2019年湖南省益阳市中考数学试卷

一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（4分）﹣6的倒数是（　　）

A．﹣ B． C．﹣6 D．6

2．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．＝﹣2 B．（2）2＝6 C．+＝ D．×＝

3．（4分）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（　　）

A． B．

C． D．

4．（4分）解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　）

A．x+2＝3 B．x﹣2＝3

C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）

5．（4分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（　　）

A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x2

6．（4分）已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（　　）

A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8

7．（4分）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

8．（4分）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（　　）

A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ

C．atanα+atanβ D．+

9．（4分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（　　）

A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD

10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（　　）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④

二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）

11．（4分）国家发改委发布信息，到2019年12月底，高速公路电子不停车快速收费（ETC）用户数量将突破1.8亿，将180 000 000科学记数法表示为　 　．

12．（4分）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是　 　．

13．（4分）不等式组的解集为　 　．

14．（4分）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　 　度．

15．（4分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是　 　．

16．（4分）小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是　 　．

17．（4分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝　 　．

18．（4分）观察下列等式：

①3﹣2＝（﹣1）2，

②5﹣2＝（﹣）2，

③7﹣2＝（﹣）2，

…

请你根据以上规律，写出第6个等式　 　．

三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（8分）计算：4sin60°+（﹣2019）0﹣（）﹣1+|﹣2|．

20．（8分）化简：（﹣4）÷．

21．（8分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．

22．（10分）某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数（含驾驶员）进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E，由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表．

（1）求本次调查的小型汽车数量及m，n的值；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量．

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．

（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；

（2）求证：ND＝NE；

（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长．

24．（10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．

（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；

（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？

25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；

（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．

提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；

（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；

（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．

2019年湖南省益阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（4分）﹣6的倒数是（　　）

A．﹣ B． C．﹣6 D．6

【分析】乘积是1的两数互为倒数．

【解答】解：﹣6的倒数是﹣．

故选：A．

【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．

2．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．＝﹣2 B．（2）2＝6 C．+＝ D．×＝

【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．

【解答】解：A：＝2，故本选项错误；

B：＝12，故本选项错误；

C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，属于基础计算能力的考查，本题较为简单．

3．（4分）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据特殊几何体的展开图，可得答案．

【解答】解：A、圆柱的侧面展开图可能是正方形，故A错误；

B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；

C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；

D、三棱锥的侧面展开图是三角形，故D错误．

故选：C．

【点评】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．

4．（4分）解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　）

A．x+2＝3 B．x﹣2＝3

C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）

【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以（2x﹣1），把分式方程便可转化成一元一次方程．

【解答】解：方程两边都乘以（2x﹣1），得

x﹣2＝3（2x﹣1），

故选：C．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

5．（4分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（　　）

A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x2

【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．

【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，

y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，

y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，

y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，

故选：B．

【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．

6．（4分）已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（　　）

A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8

【分析】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断．

【解答】解：由平均数的公式得平均数＝（5+8+8+9+10）÷5＝8，

方差＝[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2.8，

将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8，

5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8，

故选：D．

【点评】此题考查了学生对平均数，众数，中位数，方差的理解．只有熟练掌握它们的定义，做题时才能运用自如．

7．（4分）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．

【解答】解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，

故选：B．

【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

8．（4分）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（　　）

A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ

C．atanα+atanβ D．+

【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝atanα，BD＝atanβ，得出CD＝BC+BD＝atanα+atanβ即可．

【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，

∴BC＝atanα，BD＝atanβ，

∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ；

故选：C．

【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键．

9．（4分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（　　）

A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD

【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．

【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，

∴PA＝PB，所以A成立；

∠BPD＝∠APD，所以B成立；

∴AB⊥PD，所以C成立；

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴AB⊥PD，且AC＝BC，

只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．

故选：D．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．

10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（　　）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，

∴ac＜0，故①正确；

②∵对称轴x＜﹣1，

∴﹣＜﹣1，a＞0，

∴b＜2a，

∴b﹣2a＜0，故②正确．

③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．

④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误；

故选：A．

【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）

11．（4分）国家发改委发布信息，到2019年12月底，高速公路电子不停车快速收费（ETC）用户数量将突破1.8亿，将180 000 000科学记数法表示为　1.8×108　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：将180 000 000科学记数法表示为1.8×108．

故答案为：1.8×108．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（4分）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是　5　．

【分析】本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．

【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，

∴多边形的内角和是900﹣360＝540°，

∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．

故答案为：5．

【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可．

13．（4分）不等式组的解集为　x＜﹣3　．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．

【解答】解：，

解①得：x＜1，

解②得：x＜﹣3，

则不等式组的解集是：x＜﹣3．

故答案为：x＜﹣3．

【点评】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

14．（4分）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　52　度．

【分析】根据平行线的性质解答即可．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠OCD＝∠2，

∵OA⊥OB，

∴∠O＝90°，

∵∠1＝∠OCD+∠O＝142°，

∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°，

故答案为：52．

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．

15．（4分）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是　90°　．

【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数．

【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，

故答案为90°．

【点评】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．

16．（4分）小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是　　．

【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．

【解答】解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个，

∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为；

故答案为：．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

17．（4分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝　6　．

【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．

【解答】解：∵点P的坐标为（2，n），则点Q的坐标为（3，n﹣1），

依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），

解得：n＝3，

∴k＝2×3＝6，

故答案为：6．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．

18．（4分）观察下列等式：

①3﹣2＝（﹣1）2，

②5﹣2＝（﹣）2，

③7﹣2＝（﹣）2，

…

请你根据以上规律，写出第6个等式　13﹣2＝（﹣）2　．

【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．

【解答】解：写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．

故答案为13﹣2＝（﹣）2．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（8分）计算：4sin60°+（﹣2019）0﹣（）﹣1+|﹣2|．

