b13c2d.png时，5259a4980737b382e63cec622cfb5ab5.png

f0953daf8e69f4e094f6228a55389eb7.png ----(1分)

=ccb20fbb46ce42a5db8f94de33edff51.png=8915185e879cc36054d16c8009e1afaa.png，而45eb63f1422c6cdb73876f17317c8a94.png，所以1c17d55e15461edac8bd7699ac0652c8.png ----(1分)

（B）当cedc11be3b6ec83542ecd097a02720e9.png时，ac585b6fd793e6963410b9271ab478b8.png ----(1分)

= 61f01cb8298ca0109ffbbffb857c4610.png=4a3414eec7eff1621f696f60ef35acb6.png， ----(1分)

而310dd486fd1e777050dfe9b175e7c0ff.png，所以6da02f71bc7bb631a6caba321fad204f.png ----(1分)

因此5531951c60b0abfe28c0eaef35f43a32.png（c354817d80385c4dac420a84760e1070.png） ----(1分)

（3）假设f738ee5cccac03c8efed62fa926bec7c.png，使得cfe634d20b5f110b2ad52c0523fc6db9.png ，

（A）6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png为奇数

（一）8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为奇数，则fde48fee89aac62249ba7714a2b9e6cb.png为偶数。则a71a6437ccc3d8a30640f284de3808ba.png，93c78024a59ee32aee6088d553d3c97f.png。则c397f2e1959681a6da58b8660995bfc8.png，解得：d567e99c9ff3bcf96231fb1b7402164b.png与c354817d80385c4dac420a84760e1070.png矛盾。 ----(1分)

（二）8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为偶数，则fde48fee89aac62249ba7714a2b9e6cb.png为奇数。则516fd74110891b53d9f183187a5fc4fd.png，5e1eed970eae1b859c4e41e11431d091.png。则0e6f567fab83e8bedccfef1b6d6ea549.png，解得：0d4c3b6c4ee532c91469427262074413.png（8a1e2cf942413dad6d2997925a61ebea.png是正偶数）。 ----(1分)

（B）6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png为偶数

（一）8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为奇数，则fde48fee89aac62249ba7714a2b9e6cb.png为奇数。则a71a6437ccc3d8a30640f284de3808ba.png，5e1eed970eae1b859c4e41e11431d091.png。则dafba13f5341c2e79b36e26f34e20f5a.png，解得：82519ad7710d2bdbe3193155645ea9e8.png（ef543117bfa4bf2090509daa817906a0.png是正奇数）。 ----(1分)

（二）8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png为偶数，则fde48fee89aac62249ba7714a2b9e6cb.png为偶数。则516fd74110891b53d9f183187a5fc4fd.png，93c78024a59ee32aee6088d553d3c97f.png。则75f34a912769739302cfca09c34742dd.png，解得：5d6d631527fc724abe9df3aa8b6e623e.png与c354817d80385c4dac420a84760e1070.png矛盾。 ----(1分)

由此得：对于给定常数m(e8b627077db6656280a70385afb4a594.png)，这样的8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png总存在；当6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png是奇数时，0d4c3b6c4ee532c91469427262074413.png；当6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png是偶数时，82519ad7710d2bdbe3193155645ea9e8.png。 ----(1分)

【思考】听奉贤区教改主任说，这道题目整个区的得分率就很低，不得不调细评分细则，尽量给分，很多学生做着做着就摸不清东西南北了，糊涂了，全糊在里面了，如果给考生两个小时，静下心来好好做这一道题目，那么我可以保证很多人能多得10分。

【预测】这几年上海高考数学的数列压轴题都很难，有些题目的方法很妙，但是我们说在现在基础上提高5－8分还是有可能的，数列压轴题目依旧会和前面的函数，向量，解析几何等等综合，但是记住讨论这种思想方法，奇偶讨论，参数讨论，分类讨论等等很重要，如果压轴题不涉及讨论，只是奇妙的方法搞你，那就不是高考题目，那是比奥赛还奥赛的奥赛题目，希望大家在平时训练中关注这种方法，衷心祝愿2020届考生能在这个方面有所突破。