第一章 复数与复变函数(1)
1.计算
3.设试用三角形式表示及。
解:
11.设三点适合条件及试证明是一个内接于单位圆的正三角形的顶点。
证明:
所组成的三角形为正三角形。
为以为圆心,1为半径的圆上的三点。
即是内接于单位圆的正三角形。
.
17.证明:三角形内角和等于。
证明:有复数的性质得:
第一章 复数与复变函数(2)
7.试解方程。
解:由题意,所以有;
;所以;
;;;.
12.下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么?它是不是区域?
解:此图形表示一条直线,它不是区域。
解:即此图形为的区域。
解:此图形为的区域。
解:此图形表示区间辐角在的部分。
解:表示半径为1的圆的外上半部分及边界,它是区域。
解:它表示虚部大于小于等于的一个带形区域。
解:此图形表示两圆的外部。
解:,,它表示两相切圆半径为的外部区域。
解:此图形表示半径为2的圆的内部,且的部分,它是区域。
)
解:此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在的部分,它是区域。
第二章 解析函数(1)
4.若函数在区域D上解析,并满足下列的条件,证明必为常数.
证明:因为在区域上解析,所以。
令,即。
由复数相等的定义得:,。
所以,(常数) ,(常数),即为常数。
5 .证明函数在平面上解析,并求出其导数。
(1)
证明:设=
则,
;
;
满足。
即函数在平面上可微且满足条件,故函数在平面上解析。
8.由已知条件求解析函数, ,。
解:, 。
所以即是平面上调和函数。由于函数解析,根据条件得,于是,,其中是x的待定函数,再由C—R条件的另一个方程得=,
所以,即。于是
又因为,所以当,时,得
所以。
第二章 解析函数(2)
12.设是的解析函数,证明, 。
证明:是z上的解析函数,所以,在上处处可微,即,,
所以,,所以,
同理,,所以,
即得所证。
14.若,试证:(1)。
证:
=
=
18.解方程。
解:,
即,设
,得,即。
20.试求及。
解:
,
22,求证
证: (x,y,均为实数),所以
当则极限趋近于z轴,有
当时,则极限趋于z轴,有,
故。
第三章 柯西定理 柯西积分(1)
1.计算积分积分路径是直线段。
解:令,则:
。
2.计算积分路径是(1)直线段,(2)右半单位圆,(3)左半单位圆。
解:,
,则
,
5.不用计算,证明下列分之值为零,其中为单位圆。
(1),(2),(3),
解:(1)因为函数在单位圆所围的区域内解析,所以。
(2)因为函数在单位圆内解析,所以。
(3)
6.计算,,,。
解:。
。
。
。
7.由积分之值,证明,其中取单位圆。
证明:因为被积函数的奇点在积分围道外,故,现令,则在上,,
,
比较可得:,
。
第三章 柯西定理 柯西积分(2)
8.计算:
(1)。
解:
。
10.设表圆周,,求。
解:设,它在复平面内解析,故当时,则由哥西积分公式有,所以
。
11.求积分从而证明:。
解:由于,函数在处不解析,。
令,则
,故
,所以
,即
。
13.设,利用本章例5验证哥西积分公式以及哥西求导公式。提示:把写成。
证明:设,则式的右边为可写为:
由哥西积分定理有:
,所以右边,
即 左边=右边。
再由式子可知当时,,成立。
假设当时,等式成立。则
当时,成立。
所以。
14.求积分(1),(2),其中
解:(1)被积函数有奇点,该奇点在积分围道内,由哥西积分求导公式有:
第四章 解析函数的幂级数表示(1)
2.将下列函数展为含的幂级数,并指明展式成立的范围:
(1),(2),
(3),(4), (5)(6),
(1)解:原式=
(2)解:原式= |z|<∞
(3)解:原式= |z|<∞
(4)解:原式= |z|<∞
(5)解:原式= |z|<∞
(6)解;原式= |z|<1
4.写出的幂级数至少含项为止,其中。
解:,
两式相乘得
5.将下列函数按的幂展开,并指明收敛范围:
(1), (2),
(3), (4),
解:(1)原式=
(2)原式=
(3)
(4)解:原式
6.设,证明,指出此级数展式之前5项,并指出收敛范围。
解:(),
