江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文

外测度的性质与计算

The properties and calculation of the outer measure

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学 院：数学与信息科学学院

专 业：数学与应用数学

指导老师：

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外测度的性质与计算

【摘要】Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础,本论文主要论述了它的一些性质及相关的计算.首先,给出了Lebesgue外测度的定义；接着,指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；同时给出了外测度的介值定理和一些其他的性质,并讨论了在一般情况下,外测度不具备可数可加性；然后讨论了可数集的外测度的性质,着重写出可数集的外测度具有可数可加性；最后是与外测度计算相关的一些例题.

【关键词】Lebesgue外测度，次可数可加性，距离可加性。

The properties and calculation of the outside measure

【 abstract 】 Lebesgue outer measure is the base of lebesgue integral, this thesis mainly discusses some properties and its related calculation. At first, give the definition of Lebesgue outer measure; then pointed out and proved the outer measure has nonnegative, monotonicity and second countable additive property , distance additive property,translation invariant property ,the five main properties; It also gives the outer measure mean value theorem and some other properties, and discusses the properties under the meaning of general point sets, the outer measure does not have countable additive property. Then discussed the property of outer measure of countable set, and emphatically write that outer measure of countable set has count additive property. And the last is some examples about outer measure computation.

【 keywords 】Lebesgue outer measure, Second countable additive property , Distance additive property

目录

1 引言……………………………………………………………………………………………1

2 Lebesgue外测度的定义……………………………………………………………………1

3 一般集的外测度的性质……………………………………………………………………2

3.1 非负性…………………………………………………………………………………2

3.2 单调性…………………………………………………………………………………2

3.3 次可数可加性……………………………………………………………………… 2

3.4 距离可加性………………………………………………………………………… 2

3.5 平移不变性………………………………………………………………………… 4

3.6 对外测度有限可加性及可数可加性的研究………………………………… 4

3.7 外测度的介值定理…………………………………………………………………6

3.8 外测度的其他性质…………………………………………………………………7

4 可测集的外测度…………………………………………………………………………… 8

5 外测度的计算………………………………………………………………………………10

6 小结………………………………………………………………………………………… 11

参考文献…………………………………………………………………………………………12

外测度的性质与计算

1 引言

在19世纪时,数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann积分的古典理论已不足以解决数学分析中的许多问题,为了克服Riemann积分在理论上的局限性,必须改造原有的积分定义,建立一种新型积分.19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索,逐渐形成测度概念,1898年,Borel建立了一维Borel点集的测度,法国数学家Lebesgue在1902年他的博士论文《长度、面积和积分》中系统的建立了测度论,并成功的建立起新的积分理论--Lebesgue积分（1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般代数上建立测度,开始创立抽象测度理论,1918年,意大利数学家Caratheodory关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用.）.Riemann积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和,这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann可积函数类之外；Lebesgue积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和.例设在上有界,满足,作分割

令 ， 则对应于上面分割的积分和为,其中为点集的长度,这种积分的优点在于可以取很小,使得积分和的近似程度很高,它将积分对象从Riemann可积函数类扩充到更大一类函数——可测函数类.积分和计算的关键是点集的度量，对于通常的区间的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到在中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue外测度与测度理论。Lebesgue外测度是对中一般的点集E给出的一种度量,是长度、面积和体积等概念的推广,是Lebesgue积分的基石,所以对其性质和计算的研究是非常重要的,下文即是对Lebesgue外测度的性质与计算的一些研究.

2 Lebesgue外测度的定义

定义1 我们称n维空间Rn中的点集为开区间,其中为常数（因此空集也是开区间,此时需某）.当满足的条件分别改为和时,相应的点集分别称为闭区间和左开右闭区间.而数称为这三种区间的体积,记作.

设ERn,若{IK}是Rn中可数个开区间,使得k,则称{IK}是E的一个可数开覆盖,显然,E的每一个可数开覆盖的体积和确定了一个非负广义数（即可取有限数或+）.

