三角函数的诱导公式(二)

【知识梳理】

诱导公式五和公式六

【常考题型】

题型一、给角求值问题

【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C．－ D．－

(2)已知sin＝，求cos的值．

[解析]　(1)sin 239°＋tan 149°

＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)

＝－sin 59°(－tan 31°)

＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)

＝－cos 31°·(－tan 31°)

＝sin 31°＝＝.

[答案]　B

(2)cos＝cos

＝sin＝.

【类题通法】

角的转化方法

(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数．若转化之后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数．

(2)当化成的角是90°到180°间的角时，再利用180°－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．

(3)当化成的角是270°到360°间的角时，则利用360°－α及－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．

【对点训练】

已知cos(π＋α)＝－，求cos的值．

解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，

∴cos α＝，∴α为第一或第四象限角．

①若α为第一象限角，

则cos＝－sin α＝－

＝－＝－；

②若α为第四象限角，

则cos＝－sin α＝＝＝

.

题型二、化简求值问题

【例2】 　已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；

(3)若α＝－，求f(α)的值．

[解]　(1)f(α)＝＝－cos α.

(2)∵cos＝－sin α＝，∴sin α＝－，

又∵α为第三象限角，∴cos α＝－＝－，

∴f(α)＝.

(3)f＝－cos

＝－cos＝－cos

＝－cos＝－.

【类题通法】

化简求值的方法

解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数的基本关系式变形求解．

【对点训练】

已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若角α的终边在第二象限且sin α＝，求f(α)．

解：(1)f(α)＝

＝

＝－cos α.

(2)由题意知cos α＝－＝－，

∴f(α)＝－cos α＝.

题型三、三角恒等式的证明

【例3】　求证：＝1.

[证明]　左边

＝

＝＝1＝右边．∴原式成立．

【类题通法】

三角恒等式的证明策略

对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

【对点训练】

求证：＋

＝.

证明：左边＝＋

＝＋＝

＝＝＝右边．∴原式成立．

【练习反馈】

1．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)

A．第一象限角　　　　　　　　　 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

解析：选B　由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.

2．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于(　　)

A. － B.

C．－ D.

解析：选B　cos(π＋A)＝－cos A＝－，

∴cos A＝，

∴sin＝cos A＝.

3．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.

解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos

＝－sin(π＋α)·

＝sin α·(－sin α)

＝－sin2α.

答案：－sin2α

4．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.

解析：将sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°中的首末两项相加得1，第二项与倒数第二项相加得1，…，共有44组，和为44，剩下sin245°＝，

则sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝.

答案：

5．化简：＋.

解：∵tan(－α)＝－tan α，sin＝cos α，

cos＝cos＝－sin α，

tan(π＋α)＝tan α，

∴原式＝＋

＝＋＝＝－＝－1.