高三数学模拟题三

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在题后的括号内．

1．设是从的映射，则满足的所有映射的个数

A．2 B．3 C．4 D．16

2．定义运算 （ ）

A．(0, 1) B．(, 1) C．(0, 1) D．[1, +]

3．已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等

式的最小整数是　　　 　　　　　　　　　 （ ）

A．5　　　　 B．6　　 C．7　　　 D．8

4．设复数等于 （ ）

A． B． C． D．

5．记二项式（1+2x）n展开式的各项系数和为an，其二项式系数和为bn，则等

于 （ ）

A．1 B．－1 C．0 D．不存在

6．已知m、l是异面直线，有下面四个结论：

①必存在平面α过m且与l平行； ②必存在平面β过m且与l垂直；

③必存在平面γ与m、l都垂直； ④必存在平面π与m、l距离都相等．

其中正确的结论是 （ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④

7．已知O为原点，点A，B的坐标分别为（a，0），（0，a），a是正的常数，点P在线

段AB上，且，则的最大值是 （ ）

A．a 　　 B．2a 　　　　 C．a2 　 D．3a

8．点所在平面

区域的面积是 （ ）

A． 1 B． 2 C． 4 D．8

9．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如，表示

二进制的数，将它转换成十进制的形式是，那么二

进制数转换成十进制数的形式是 （ ）

A． B． C． D．

10．设，则＝（ ）

A．256 B．96 C．128 D．112

11．下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、

F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则 （ ）

A．e1＞e2＞e3 B． e1＜e2＜e3 C． e1＝e3＜e2 D．e1＝e3＞e2

12．在二面角l 的半平面内，线段AB⊥l，垂足为B；在半平面内，线段CD⊥l，垂

足为D；M为l上任一点．若AB=2，CD=3，BD=1，则AM+CM的最小值为 （ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（填空题和解答题，10小题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在题中横线上.

13．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x名（3≤x≤9），现在从中选出

3人参加一次调查活动，若至少有1名女生去参加的概率为p，则p的最大值为_______．

14．给出下面的3个命题：（1）函数的最小正周期是；（2）函数

在区间上单调递增；（3）是函数的

图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ．

15．如右图，它满足：

（1）第行首尾两数均为；

（2）表中的递推关系类似杨辉三角，

则第行（）第2个数是 .

16．已知, ,. 若将坐标平面沿x轴折成直二面角, 则折后

的余弦值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

在中，所对的边长分别为，设满足条

件和，求和的值.

18．(本小题满分12分)某中学篮球队进行投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮4次，

现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率

为0.7.

（I）求一轮练习中运动员甲的投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ（结果保留两

位有效数字）；

（II）求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.

19．(本小题满分12分)如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面△ABC是等

腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A1的中点．

（Ⅰ）求异面直线AB和C1D所成的角（用反三角函数表示）；

（Ⅱ）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D到平面B1C1E的距离．

20． (本小题满分12分)已知函数在上最小值是

(Ⅰ)求函数的导数及在上单调区间；

(Ⅱ)求数列的通项公式；

(Ⅲ)证明：；

(Ⅳ)在点列中是否存在两点，使直线的斜

率为1？若存在，求出所有的数对；若不存在，请说明理由.

21．(本小题满分12分)阅读下列文字，然后回答问题：　　　　　　　　　　　　　　　　 　

对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整

数”．在实数轴R（箭头向右）上[]是在点左侧的第一个整数点，当是整数时，

[]就是．这个函数[]叫做“取整函数”，也叫做高斯（Gauss）函数，它在数学本

身和生产实践中有广泛的应用．例如当您在学习和使用计算器时，在用到的算法语言

中，就有这种取整函数．

试求的和．

22．(本小题满分14分)

（I） 已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于A，B两点，O为

坐标原点, 求证:为定值;

（Ⅱ）由 （Ⅰ） 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1．解：B，两种情况：1 + 3 = 2 + 2 = 4，∴满足条件的映射有2 + 1 = 3．选B．

引申：（1）还可以考查“为奇数”时，所有映射的个数为8种．

（2）当考查“”时，所有映射共有10种．

2．解：C, ，
故的取值范围是．选C．

评：正确理解函数的定义，结合常见的函数图象来得到值域是解决本题的关键．本题实际上就是求函数的值域.

3．解：C， 设，则，

是以8为首项，为公比的等比数列，，不等式可化为，

最小整数是7. 选C．

4．解: B， 由于，因此选B.

5．解: B，由题意得， 于是，从而选B．

6．解：D， 对于②若m、l不垂直，则满足条件的平面不存在．对于③m、l应为平行线． ①④可推出，故选D．

7．解：C, .