定义 2 称为点集E的Lebesgue外测度,简称外测度,记作m*E.

注：上述定义中E的开覆盖中开区间的个数可以是有限的,因为可以取作空集.

3 一般集的外测度的性质

3.1 非负性

定理1 非负性：,Ø=0

证明由定义可直接推出.

3.2 单调性

定理2 单调性：若,则

证明 设{IK}是E2的可数开覆盖,则它也是E1的可数开覆盖.因此

3.3 次可数可加性

定理3 次可数可加性：（）

证明 对于任意及每一正整数k,由外测度定义,存在的可数开覆盖,使得, ,，由此得

,

即是的可数开覆盖,从而有，由的任意性,得

3.4 距离可加性

定理4 距离可加性： 设E1,E2是Rn中的点集,若它们的距离，则

分析 由次可加性,对Rn中任意两个点集E1和E2,总有

因此只需证明

由外测度定义,如果的任意可数开覆盖,能够分解为E1和E2的开覆盖,而且这两个开覆盖中没有公共区间即可.显然这点一般是做不到的,但是由于E1和E2之间有正距离,所以当我们选择的开覆盖,使其中的区间充分小时,分解成E1和E2的没有公共开区间的开覆盖就能做到.

引理 1 设,对任意正数,令

则有

证明：由于边长小于的区间所构成的开覆盖是E的开覆盖的一部分,故.下证不妨设. 由外测度定义,对任意,存在E的可数开覆盖,使得

对每个k,把IK分割成个开区间：它们互不相交且每个开区间的边长都小于.现保持每个的中心不动,边长扩大倍作出新的开区间,记为.显然对每个k,有

,

易知是E的边长小于的可数开覆盖,且有

从而可知 令,由的任意性,得

因此

外测度距离可加性的证明：

由分析可知,只需证明,设.对任意,由引理1,作得可数开覆盖,使得

其中每个Ik的边长都小于.显然可将分为两组和使得

由于Ik的边长都小于,故Ik的直径小于,因此以上两组开区间中的每个开区间不能同时含有E1和E2中的点,从而

再由的任意性,即得。距离可加性得证.

3.5 平移不变性

定理5 平移不变性：设E, ,令E+,则

证明：由开区间的性质可知,对任意的开区间,有,于是对于E的任意覆盖,经平移后是E+{}的一个覆盖,从而有

故 ，又E++=E可得。命题得证。

3.6 对外测度有限可加性及可数可加性的研究

有限可加性：当Ø时,

可数可加性： 当时,

显然,可数可加性蕴含有有限可加性.

由距离可加性可以知道,如果,是中点集,若它们的距离，

则

对任意若,有

即当点集间满足正距离时,它们的外测度有可加性,如果没有正距离的条件时,外测度是否仍然有可加性呢？

对于开区间中的任意点x,令，由于,故Rx非空.

引理 2 对任意,或者,或者

证明 设,则a-x,a-y都是有理数.于是对任意

也是有理数,故,所以,同理可证,所以命题得证.

显然, ,其中有些Rx与Ry是相等的,由于每个Rx都是可数集,所以分解为不可数个互不相交的这样的Rx的并,从每个Rx中选取一个元素构成集合W.由于,故.

记内所有的有理数为.令

显然,由外测度的平移不变性,

引理 3 对上面构造的Wn,有以下性质

（1） 当时,

（2）

证明 (1)若,设,则

,，所以为有理数,故为同一个Rx中的元素,由W的作法知, ,则,与已知矛盾.

（2）对任意,设,则是有理数,且.于是存在正整数m,使.从而所以

定理 6 Lebesgue外测度不具备有限可加性和可数可加性.

