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油田一中2018-2019（1）期中考试试卷

高三数学（理）金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试用时120分最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

钟。

第I卷 选择题 共40分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合, B={x|x－4x+3<0}，则集合A∪B等于（ ）

A． {x|－1．{x|－3－1} C．{x|x<1或x>3} D．{x|1

2. 若a、b、c∈R，则下列命题中正确的是（ ）

A．若ac>bc，则a>b B．若a>b，则a>b

C．若，则a>b D．若，则a>b

3. 要得到函数y=sin（2x－）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）

A．向右平移个单位 B．．向左平移个单位

C 向右平移个单位 D．向左平移个单位　　

4、在等差数列{a}中，若a>0，且3a=5a，则S中的最大项是（ ）

A．S B．S C．S D．S

5. 若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)

A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－5＝0

C．4x－y＋3＝0 D． 4x－y－3＝0

6. 已知函数f(x)＝

若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)

C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

7. 函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是(　　)

A．－＜a＜－ B．－1＜a＜－

C．－＜a＜－ D．－2＜a＜0

8. 设函数则函数的零点个数为

(A）1个 （B）2个

（C）3个 （D）4个

第Ⅱ卷 非选择题 共110分

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在题中的横线上。

9. 由抛物线，直线x=1与x=3，以及x轴所围成的曲边梯形的面积是

10. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值 为 .

11. 若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝ .

12. 若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是__________．

13. 函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中,则的最小值为 .

14. 如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，

||＝1，

则·＝__________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．

15. (13分) 在word/media/image38_1.png中，角word/media/image39_1.png为锐角,记角word/media/image40_1.png所对的边分别为word/media/image41_1.png设向量

，且与的夹角为word/media/image45_1.png

（Ⅰ）求的值及角word/media/image47_1.png的大小；

（II）若word/media/image48_1.png，求word/media/image38_1.png的面积word/media/image49_1.png．

16. (13分) 已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-2cos2x，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）当x∈ 时，求f（x）的最大值和最小值

17. 已知函数

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）设函数若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围.

18. (13分) 已知数列的前项和为，通项满足（是常数，且）.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

19. (14分) 已知数列word/media/image72_1.png的首项word/media/image73_1.png前word/media/image74_1.png项和为word/media/image75_1.png，且word/media/image76_1.png

（I）证明数列word/media/image77_1.png是等比数列；

（II）令word/media/image78_1.png，求函数word/media/image79_1.png在点word/media/image80_1.png处的导数word/media/image81_1.png并比较word/media/image82_1.png与word/media/image83_1.png的大小

20. (14分) 已知函数word/media/image84_1.png

（1）求函数f(x)是单调区间；

（2）如果关于x的方程word/media/image85_1.png有实数根，求实数word/media/image86_1.png的取值集合；

（3）是否存在正数k，使得关于x的方程word/media/image87_1.png有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.

油田一中2018-2019（一）期中考试

高三数学（理）参考答案

1. A 2. D 3. A 4.B 5. D 6. C 7. B 8. C

9. 10. 2 11. 1. 12. a＞3或a＜－1. 13. 8 14.

15. 解：（1）word/media/image90_1.pngword/media/image91_1.png

word/media/image92_1.pngword/media/image93_1.png 3分

word/media/image94_1.png，

word/media/image95_1.png 5分

word/media/image96_1.png

word/media/image97_1.png 7分

（2）(法一) word/media/image98_1.png,word/media/image99_1.png及word/media/image100_1.png,

word/media/image101_1.png, 即word/media/image102_1.png(舍去)或word/media/image103_1.png 10分

故word/media/image104_1.png 13分

(法二) word/media/image98_1.png,word/media/image99_1.png及word/media/image105_1.png,

word/media/image106_1.png. 7分

word/media/image107_1.png,

word/media/image108_1.png,word/media/image109_1.png

word/media/image110_1.png

word/media/image111_1.png. 10分

故word/media/image104_1.png …………………. 13分

16 解： 由题设得：f(x)=(sinx+cosx)²-2cos²x

=1+2sinxcosx-2cos²x

=1+sin2x-(1+cos2x)

