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重点高中提前招生模拟考试数学试卷（1）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共10小题，每题4分）

1．下列等式中，不一定成立的是（　　）

A．=2 B． C．a=﹣ D．

2．中国人民银行授权中国外汇交易中心公布，2014年1月14日银行间外汇市场人民币汇率中间价为：1美元对人民币6.0930元，某上市公司持有美元资产为980万美元，用科学记数法表示其美元资产折合成人民币为（　　）元（保留两位有效数字）

A．5.97×107 B．6.0×107 C．5.97×108 D．6.0×108

3．如图，一条信息可通过网络线由上（A点）往下（沿箭头方向）向各站点传送，例如信息要到b2点可由经a1的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条传送途径，则信息由A点传达到d3的不同途径中，经过站点b3的概率为（　　）

A． B． C． D．

4．已知x+y=，|x|+|y|=5，则x﹣y的值为（　　）

A． B． C． D．

5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（a、b、c为常数），则函数y=（4ac﹣b2）x+abc和y=在同一平面直角坐标系中的图象，可能是（　　）

A． B． C． D．

6．关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的同号实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m且m≠0 B．﹣

C．﹣且m≠0 D．0

7．由于货源紧缺，小王、小李两名商贩连续两次以不同的价格在同一公司购进了A型香米，两次的购买单价分别为a、b（a＜b，单位：元/千克），小王的采购方式为：每次购进c千克大米；小李的采购方式为：每次购进d元的大米（d＞c），若只考虑采购单价，下列结论正确的是（　　）

A．小王合算 B．小李合算

C．一样合算 D．无法确定谁更合算

8．函数y=|x2+2x﹣3|图象的草图如图所示，则关于x的方程|x2+2x﹣3|=a（a为常数）的根的情况，描述错误的是（　　）

A．方程可能没有实数根

B．方程可能有三个互不相等的实数根

C．若方程只有两个实数根，则a的取值范围为：a=0

D．若方程有四个实数根，记为x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=﹣4

9．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且EF=2DF，BF的延长线交AC于点H，CF的延长线交AB于点G，则S四边形AGFH：S△BFC=（　　）

A．1：10 B．1：5 C．3：10 D．2：5

10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G，EH为⊙O的切线，交AC的延长线于H，AF=3，FB=，则tan∠DEH=（　　）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共10小题，每题4分）

11．计算：（π﹣3.14）0﹣2﹣2×+（tan60°﹣2）2013（4sin30°+）2014+=　 　．

12．已知实数x，y满足方程（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10，则yx=　 　．

13．如图，正方体（图1）的展开图如图2所示，在图1中M、N分别是FG、GH的中点，CM、CN、MN是三条线段；请在图2中画出CM、CN、MN这三条线段　 　．

14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连结CE交DB、DF于G、H，则EG：GH：HC=　 　．

15．已知直线l1：y=x﹣a﹣3和直线l2：y=﹣2x+5a相交于点A（m，n），其中a为常数，且m＞n＞0，化简|1﹣a|﹣=　 　．

16．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，4），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为　 　．

17．若y关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣2（2a﹣1）x+a（a为常数）的图象与坐标轴只有两个不同交点，则a可取的值为　 　．

18．如图，已知圆O的面积为3π，AB为圆O的直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD的最小值是　 　．

19．已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内的点P1、P2、P3、…、P2015在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2015，纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015的长度是　 　．

20．将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是　 　．

三．解答题（共6小题，共70分）

21．若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．

22．跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．

（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．

23．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．

（1）求证：RQ是⊙O的切线；

（2）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围；

（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．

24．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在y轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．

（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；

（2）若线段AB与y轴的交点为M（如图2），线段BC与直线y=x的交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆的半径；

（3）设△MNB的周长为l，试判断在正方形OABC旋转的过程中l值是否发生变化，并说明理由．

25．（1）已知n=﹣

那么1+2+3+…+n=﹣+﹣+﹣+…+﹣，

即1+2+3+…+n=﹣=．

模仿上述求和过程，设n2=﹣，确定a与b的值，并计算12+22+32+…+n2的结果．

（2）图1中，抛物线y=x2，直线x=1与x轴围成底边长为1的曲边三角形，其面积为S，现利用若干矩形面积和来逼近该值．

①将底边3等分，构建3个矩形（见图2），求其面积为S3；

②将底边n等分，构建n个矩形（如图3），求其面积和Sn并化简；

③考虑当n充分大时Sn的逼近状况，并给出S的准确值．

（3）计算图4中抛物线y=2x2与直线y=2x+4所围成的阴影部分面积．

26．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．

（1）求点B的坐标；

（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；

（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且，求这时点P的坐标．

重点高中提前招生模拟考试数学试卷（1）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列等式中，不一定成立的是（　　）

