轨迹方程的经典求法

一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．

例2：在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png中，4af6745aabb81c00c2b3f209df372306.png上的两条中线长度之和为39，求533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的重心的轨迹方程．

解：以线段f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png所在直线为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴，线段f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的中垂线为415290769594460e2e485922904f345d.png轴建立直角坐标系，如图1，69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png为重心，则有08b5a0d0180f8cf67dd1b424a6654daf.png．

86d328f5e9f3226b825106beb60172f0.png点的轨迹是以4b9bca0a86aa323765b1ca6e05d18856.png为焦点的椭圆，

其中338957324c58e095d60132620f6d4437.png．456c67e307cd697b9d6f5db8cb66afae.png．

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png所求533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的重心的轨迹方程为58566f957101bfa2249b7dedc0fb9bf8.png．

二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.

例1：已知点d1327e30b898bd67c35460d9b44096a7.png，动点4b1ba35f3a26c92043b659cb00da4721.png满足0aedaa5991f03e48f58cf201aba03882.png，则点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的轨迹是（　　）

　　A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

解析：由题知b56d6db41f692e39c68a8780e4940439.png，61f8f6af7dc02fc03503c3239cfa11c1.png，由0aedaa5991f03e48f58cf201aba03882.png，得5b91a3efa25562aa43e853bb637c8199.png，即4e1fe3351b03739e6fb6e67c909dfe47.png，

　　a08721abf6e40393215d470b73df046c.png点轨迹为抛物线．故选D．

三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.

例3：已知△ABC的顶点9375def39cb1f66c9841dce69a0d470f.png，顶点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在抛物线ce4c5f6d73b27625159be3b151541788.png上运动，求533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png的重心dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png的轨迹方程．

解：设e0824f2d5fe0d600d38c5071827cdbf8.png，54dc9ca4245caae78b461320b6392001.png，由重心公式，得fad70200d11fe9bcc56d0401755c047c.png7dbfe1dbec833826b85085dc94ccc2c4.png

　　又7c5a6ca4c2ec0b04e893c963ce6d0b1a.png在抛物线ce4c5f6d73b27625159be3b151541788.png上，8619928ff3d7cf13ba36c65f34088493.png．　　　③

　　将①，②代入③，得76bb6620f87b3045def6d2b90e831c06.png，即所求曲线方程是577097adb1a1e1def6f8317d5017f5f9.png．

四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.

例5：已知A，B，D三点不在一条直线上，且feff727935034b6b0e721169137a7e2b.png，38ab0777cd97cdac50771910593f235b.png，894ef8a869a0c447dc2440c843dd2922.png，a56dcf43c781fc1ae963b970cea71bcc.png．

（1）求3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png点轨迹方程；

（2）过7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png作直线交以6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png为焦点的椭圆于c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png两点，线段943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png的中点到415290769594460e2e485922904f345d.png轴的距离为27abf3c3c0ceec6fce6416dc3fcf1951.png，且直线943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png与3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png点的轨迹相切，求椭圆方程．

解：（1）设8129227f09760ff0d6a9ec5e933eed5d.png，由a56dcf43c781fc1ae963b970cea71bcc.png知3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png为87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png中点，易知2ab98d5d5180015d80680c7513785167.png．

　　又894ef8a869a0c447dc2440c843dd2922.png，则659afd1151f8937784c7ef414b7f6e03.png．　即3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png点轨迹方程为158d9ec28dcd4c20896f7f625a04c9e1.png；

（2）设7517ac5b6431ac7be99eaeb73d6969fe.png，中点fc6c713e7eb34f6cb756d754fc2f61db.png．

　　由题意设椭圆方程为4c0869d0875b07d4275e85d4c5a761f1.png，直线943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png方程为bcdcdbcdc79cdc9a421332066e54f4ca.png．

　　f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png直线943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png与3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png点的轨迹相切，d5b22b58c4a05bb0977aba6ffb15f08f.png，解得9ed8b030eb7fbcc9dd4b260c37edafa0.png．

将e1b827459fdad5ea050941cd8dad2b1c.png95ebc3db0942b10df0c55e76110604b8.png代入椭圆方程并整理，得53ab57bb6939504f1fbb99f2e4e227f0.png，90084ab0a29ffa611873639290f61d8b.png，

