上海市2019学年度高三年级学业质量调研数学试卷

2019.2.23

考生注意： 本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.函数的定义域为

2.若直线与直线互相垂直，则实数

3.复数满足=，则=

4.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为

5.在中，若，，，则

6.已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则

7.设等差数列的公差，前项的和为，则

8.已知是抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中点为，则的面积为

9.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产品进行检测，则3个产品中至多有1个次品的概率为

10.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层

11.函数的图象与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只要将的图象向右平移 个单位

12.设，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点A，它的反函数的图象与轴交于点B，并且两函数图象相交于点P，已知四边形面积为6，则的值为

13.设函数的定义域为D，如果对于任意的，存在唯一的，使（C为常数）成立，则称函数在D上的均值为C.下列五个函数：①②③④ ⑤，则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号

14.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则 数列为等差数列，且通项为．类似地，若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项 的积为，则数列为等比数列,通项为_____________

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.

15.下列有关命题的说法正确的是

A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．

B．“”是“”的必要不充分条件．

C．命题“存在使得”的否定是：“对任意 均有”．

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．

16.已知函数f（x）=sin（2）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）·的值为

A． B． C．1 D．2

17.如图，偶函数的图象形如字母M，奇函数的图象形如字母N，若方程： 的实数根的个数分别为a、b、c、d，则=

A．27 B．30 C．33 D．36

18.已知表示大于的最小整数，例如．下列命题:

①函数的值域是；

②若是等差数列，则也是等差数列；

③若是等比数列，则也是等比数列；

④若，则方程有个根.

其中正确的是

A.②④ B.③④ C.①③ D.①④

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．

(1)将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积

(2)在中，满足：,，求向量与向量的夹角的余弦值

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．

已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是、、．

（1）若、、依次成等差数列，且公差为2．求的值；

（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．

已知函数

（1）判断函数f (x)在区间(0, +∞)上的单调性，并加以证明；

（2）如果关于x的方程f (x) = kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．

22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分,第（3）小题满分6分

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为

2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.

(1)求W的方程；

(2)经过点（0,）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围

（3）已知点M（，0），N（0, 1），在(2)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分

设各项均为非负数的数列的为前项和（，）．

（1）求实数的值；

（2）求数列的通项公式（用表示）．

（3）证明：当（）时，

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 2. 1 3. 5 4. 5. 6. 4 7. 3

8. 2 9. 10. 8 11. 12.3 13. (2)(3)(5) 14.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.

15.D 16.C 17. B 18D.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．

(1)设扇形的半径和圆锥的母线都为，圆锥的半径为，则

；；

(2)设向量与向量的夹角为

，令，

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．

（1）、、成等差，且公差为2，

、. 又，，

， ，

恒等变形得，解得或.又， .

（2）在中，， ，，.

的周长

，

又， ,

当即时，取得最大值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．

(1),

上是减函数

上是增函数

(2)原方程即：

①恒为方程的一个解．

②当时方程有解，则

当时，方程无解；

当时，，方程有解．

设方程的两个根分别是则．

当时，方程有两个不等的负根；

当时，方程有两个相等的负根；

当时，方程有一个负根

③当时，方程有解，则

当时，方程无解；

当时，，方程有解．

设方程的两个根分别是

，

当时，方程有一个正根，

当时，方程没有正根

综上可得，当时，方程有四个不同的实数解

22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分,第（3）小题满分6分

(1) 设C（x, y）,

∵ , , ∴ ,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴ . ∴ ∴ W: .

(2) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.

整理，得. ①

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，解得或.

∴ 满足条件的k的取值范围为

（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),

由①得. ②

又 ③

因为，， 所以.

所以与共线等价于.

将②③代入上式，解得.

所以不存在常数k，使得向量与共线.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分

（1）当时，，所以或，

若，则，取得，即，这与矛盾；

所以，取得，又，故，所以，

（2）记①，

则②，

①②得，又数列各项均为非负数，且， 所以，

则，即，

当或时，也适合，

所以；

（3）因为，所以，

又（）

则

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时等号成立）

所以.