2016年高考数学全国1卷(理)及答案

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2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合，，则

（A） （B） （C） （D）

（2）设，其中是实数，则

（A） （B） （C） （D）

（3）已知等差数列前项的和为，，则

（A） （B） （C） （D）

（4）某公司的班车在，，发车，小明在至之间到达发车站乘

坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A） （B） （C） （D）

（12）已知函数，为的零点，为

图像的对称轴，且在单调，则的最大值为

（A）11 （B）9 （C）7 （D）5

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。

（13）设向量a，b，且abab，则 ．

（14）的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）

（15）设等比数列满足，，则的最大值为 ．

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

的内角的对边分别为，已知．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．

（18）（本小题满分12分）

如图，在以为顶点的五面体中，面

为正方形，，且二面

角与二面角都是．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求，确定的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？

（20）（本小题满分12分）

设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．

（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；

（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知函数有两个零点．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）设是的两个零点，证明：．

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，是等腰三角形，．以为圆心，

为半径作圆．

（Ⅰ）证明：直线与⊙相切；

（Ⅱ）点在⊙上，且四点共圆，

证明：．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．

（Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数．

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；

（Ⅱ）求不等式的解集．

数学答案

17、正确答案（评分标准及答案仅供参考）（12分）

解：(1) ∵ anbn+1+bn+1=nbn   ∴  n=1时  a1·b2+b2=b1

∴  a1·    ∴ a1=2   由已知{an}乘以2为首项，公差3的等差数列

∴  an=a1+(n-1)·d=2+3(n-1)    ∴ an=3n-1

(2)由①知代入

中∴  (3n-1)bn+1+bn+1=nbn 

 ∴  (3n-1)bn+1+bn+1=nbn    ∴  bn+1=        (n∈n*)

∴  设{bn}构成以1为首项，公比为    的等比数列

∴  设{bn}前n项和Sn，则Sn

18、正确答案（评分标准及答案仅供参考）（12分）

(1)证明

∵   PD 面ABC  ∴  PDAB

∵  DE面PAB     ∴ DEAB

又∵  PDDE    ∴ AB平面PGD    ∴  PGAB

 ∵  正三棱锥P-ABC中PA=PB    ∴  G为AB中点

(2）正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC   ∵  各侧面为直角三角形

∴PAPB,PBPC,PCPA,∴ PB平面PAC

作EF//PB交PA于F 则EF面PAC ∴ F为E在平面PAC内正投影

正三棱锥P-ABC中，D 为三角形ABC的重心，PA=6 ∴  AB=

∴DG=PG=∴PD=

中由摄影定理PD=PEPG    ∴  PE=

∵ 为等腰三角形，EFPA ∴EF=PF=

      D-PEF的高为DE.

RtPGD中    DE==2

∴四面体PDEF体积  

19、（12分）

正确答案（评分标准及答案仅供参考）

解：当n=19时 x≤19  y=19×200=3800元

（1）x>19时   y=19×200+(x-19)·500=500x-5700(元)·

∵  y=                             

(2)由柱状图知，更换16个频率0.06；更换17件频率为0.16.

更换18件频率为0.24，更换19件频率为0.24    ∴ 更换易损零件不大于n〃的频率为不小于0.5的.则n≥19

∴  n的最小值为19件

(3)若每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为

=4000（元）

若每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为

=4050（元）    4000<4050

∴ 购买1台机器的同时应购买19台易损零件.

20、（12分）

正确答案（评分标准及答案仅供参考）

解：将直线l与抛物线联立∴  解得

(1) ∵ M关于P的对称点为N  ∴   ∴ 即

∴  ON直线斜率     ∴  ON方程

则H点坐标∴解答 ∴

∴‍=2

(2)由①知∴ MH直线程

与抛物线联立   得  

即y2-4ty=4t2     ∴∴直线MH与抛物相切

∴  直线MH与曲线C除点H外没有其它公共点

21、（12分）

正确答案（评分标准及答案仅供参考）

II）解：由①知

若a≥0  f(x)在(-∞,1)减，（1，+∞）增，且f(1)=-e<0.

x→+∞时，f(x) →+∞，x→-∞时，f(x)→+∞

∴一定有2个零点；

若a<-  时，f(x) 在（-∞，1）内递增，（1，ln(-2a)）内递减，（ln(-2a),+ ∞）递增

且f(1)=-e<0    f(x)只有一个零点；

若a=- 时   f(x)在R上递增，则f(x)只有一个零点；

若0>a>时，f(x)在（-∞，ln(-2a)）增，（ln(-2a),1）减，（1，+∞）增

∵f(1)=-e<0   x→+∞时，f(x)→+∞，x→-∞时f(x) →-∞

∴f(x)在（1，+∞）内只有一个零点，f(x)若恰有2个零点，只能使f(ln(-2a)=0

而[ln(-2a)-2]·(-2a)+a[ln(-2a)-1]2=0

即须4-ln(-2a)+[ln(-2a)-1]2=0* ∵

∴4-ln(-2a)>0,[ln(-2a)-1]2>0  ∴*不可能为0

综上f(x)有2个零点  a的范围为[0,+ ∞]

22、（10分） 三选一

22.（1）取AB中点P，∵是等腰三角形

∴OP⊥AB 

∵∠AOB=120°

∴∠AOP=∠BOP=60°

∴OP=OA=r

所以AB与⊙O相切

（2）设CD 中点为Q,四边形ABCD 外接圆圆心为O'

连结 OC,OD,O'  C,O' D.

由OC=OD 知OQ⊥CD

由O'C=O'D,知O'Q⊥CD

∴O',O,D三点共线

同理O,O',P三点共线

∴Q.O,O',P四点共线

即PQ过点O,且PQ⊥AB,PQ⊥CD

∴AB//CD

23.（1）（t为参数） 消参后得

∴曲线C1表示以（0，1）为圆心，半径为a的圆.

曲线 C1为：化为极坐标方程为：

（2）曲线 C2 化为普通方程：即

①曲线②曲线 C1与C2的公共弦所在直线方程为①-②得即

∵曲线                   

∴曲线C3的直角坐标方程

∴，∴a＞0，a=1.

24. （Ⅰ）令x+1=0，2x-3=0      ∴x=-12；

∴f(x)=

作出草图

（Ⅱ）令得（3,1）

  得（1 ，1）

  得（，1）

 得（5 ，1）

由图像知  丨f（x）＞1丨的解集（1  ，3）∪（—   ，  ）∪（5，+  ）