又由题意知8d0c0968d5eefea646fed1959e6f26f1.png，即c513f842dc6b8cfe1dacbef46e8c4090.png，解得46eb3751582c601e9f327275e801632f.png．故所求的椭圆方程为48a949e83c23fde719d4cfe8b46304da.png．

五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png联系起来

例4：已知线段a8a4a34f5d7cbc8d04260dba500309c8.png，直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png垂直平分78e747ceaed7973a096f77cb6aa62b33.png于f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，在2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png上取两点4a82e0157caa799ac7a5829c29dbe341.png，使其满足6f7cbcf1ec0fc14de2c7b6a16b5c3537.png，求直线0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png与09b2706de4185d6d26130fc7a0c4add8.png的交点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的轨迹方程．

解：如图2，以线段78e747ceaed7973a096f77cb6aa62b33.png所在直线为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴，以线段78e747ceaed7973a096f77cb6aa62b33.png的中垂线为415290769594460e2e485922904f345d.png轴建立直角坐标系．

设点f755eb8bf1c1b9a99f62998f15fec63a.png，

则由题意，得3721f756e2d74bafa6fd865807181bd9.png．

由点斜式得直线f114bb1032cac62861ff8725d9245aaf.png的方程分别为e6201c15c966281c1cdf8ea22ba08bed.png．

两式相乘，消去e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png，得70237dc8a83d31f1081205ac92381a4a.png．这就是所求点M的轨迹方程．

评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.

配套训练

一、选择题

1. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )

A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

2. 设A1、A2是椭圆word/media/image104_1.png=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )

A.word/media/image105_1.png B.word/media/image106_1.png C.word/media/image107_1.png D.word/media/image108_1.png

二、填空题

3. △ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－word/media/image109_1.png,0),C(word/media/image110_1.png,0)，且满足条件sinC－sinB=word/media/image111_1.pngsinA,则动点A的轨迹方程为_________.

4. 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.

三、解答题

5. 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

6. 双曲线word/media/image113_1.png=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.

7. 已知双曲线word/media/image114_1.png=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.

(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；

(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.

8.已知椭圆word/media/image116_1.png=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+word/media/image117_1.pnga)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.

参考答案

配套训练

word/media/image119.gif一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,

∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,

即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.

答案：A

2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)

∵A1、P1、P共线，∴word/media/image120_1.png∵A2、P2、P共线，∴word/media/image121_1.png

解得x0=word/media/image122_1.png

答案：C

二、3.解析：由sinC－sinB=word/media/image123_1.pngsinA,得c－b=word/media/image123_1.pnga,

∴应为双曲线一支，且实轴长为word/media/image124_1.png,故方程为word/media/image125_1.png.

答案：word/media/image126_1.png

4.解析：设P(x,y），依题意有word/media/image127_1.png,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.

答案：4x2+4y2－85x+100=0

三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为word/media/image128_1.png=1(y≠0)

6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).

由条件word/media/image130_1.png

而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2，即b2(－x2)－a2(word/media/image131_1.png)2=a2b2

化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).

7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),

则A1P的方程为：y=word/media/image132_1.png ①

A2Q的方程为：y=－word/media/image133_1.png ②

①×②得：y2=－word/media/image134_1.png ③

又因点P在双曲线上，故word/media/image135_1.png

代入③并整理得word/media/image136_1.png=1.此即为M的轨迹方程.

(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.

(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±word/media/image137_1.png,0)，准线方程为x=±word/media/image138_1.png,离心率e=word/media/image139_1.png；

(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±word/media/image140_1.png),准线方程为y=±word/media/image141_1.png,离心率e=word/media/image142_1.png.

8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，

∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|

又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).

|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.

word/media/image143.gif又word/media/image144_1.png

得x1=2x0－c,y1=2y0.

∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.

故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)

(2)如右图，∵S△AOB=word/media/image145_1.png|OA|·|OB|·sinAOB=word/media/image146_1.pngsinAOB

当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为word/media/image147_1.pnga2.

此时弦心距|OC|=word/media/image148_1.png.

在Rt△AOC中，∠AOC=45°，

word/media/image149_1.png