=sin2x-cos2x=sin(2x-) 。。。。。。4分

（Ⅰ）最小正周期T=π， 。。。。。。。。5分

+2Kπ≤2x-≤+2Kπ k∈Z 。。。6分

π+2Kπ≤2x≤ .π+2Kπ

π+Kπ≤x≤7π/8+Kπ
单调递减区间[π+Kπ，7π/8+Kπ] k∈Z，。。。。。。。8分

（2） 0≤x≤

0≤2x≤π
- ≤2x -≤π- =π 。。。。。9分

当2x - = 即x＝π时，f(x)有最大值 。。。。10分

此时f(x)在[0，π]是增函数，在 [π，]是减函数。。。。。11分

所以f(x)的最大值是，f(x)的最小值是-1。。。。。。13分

17. 解:（Ⅰ）因为 ………………………………………………1分

令，因为，所以 ………………………………………2分

所以 ……………………………………………………5分

（Ⅱ）

所以 ………………………………………………6分

令得 ………………………………………………………7分

当时，；当时，

故在上递减；在上递增 ………………………9分

所以 即 ………………………12分

所以

实数的取值范围是……………………………13分

18、解：（Ⅰ）由题意，得所以…1分

当时，，所以 ……………2分

故数列是以为首项，公比为的等比数列

所以 ……………………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，

所以 ………………………………………6分

（Ⅲ）因为

所以

……………………………………………………8分

所以 …………………………………………9分

所以 ………………………………10分

欲使，即对都成立

须有

而当时，随的增大而增大

所以 ………………………………………………………12分

又为正整数，所以的值为1,2,3

故使对都成立的正整数存在，其值为1,2,3. …13分

19.解：由已知word/media/image76_1.png可得word/media/image170_1.png两式相减得

word/media/image171_1.png即word/media/image172_1.png从而word/media/image173_1.png

当word/media/image174_1.png时word/media/image175_1.png所以word/media/image176_1.png又word/media/image177_1.png所以word/media/image178_1.png从而word/media/image179_1.png………………………. 3分

故总有word/media/image180_1.png，word/media/image181_1.png又word/media/image182_1.png从而word/media/image183_1.png即数列word/media/image77_1.png是等比数列；…………………..4分

（II）由（I）知word/media/image184_1.png

因为word/media/image78_1.png所以word/media/image185_1.png………… 5分

从而word/media/image186_1.png=word/media/image187_1.png

=word/media/image188_1.png-word/media/image189_1.png=word/media/image190_1.png

由上word/media/image191_1.png-word/media/image192_1.png=

word/media/image193_1.png=12word/media/image194_1.png①…………………..11分

当word/media/image195_1.png时，①式=0所以word/media/image196_1.png；

当word/media/image197_1.png时，①式=-12word/media/image198_1.png所以word/media/image199_1.png

当word/media/image200_1.png时，word/media/image201_1.png

又word/media/image202_1.pngword/media/image203_1.pngword/media/image204_1.png

所以word/media/image205_1.png即①word/media/image206_1.png从而word/media/image82_1.pngword/media/image207_1.pngword/media/image83_1.png………………14分

20. 解：（1）函数word/media/image208_1.png的定义域是word/media/image209_1.png

对word/media/image208_1.png求导得word/media/image210_1.png …………（2分）

由 word/media/image211_1.png，由word/media/image212_1.png

因此 word/media/image213_1.png是函数word/media/image208_1.png的增区间；

（－1，0）和（0，3）是函数word/media/image208_1.png的减区间 ………………（5分）

（2）[解法一]：因为word/media/image214_1.png

所以实数m的取值范围就是函数word/media/image215_1.png的值域 …………（6分）

对word/media/image216_1.png

令word/media/image217_1.png

∴当x=2时word/media/image218_1.png取得最大值，且word/media/image219_1.png

又当x无限趋近于0时，word/media/image220_1.png无限趋近于word/media/image221_1.png无限趋近于0，

进而有word/media/image222_1.png无限趋近于－∞.因此函数word/media/image223_1.png的值域是 word/media/image224_1.png

即实数m的取值范围是word/media/image225_1.png ………………（9分）

[解法二]：方程word/media/image226_1.png有实数根等价于直线word/media/image227_1.png与曲线y=lnx有公共点，并且当直线word/media/image227_1.png与曲线y=lnx相切时，m取得最大值. ……（6分）

设直线word/media/image228_1.png相切，切点为word/media/image229_1.png求导得

word/media/image230_1.png，解得 word/media/image231_1.png

所以m的最大值是word/media/image232_1.png。而且易知当word/media/image233_1.png与曲线y=lnx总有公共点。

因此实数m的取值集合是word/media/image234_1.png ………………（9分）

（3）结论：这样的正数k不存在。 ………………（10分）

证明：假设存在正数k，使得关于x的方程

word/media/image235_1.png有word/media/image236_1.png两个不相等的实数根word/media/image237_1.png，则

word/media/image238_1.png …………（11分）

根据对数函数定义域知word/media/image239_1.png都是正数。

又由（1）可知，当 word/media/image240_1.png

∴word/media/image241_1.png=word/media/image242_1.png

再由k>0，可得word/media/image243_1.png

由于 word/media/image244_1.png不妨设 word/media/image245_1.png，由①和②可得 word/media/image246_1.png

利用比例性质得 word/media/image247_1.png

即word/media/image248_1.png …………（13分）

由于word/media/image249_1.png上的恒正增函数，且 word/media/image250_1.png

又由于 word/media/image251_1.png上的恒正减函数，且 word/media/image252_1.png∴word/media/image253_1.png

∴word/media/image254_1.png，这与（*）式矛盾。

因此满足条件的正数k不存在 ……………………（14分）