)
原式=
第四章 解析函数的幂级数表示(2)
9.将下列函数在指定环域内展成罗朗级数:
(1)
解:原式
在内,上式
在内,上式
(2),
解:原式
(3)
解:原式
(4),
解:当时,原式=
当时,原式=
(5),。
解:
。
10.将下列各函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数,并指出成立的范围:
(1) ,其中。
解:
(2) ,
解:,
11.把展成下列级数:
(1)在上展成的泰勒级数。
解:, 。
(2)在上展成的泰勒级数。
解;,
(3)在上展成的泰勒级数。
解:原式, ||<1
(4)在上展成的泰勒级数。
解:原式
12.把展成在下列区域收敛的罗朗或泰勒级数:
(1),
解:原式,
(2)
解:原式,
(3)
解:原式,
(4)
解:原式,
(5)
解:原式
,
(6)
解:原式
。
(7)
解:原式
第四章 解析函数的幂级数表示(3)
13.确定下列各函数的孤立奇点,并指出他们是什么样的类型,对于无穷远点也要加以讨论:
(1)
解:孤立奇点为:,
对于原式=Z为一阶极点
,原式=为二阶极点,
同理:也为二阶极点。
对,原式=,由于,即为可去奇点。
(2)
解:,为二阶极点。
即为可去极点。
(3)
解;,为一阶极点。
即为可去极点。
(4)
解:为本性极点。
即在无穷远点为可去极点。
(5)
解:z=0,即z=0时,有(m-1)阶极点,
即无穷远点为可去极点。
(6)
解:,即无穷远点为可去极点。
(7)
解:,,
(k=0,, )一阶极点,
不存在,为本性极点。
(8)
解:,, ,一阶极点。
即可去极点。
(9)
解:,三阶极点,
(10)
解: ,,一阶极点,>不存在
(11)
解:,为本性奇点,即为可去奇点。
(12)
解:,一阶极点,可去奇点。
14.设分别以为阶极点,试问为的什么样的特点。
解;设
(1)
(m+n)阶极点 (2)
(3)
所以
当m≠n时 z=a为f+g的max{m,n}阶极点
当m=n时
15.设,且以为解析点或极点,而以为本性奇点,证明是,,的本性奇点。
证明:设
显然其中主要部分有无限项。
所以z=a是±f(z)+ (z)的本性奇点。
所以z=a是f(z)(z)及的本性奇点。
16.讨论下列函数在无穷远点的性质。
(1)
解: 二阶极点。
(2)
解:可去极点。
(3)
解:
由上得:=±1
从而得:z=∞为本性奇点。
(4)
解: 可去奇点。
第五章 残数及其应用(1)
1. 求下列函数在指定点处的残数.
在
解:当时,=,
当时,.
求时的残数,用残数和定理,即,
,
在
解:由题可知,是本题的极点,将用罗朗展开得:
=,求, 。
(3)在.
解:将原式用罗朗展开得:=,,根据残数和定理,.
(4)在,
解: 的奇点为1,将用罗朗展开式展开得:
所以,,
根据残数和定理得:
2.求下列函数在其孤立奇点(包括无穷远点)处的残数(是自然数).
解:将式子用罗朗展开,当.
当m为奇数时,残数为0,当为偶数时,,根据残数和定理,
(2)
解:是函数的一阶极点。
当时,
,
解:本题是以为阶极点,以为其一阶极点.
-
根据残数和定理得:
-+=0
(4)
解:是以为二阶极点,
根据残数定理和得:.
解:用罗朗展开式展开得:本题以为一阶极点.
=
当时有解,则,,所以,根据残数和定理得:-
解:本题以为其孤立齐点.
解:本题以为奇点。
用罗朗展开式得:
原式得:,所以
解:本题以为阶极点。所以
=
第五章 残数及其应用(2)
3.计算下列积分。
解:用残数方法求,用罗朗展式展开,
由上式可已看出没有符合残数要求的项,所以,即=0。
解:用残数方法求解,
在有 二阶极点,i有一阶极点.
(z+i)
(3),,n为自然数。
解:分别以为其阶极点。
=,=
当为偶数时,=
当为奇数时,=0
(4)
解:在围线内,有两个不解析点,
,
即=
(5)
(6)
解:本题以为其一阶极点。
=, =。
即=-=-=
4.求下列积分值。
(1)(a>1)
解:=
由于分母有两个一阶极点:,,很明显只有
所以只有符合题意,所以,
即==
(2)
解:原式等于=
在时,只有的一个一阶极点.