【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．

【解答】解：原式＝4×+1﹣2+2＝4﹣1．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（8分）化简：（﹣4）÷．

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：原式＝•

＝．

【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

21．（8分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．

【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．

【解答】证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°

又∵∠D＝110°

∴∠ACB＝∠D

∵AB∥DE

∴∠CAB＝∠E

∴在△ABC和△EAD中

∴△ABC≌△EAD（AAS）．

【点评】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可．

22．（10分）某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数（含驾驶员）进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E，由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表．

（1）求本次调查的小型汽车数量及m，n的值；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量．

【分析】（1）由C类别数量及其对应的频率可得总数量，再由频率＝频数÷总数量可得m、n的值；

（2）用总数量乘以B、D对应的频率求得其人数，从而补全图形；

（3）利用样本估计总体思想求解可得．

【解答】解：（1）本次调查的小型汽车数量为32÷0.2＝160（辆），

m＝48÷160＝0.3，n＝1﹣（0.3+0.35+0.20+0.05）＝0.1；

（2）B类小汽车的数量为160×0.35＝56，D类小汽车的数量为0.1×160＝16，

补全图形如下：

（3）估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量为5000×0.3＝1500（辆）．

【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了用样本估计总体和频率分布表．

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．

（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；

（2）求证：ND＝NE；

（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长．

【分析】（1）证明四边形AMCD的对角线互相平分，且∠CNM＝90°，可得四边形AMCD为菱形；

（2）可证得∠CMN＝∠DEN，由CD＝CM可证出∠CDM＝∠CMN，则∠DEN＝∠CDM，结论得证；

（3）证出△MDC∽△EDN，由比例线段可求出ND长，再求MN的长，则BC可求出．

【解答】（1）解：四边形AMCD是菱形，理由如下：

∵M是Rt△ABC中AB的中点，

∴CM＝AM，

∵CM为⊙O的直径，

∴∠CNM＝90°，

∴MD⊥AC，

∴AN＝CN，

∵ND＝MN，

∴四边形AMCD是菱形．

（2）∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，

∴∠CEN+∠CMN＝180°，

∵∠CEN+∠DEN＝180°，

∴∠CMN＝∠DEN，

∵四边形AMCD是菱形，

∴CD＝CM，

∴∠CDM＝∠CMN，

∴∠DEN＝∠CDM，

∴ND＝NE．

（3）∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，

∴△MDC∽△EDN，

∴，

设DN＝x，则MD＝2x，由此得，

解得：x＝或x＝﹣（不合题意，舍去），

∴，

∵MN为△ABC的中位线，

∴BC＝2MN，

∴BC＝2．

【点评】本题考查了圆综合知识，熟练运用圆周角定理、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．

24．（10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．

（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；

（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？

【分析】（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可；

（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可．

【解答】解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，

由题意得：，

解得：；

答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；

（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，

由题意得：20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000，

解得：z≥640；

答：稻谷的亩产量至少会达到640千克．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．

25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；

（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．

提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．

【分析】（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；

（2）利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；

（3）由（2）知：点N是PQ的中点，即可求解．

【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，

将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，

解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；

（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：

如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，

S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，

∴S△OME＝S△OBM，

∴S四边形OMAD＝S△OBM；

（3）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，

解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5）；

如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，

由（2）知：点N是PQ的中点，

将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，

同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，

直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3），

同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，

联立①②并解得：x＝﹣，即点Q（﹣，），

∵点N是PQ的中点，

由中点公式得：点N（，﹣）．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中（3）直接利用（2）的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；

（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；

（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．

【分析】（1）作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝＝2，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，从而得出点C坐标；

（2）先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；

（3）由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN得＝＝，据此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝及cos∠OAD＝可得答案．

【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，

∴∠CDE+∠ADO＝90°，

又∵∠OAD+∠ADO＝90°，

∴∠CDE＝∠OAD＝30°，

∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，

在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，

∴OD＝AD＝3，

∴点C的坐标为（2，3+2）；

（2）∵M为AD的中点，

∴DM＝3，S△DCM＝6，

又S四边形OMCD＝，

∴S△ODM＝，

∴S△OAD＝9，

设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，

∴x2+y2＝2xy，即x＝y，

将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，

解得x＝3（负值舍去），

∴OA＝3；

（3）OC的最大值为8，

如图2，M为AD的中点，

∴OM＝3，CM＝＝5，

∴OC≤OM+CM＝8，

当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，

连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，

∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，

∴△CMD∽△OMN，

∴＝＝，即＝＝，

解得MN＝，ON＝，

∴AN＝AM﹣MN＝，

在Rt△OAN中，OA＝＝，

∴cos∠OAD＝＝．

【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．