证明 设,则.若a=0,由于,由次可加性有 矛盾,故a>0.如果外测度是有限可加的,则

，但，所以，故

上式对一切N成立,矛盾.所以外测度不具有有限可加性,将上面证明中的N改为,则可证外测度不具有可数可加性。

3.7 外测度的介值定理

外测度的介值定理：设E为实直线的有界子集, ,则对任意小于的正数C,均有,使.

证明：因为E为有界集,所以可以在上定义函数, 显然,当时, ,依外测度的单调性,有,故知f是上的单调增加函数.

任取与,使,依外测度性质,得

==

故在处右连续，类似可证在处左连续,从而得在上连续.

由,则依闭区间上连续函数的介值定理,知存在,使,即,取集合,则有.

3.8 外测度的其他性质

1 若,则对任意点集B,有.

证明：因为,依单调性,有

所以。

2若,则

证明：因为, ,故

又,，故， 于是证得

因为,则 又, 有,所以

又,结合上式可得

综上可得

3 设A,B是中的两个点集,且,证明：,其中

证明：因为, ,由外测度的次可加性与单调性,得

由,故不等式两边同时减去,得

类似可得,综合即得

4设A,B,C是中的点集,且, ,证明：

证明：只需证明，即

先证.当时, ,此时,若；若,所以,即

类似可证综合即证,则所以

5 设，则对都有

证明见参考文献[9]

4 可测集的外测度

定义3设,若对任意的点集,有，则称E为Lebesgue可测集,简称可测集.可测集的外测度称为它的Lebesgue测度,简称测度,记作mE.

可测集的性质：

（1） 为可测集,；

（2） 若E为可测集,则为可测集；

（3） 若E,F为可测集,则都为可测集；

（4） 若为可测集,则也是可测集.

引理 4 若对任意A,B, ,有，则对任一列互不相交的,有。

证明：由条件易得，由外测度的单调性,有

由于k是任意的,令k,即得，由外测度的次可加性得

所以.

可测集的外测度具有可数可加性

定理 7 若为可测集, , ,则有

证明：不妨在中取,由为可测集可知,对任意集T,有

取T得

即 由引理 4得

定理 8 设是可测集序列,且则也是可测的,且

证明：因为,故可测.若存在,使,则结论显然成立.现设.由的单调性及可测性,均可测且不相交,所以有由于,所以

，

令,则，由可数可加性,有

=

类似的性质还有：若有递减可测集合列,则

5 外测度的计算

例1 在中,设E是[0,1]中的有理数全体,证明：.

证：依定义,. >0,记E=（）,令,则m.由于,所以依外测度定义又有故综合可知.并由此得,对可列点集E,有.

例2 证明：[0,1]中的康托尔集C的外测度是零.

证明 因为（由康托尔集的构造过程知,是个长度为的闭区间之并集）,故从而得

例3 若k是1与n之间的某个整数,a是某实常数,并记

, 则E是中的零测集.

证明 对记

显然,满足的集称Lebesgue零测集,简称零测集,零测集的子集是零测集,有限个或可列个零测集之并仍是零测集.所以只要证是零测集.取开区间

,

显然,且由的任意性知,故

例 4 证明：[0,1]中无理数集的外测度为1.

证明：设是[0,1]中的无理点集,是有理点集,而[0,1]=因可列故于是有

又因为依单调性有综上所述,得=1.

例5 设是中的有界集，则存在使

证明 由是中的有界集，所以也是有界集，如果，则，则任意一个都满足题目要求。如果，则存在某个，使得，于是

，

由外测度的介值定理可知存在使

6 小结

Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础,本论文主要论述了它的一些性质并相关的计算.首先,给出了Lebesgue外测度的定义；接着,指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；同时给出了外测度的介值定理和一些其他的性质,并讨论了在一般情况下,外测度不具备可数可加性；然后讨论了可数集的外测度的性质,着重写出可数集的外测度具有可数可加性；最后是与外测度计算相关的一些例题.

参考文献：

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周民强.实变函数论（第二版）.北京：北京大学出版社,2008.

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