幂函数

一、创设情景，引入新课

【问题】如果张红购买了每千克元的水果千克，那么她需要付的钱数（元）和购买的水果量（千克）之间有何关系？

【问题】如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数。

【问题】如果正方体的边长为，那么正方体的体积,这里是的函数。

【问题】如果正方形场地面积为，那么正方形的边长,这里是的函数

【问题】如果某人内骑车行进了，那么他骑车的速度，这里是的函数。

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(从自变量和常数的角度考虑)

这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？

二、新课讲解

（一）幂函数的概念

如果设变量为,函数值为，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？

这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此归纳出幂函数的定义吗？

幂函数的定义：

【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？

结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：

对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数

对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数

试一试：判断下列函数那些是幂函数？

（）（）（）（）

我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？

（二）几个常见幂函数的图象和性质

在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？

【探究二】观察函数的图象，将你发现的结论写在下表内。

【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：的共同性质。

（）函数的图象都过点

（）函数在上单调递增；

归纳：幂函数图象的基本特征是，当是，图象过点，且在第一象限随的增大而上升,函数在区间上是单调增函数。

请同学们模仿我们探究幂函数图象的基本特征的情况探讨时幂函数图象的基本特征。

归纳：当时，幂函数图象的基本特征：过点，且在第一象限随的增大而下降，函数在区间上是单调减函数，且向右无限接近轴，向上无限接近轴。

（三）例题剖析

【例】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。

（）（）（）]

分析：根据你的学习经历，你觉得求一个函数的定义域应该从哪些方面来考虑？

方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域。

（1） 若函数解析式中含有分母，分母不能为；

（2） 若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；

（3） 的次幂没有意义；

（4） 若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于；

求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组。

结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为这一限制条件来求出对应函数的定义域。

归纳分析如果判断幂函数的单调性（第一象限利用性质，其余象限利用函数奇偶性与单调性的关系）

【例】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）

() ()

() ()

分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小

三、课堂小结

1、 幂函数的概念及其指数函数表达式的区别

2、 常见幂函数的性质。

.幂函数的单调性与幂指数的关系

学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！ 如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。 明天会更好，相信自己没错的！ 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。