超越函数积分的五种解法

On the five solutions to integral transcendental function

袁玉军，陈婷婷，韩仁江

指导老师：李声锋

蚌埠学院 数学与物理系

摘要: 大学数学课程系统介绍了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文基于这些理论，给出了求解超越函数积分问题的五种方法.

关键词：超越函数；积分；大学数学

Abstract:In this paper ,by using the Laplace transform ,the residue theorem,the binary function,etc.to solve the problem of the transcendental function's integral

Keywords:transcendental function ,integral

1.引言

牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函数的原函数不能用初等函数表示，如，，等函数. 在阻尼振动、热传导与正态分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.在大学数学课程的学习中，我们已经较全面掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法.

2.五种解法

(1)基于幂级数展开法求积分

引理1[1] 若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则

例1 求定积分

分析 注意到在内连续，且

若定义函数

显然，在点为可去间断点，故在上可积. 因此这是一道普通的定积分问题，然而被积函数的原函数不易找到，下面用幂级数展开求解.

解 因为

所以

.

又因为级数

在区间上一致收敛，且通项连续，所以得到

■

（2）基于柯西积分公式求积分

引理2（柯西积分公式）[2] 设区域的边界是周线（或复周线），函数在内解析，在上连续，则有

例2 求定积分

分析 若此题利用牛顿——莱布尼茨公式，则寻找被积函数的原函数比较困难. 考虑到构造复变函数，利用该复变函数的积分来间接求出原积分.

解 考察复变积分，其中，利用柯西积分公式得

. (1)

令，代入得

(2)

又因为在上为偶函数, 所以由可得

.■

注：这题虽然不难，但给了我们启示——任意给定函数，构造复变函数且该函数在某区域上的积分容易求出，使给定函数等于复变函数的实部或虚部，这样就可以求出实变函数的积分.

(3)基于留数理论求积分

引理3（柯西留数定理）[2] 若在周线或复周线所围的区域内除外解析，在闭域上除外连续，则

引理4（若当尔引理）[2] 设函数沿半圆周充分大上连续，且在上一致成立，则

引理5[2] 设沿圆弧上连续，且在上一致成立极限

，

则有极限

例3 计算积分

解 因为积分存在，且

=

考虑函数沿图1所示闭曲线路径的积分

图1 闭曲线路径

根据柯西积分定理得

或改写成

(3)

其中分别表示半圆周.

由引理4知

由引理5知

.

在式(3)中，令，得的主值为

.

所以

==.■

(4)基于拉普拉斯变换法求积分

从例3的解题过程看出，利用留数方法计算积分比较繁琐，以下利用拉普拉斯变换求解上题，相对比较简单.

引理6[3] 由积分所定义的确定于复平面上的复变数的函数，称为函数的拉普拉斯变换，其中于有定义，且满足不等式

，这里为某两个正数，称为原函数，而称为像函数.

解 令，

对进行拉普拉斯变换，有

，

交换积分顺序得

，

则为的拉普拉斯变换.

由欧拉公式得

，

，

，

其中把看为变量.

从而

.

所以

=，

即的像函数为，

所以

=.■

(5)含参变量积分法

引理7[1] 设在连续，若在上一致收敛，则在上可积，且

.

引理8[1] 设与在区域上连续，若在上收敛，在上一致收敛，则在上可微，且

通常，含参变量积分法主要有两种方法.

方法一：把超越函数的积分化为二元函数的积分问题，再利用引理7的积分交换顺序，从而求出超越函数的积分.

例4 计算

解 因为

，

所以

由于及反常积分收敛，根据威尔斯特拉斯判别式(M判别式)，含参变量反常积分在上一致收敛，由于在上连续，根据引理7，于是

■

方法二：把超越函数积分看成某个变量的函数，利用引理8，先微分，后积分，求出超越函数的积分.

例5 [6] Define

for.Both integrals exist (they converge absolutely) since the absolutely values of the integrands are at most and , respectively

Note that is obtained from by differentiating the integrand with respect to. We claim that is differentiabale and that

(3)

To prove this ,let us first examine the difference quotients of the cosine:if,then

(4)

Since,the right side of (4) is at most in absolute value ;the case Is handled similarly. Thus

(5)

for all (if the left side is interpreted to be 0 when)

Now fix t,and fix.Apply(5)with it follows from(1)and (2)that

When ,we thus obtain (3).

Let us go a step further:An integration by parts, applied to (1),shows that

(6)

Thus and (3) implies now that f satisfies the differential equation

(7)

If we solve this diffrential equation and use the fact that,we find that

(8)

The integral (1) is thus explicitly determined.■

3.小结

本文通过大量的数值实例，给出了关于超越函数积分问题的五种方法——幂级数展开法求积分、基于柯西积分公式求积分、基于留数理论求积分、基于拉普拉斯变换法求积分以及含参变量积分法，只是起到抛砖引玉的作用.还有其它的求解方法，如傅氏积分法【4】、最陡下降法等【5】，还需广大读者共同讨论。

【参考文献】

[1] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版，下册）[M].高等教育出版社，2008:40,184,187

[2] 钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].高等教育出版社，2003:120,226,243,246

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[6] [美]Walter Rudin数学分析原理（英文版，第三版）[M].机械工业出版社，2004：237，