2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

数学（理科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.是的共轭复数. 若，（（为虚数单位），则（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

所以选D。

2. 函数的定义域为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

所以选C.

3. 已知函数，，若，则（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. -1

【答案】A

【解析】

所以选A。

4.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（ ）

A.3 B. C. D.

【答案】C

【解析】

所以选C。

5.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）

【答案】B

【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B

6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）

A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量

【答案】D

【解析】根据独立性检验相关分析知，阅读量与性别相关数据较大，选D

7.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

A.7 B.9 C.10 D.11

【答案】B

【解析】，，选B

8.若则（ ）

A. B. C. D.1

【答案】B

【解析】设，则，，所以.

9.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】原点O到直线的距离为，则，点C到直线的距离是圆的半径，由题意知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过三个顶点，则在直角中三角形中，圆C过原点O，即，圆C的轨迹为抛物线，O为焦点，为准线，所以，，所以选A。

10.如右图，在长方体中， =11， =7， =12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

【答案】C

【解析】A(0,0,0),E(4,3,12), (8,6,0), (,7,4), (11, ,9),，, ,

……

二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

11(1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

11(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

所以选A。

3.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.

【答案】

【解析】

13.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.

【答案】

【解析】

14.已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=

【答案】

【解析】

15.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为

【答案】

【解析】

三.简答题

16.已知函数，其中

（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；

(2)若，求的值.

【解析】（1）,

……………………………………………………………3分

，…………………………………………………………4分

；……………………………………………………………6分

(2)

又，…………………………………………7分

，…………………………………………8分

…………………………………………10分

，又，所以………………12分

17、（本小题满分12分）

已知首项都是1的两个数列（），满足.

(1) 令，求数列的通项公式；

(2) 若，求数列的前n项和.

【解析】（1）

同时除以，得到……………………………………………………2分

即：……………………………………………………3分

所以，是首项为，公差为2的等差数列…………………………………4分

所以，……………………………………………………5分

(2)，………………………………………6分

………………………9分

两式相减得：

…………………11分

…………………12分

18、（本小题满分12分）

已知函数.

(1) 当时，求的极值；

(2) 若在区间上单调递增，求b的取值范围.

【解析】1）当时，的定义域为

令，解得

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增；

所以，当时，取得极小值；当时，取得极大值。

（2）在上单调递增且不恒等于0对x恒成立……………………7分

……………………………………8分

……………………………………10分

……………………………………11分

……………………………………12分

19(本小题满分12分)

如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.

（1）求证：

（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.

【解析】

解：（1）面面,面面=,

面……………………………………2分

又面……………………………………3分

……………………………………4分

(2)过P作,由（1）有面ABCD,

作,连接PM，作……………………………………5分

设AB=x.

…7分

当即时，……………………………………9分

如图建立空间直角坐标系，, ,

,

, ,

,……………………………………10分

设面、面的法向量分别为，

设，则，

同理可得……………………………………11分

平面与平面夹角的余弦值为。…………………………………12分

20.（本小题满分13分）

如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）.

（1）求双曲线的方程；

（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值

【答案】（1） （2）

【解析】(1)A(),B()

且，即， …………………………… 4分

即…………………………………………………………………… 6分

（2）A(2，)，，F（2,0），

M(2，)，N(，)………………………………………………… 9分

……………………………………………………………………… 13分

21.（满分14分）随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记

（1）当时，求的分布列和数学期望；

（2）令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；

对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。

【解析】（1）随机变量的取值所有可能是：2，3，4，5

；

的分布列为：

所以，的数学期望为

2）事件与的取值恰好相等的基本事件：

共

时，

3）因为，所以要比较与的大小，实际上要比较与的大小， 由可知，

当时，

当时，