由图可知，当P与A重合，，选C．

8．解：C， 设，则即
据题意，有 即 如图，故选C．

9．解：C， ，选C．

10. 解：D, 与二项式定理有关的问题，常常需进行合理的赋值，在本题中，分别令，可求出结果，选D．

11. 解：D, 由图知显然①与③是同一曲线，不妨令｜F1F2｜＝1，

则①中｜MF1｜＝，

c1＝，｜MF2｜＝，a1＝　e1＝+1，而②c＝，

｜MF2｜＝，

∴e2＝＜e1,　∴e1＝e3＞e2.选D.

12．解：A, 设，则，，建立平面直角坐标系，看作动点到两定点距离之和，最小值为直线段SQ的长,选A.

评：本题也可以将二面角展平成一个平面，这样，只须求出在“平面”内A、C之间的距离即为AM+CM的最小值．

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

13. 解：由题意，，要使p最大，只要最小，则x要最小，即x=3．
∴此时p=．

14. 解：①②正确，③中是的对称中心．

15. 解：设第行（）第2个数为，则．

从而通过累加可知，又=2，所以可知

．

16.解：，提示：画好图象，注意折叠前后的不变量和改变量．

三、解答题：本大题考查分析问题和解决问题的能力．共6小题，满分共74分．

17．本小题主要考查余弦定理、正弦定理，三角函数的恒等变形等基本解题方法．

满分12分．

解：由余弦定理，因此．……………4分

在中，． ……………6分

由已知条件，应用正弦定理

，…10分

解得，从而． ……………12分

18．本小题主要考查概率统计的基础知识，以及运用概率知识解答实际问题的能力.

满分12分．

（I）ξ的可能取值为1，2，3，4，

ξ=1时，P（ξ=1）=0.7

ξ=2时，P（ξ=2）=0.7（1－0.7）=0.21;

ξ=3时，P（ξ=3）=0.7（1－0.7）2=0.063

ξ=4时，P（ξ=4）=0.7（1－0.7）3+（1－0.7）4=0.027.

∴ξ的分布为

∴Eξ=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4．

（II）P（ξ≥3）=P（ξ=3）+P（ξ=4）=0.063+0027=0.09．

19．本小题主要考查直三棱锥、异面直线的角、线线垂直、点面距离等基础知识，同时考

查空间想像能力和推理、运算能力．满分12分．

解（Ⅰ）法一：取CC1的中点F，连接AF，BF，则AF∥C1D．

∴∠BAF为异面直线AB与C1D所成的角或其补角．…………………1＇

∵△ABC为等腰直角三角形，AC=2，∴AB=．

又∵CC1=2，∴AF=BF=．

∵cos∠BAF=，…………3＇

∴∠BAF=，

即异面直线AB与C1D所成的角为．

……………………4＇

法二：以C为坐标原点，CB，CA，CC1分别为x

轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，2，0），B（2，0，0），

C1（0，0，2），D（0，2，1），

∴=（2，－2，0），=（0，2，－1）．

由于异面直线AB与C1D所成的角

为向量与的夹角或其补角．…………1＇

设与的夹角为，

则cos==，………………3＇

∴=，

即异面直线AB与C1D所成的角为

．………………4＇

（Ⅱ）法一：过C1作C1M⊥A1B1，垂足为M，则M

为A1B1的中点，且C1M⊥平面AA1B1B．连接DM.

∴DM即为C1D在平面AA1B1B上的射影．…6＇

要使得A1E⊥C1D，

由三垂线定理知，只要A1E⊥DM． ………7＇

∵AA1=2，AB=2，

由计算知，E为AB的中点． ……………8＇

法二：过E作EN⊥AC，垂足为N，则EN⊥平面

AA1C1C.连接A1N.

∴A1N即为A1E在平面AA1C1C上的射影．………6＇

要使得A1E⊥C1D，

由三垂线定理知，只要A1N⊥C1D．……………7＇

∵四边形AA1C1C为正方形，

∴N为AC的中点，

∴E点为AB的中点．…………………………8＇

法三：以C为坐标原点，CB，CA，CC1分别为x轴，

y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A1（0，2，2），B（2，0，0），

C1（0，0，2）， D（0，2，1），

设E点的坐标为（x，y，0）,

要使得A1E⊥C1D，

只要·=0，………………………6＇

∵=（x，y－2，－2），

=（0，2，－1），

∴y=1．……………………………………7＇

又∵点E在AB上，

∴∥．∴x=1．

∴E点为AB的中点．……………………8＇

（Ⅲ）法一：取AC中点N，连接EN，C1N，

则EN∥B1C1．

∵B1C1⊥平面AA1C1C，

∴面B1C1NE⊥平面AA1C1C．