,所以,=2
(3) (>0)
解:原式===-
令,则为其二阶极点.所以
即=
(a为是实数而且)
解:=-=
5.求下列个积分的值。
(1)
解:函数在上半平面有两个一阶极点:。
,
所以,=
(2)
解:函数在上半平面有一个二 阶极点。
=
所以,=
(3)
解:因为是偶函数。所以=令=
在上半平面有两个极点。
所以,=
(4) (m>0,a>1)
解:由于是偶函数,而且在上半平面只有两个一阶极点:
同理,
所以,=
(5)
解:=
函数=在上半平面有两个一阶极点:
而,
即=
第七章 一维波动方程的傅氏解
1. 今有一弦,其两端被钉子钉紧,作自由,它的初位移为:
,初速度为0,试求其付氏解,其中h为已知常数。
解:所求问题是一维波动方程的混合问题:,根据前面分离变量解法得其傅氏解为:。
其中,,
,
于是所求傅氏解为:
2.将前题之初始条件改为:,试求其傅氏解。
解:所求问题为一维波动方程的混合问题:
。
3今有一弦,其两端和为钉所固定,作自由摇动,它的初位移为0。初速度为
,其中为常数,试求其傅氏解。
解:所求问题为一维波动方程的混合问题:
4.今有一弦,其两端固定在和两处,在开始一瞬间,它的形状是一条以过
点的铅垂线为对称抛物线,其顶点的纵坐标为h,假定没有初速度,试用付氏方法求弦的振动情况:
解:设其抛物线方程为,将点代入得:
,故方程为,即
,
所求问题为一维波动方程的混合问题,
,
5求解混合问题。
解:,
。
6.求解混合问题。
解:所求问题为一维波动方程的混合问题:
第八章 热传导方程的付氏解
1.一根长为的枢轴,它的初温为常数,其两端的温度保持为0,试求在枢轴上温度的分布情况。
解:所求问题为热传导方程混合问题,其付氏解为:
,
其中:
故:
5.有一两端无界的枢轴,其初始温度为,试求在枢轴上的温度分布为。
解:所求问题为热传导方程初值问题,
其付氏解为:
=
=
=
=0
故:
6.利用前题的结果,证下面重要的定积分:。
解:由上题结论:
当时,
,
即:
令,则有:
即: 得证。
第九章 拉普拉斯方程圆的狄利克雷问题付氏解(1)
1、试证明拉普拉斯方程在极坐标下的形式为:。
证明:,
,
同理:
得到极坐标下二维拉普拉斯方程具有如下性质
。
2、求解狄利克雷问题,其中A,为已知常数。
解:其付氏解为:,
其中:
3、求解狄利克雷问题,其中A为已知常数。
解:其付氏解为:,
其中:
当n=1时,才有值
=
。
第九章 拉普拉斯方程圆的狄利克雷问题付氏解(2)
12、试证明:
证明:由
有 =
=
证得:
13、试证明:
证明:=
=
故证得:
第十章 波动方程的达氏解
2.验证满足波动方程。
证明:,,
而
代入等式成立。即为所证。
4.试求出方程的通解为,其中和为充分光滑的任意函数。
解:
把上面各式代入方程有:
即,
故为方程的通解。
5.试用行波法求解定解问题:。
解:将方程的两边对积分得:
再对积分得,其中和由定解条件确定。则有
所以
所以
第十一章 格林公式
3.求解圆的狄利克雷问题,其中A为常数。
解:由圆的狄利克雷积分公式,
本题中,于是,将上试中的分子与分母同除以,并记,得
。
另,则,
,,
一并代入上试中积分,于是得:
令分母为零,得到被积函数的奇点,,故在内有奇点和,且均是单极点,故有留数定理有:
,
则有:。
解:
。
第十三章 Fourier变换
1. 求函数的Fourier变换。
解:由Fourier变换的定义有:
由函数的奇偶性有:,
(1) 若,,于是有:
(2) 若,则,于是有
,
得。
(3) 若,则:如果故有:
,
于是,同理如果,则。
2. 求函数的Fourier变换。
解:在中是偶函数,于是由Fourier变换公式有
3. 求解热传导方程的初值问题。
解:对定解问题各项以为变量施行Fourier变换,并记
则定解问题化为,它的解为
它的逆变换得:
则
第十四章 Laplace变换
1. 求下列函数的Laplace变换
(1),
解:由Laplace变换的定义有
(2),
解:由线性性质和上式有
2. 求下列函数的Laplace逆变换。
(1),(2),
解:(1)
又由,
所以
(2)因为,
取得即
,所以
3. 求解常微分方程初值问题。
解:记对方程中各项施行Laplace逆变换,注意应用微分性质并将初始条件代入,得
,该方程的解为,
将以0为中心展开为级数,得
因为
故有,
代入初始条件得
于是得
4.设有一初始温度为的单位长度的均匀杆,杆的侧面绝热,而两端的温度均保持零度,试求杆内的温度分布。
解:其定解问题为,这虽然是一有界问题,但由于的变换范围为及已知,故可用Laplace逆变换法求解,记
对方程和边界条件对于变量施行Laplace逆变换并代入初始条件得
解此非齐次的二阶微分方程得
取逆变换得
第十五章 球函数
1.试证
证明:
2.将函数,按勒让得多项式展开。
解:令,其中
因为是偶函数,故当为奇函数,即当时,,
于是
,,
于是
所以。
3.设有一半径为的球,球面上的电势分布为,求球内的电势分布。
解:其定解问题为,
令代入方程得在中的解,为
将其代入边界条件得
故由球函数的展开式立即可得
¥29.8
¥9.9
¥59.8