A．=2 B． C．a=﹣ D．

【考点】65：分式的基本性质；73：二次根式的性质与化简．菁优网版权所有

【分析】根据二次根式的性质对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A、左边==2=右边，故本选项正确；

B、当c=0时，无意义，故本选项错误；

C、左边=a=a=﹣=右边，故本选项正确；

D、左边===右边，故本选项正确．

故选：B．

【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．

2．中国人民银行授权中国外汇交易中心公布，2014年1月14日银行间外汇市场人民币汇率中间价为：1美元对人民币6.0930元，某上市公司持有美元资产为980万美元，用科学记数法表示其美元资产折合成人民币为（　　）元（保留两位有效数字）

A．5.97×107 B．6.0×107 C．5.97×108 D．6.0×108

【考点】1L：科学记数法与有效数字．菁优网版权所有

【分析】根据汇率可求980万美元折合成人民币的钱数，再保留两位有效数字即可求解．

【解答】解：980万美元=980000美元，

980000×6.0930≈6.0×107元．

故选：B．

【点评】此题考查了科学记数法与有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．

3．如图，一条信息可通过网络线由上（A点）往下（沿箭头方向）向各站点传送，例如信息要到b2点可由经a1的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条传送途径，则信息由A点传达到d3的不同途径中，经过站点b3的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有

【分析】根据题意画出树状图，进而利用概率公式，求出答案．

【解答】解：画树状图得：

所以共有6种情况，则经过站点b3的概率为：．

故选：A．

【点评】本题考查树状图法求概率，关键是得到到达目的地应走的路口，列齐所有的可能情况．

4．已知x+y=，|x|+|y|=5，则x﹣y的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】28：实数的性质．菁优网版权所有

【分析】根据绝对值的性质，可得答案．

【解答】解：当x＞0，y＞0时，x+y=5与x+y=2矛盾，

当x＜0，y＜0时，x+y=﹣5与x+y=2矛盾，

当x＞0，y＜0时，x﹣y=5，

当x＜0，y＞0时，x﹣y=﹣5，

故选：D．

【点评】本题考查了实数的性质，利用绝对值得性质是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．

5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（a、b、c为常数），则函数y=（4ac﹣b2）x+abc和y=在同一平面直角坐标系中的图象，可能是（　　）

A． B． C． D．

【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象；H2：二次函数的图象．菁优网版权所有

【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线与y轴交于x轴下方得c＜0，由抛物线的对称轴得b＜0，所以abc＞0；根据抛物线与x轴有2个交点可得4ac﹣b2＜0，得出一次函数的图象经过第一、二、四象限；利用对称轴的位置和不等式性质即可得到2a+b＞0，得出反比例函数的图象位于第一、三象限；即可得出结论．

【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线与y轴交于（0，c），

∴c＜0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，

∴b＜0，

∴abc＞0；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

∴4ac﹣b2＜0；

∴函数y=（4ac﹣b2）x+abc经过第一、二、四象限；

∵0＜﹣＜1，而a＞0，

∴﹣b＜2a，即2a+b＞0，

∴函数y=的图象位于第一、三象限；

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．当△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

6．关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的同号实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m且m≠0 B．﹣

C．﹣且m≠0 D．0

【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有

【分析】根据方程有两个不相等的同号实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的同号实数根，

∴，

解得：0＜m＜．

故选：D．

【点评】本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合根与系数的关系找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．

7．由于货源紧缺，小王、小李两名商贩连续两次以不同的价格在同一公司购进了A型香米，两次的购买单价分别为a、b（a＜b，单位：元/千克），小王的采购方式为：每次购进c千克大米；小李的采购方式为：每次购进d元的大米（d＞c），若只考虑采购单价，下列结论正确的是（　　）

A．小王合算 B．小李合算

C．一样合算 D．无法确定谁更合算

【考点】6C：分式的混合运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；513：分式．

【分析】分别表示出小王与小李两次购买香米的平均价格，利用作差法比较即可．

【解答】解：根据题意得：小王两次购买香米的平均价格为=元/千克，

小李两次购买香米的平均价格为=元/千克，

∴﹣==，

∵（a﹣b）2＞0，2（a+b）＞0，

∴﹣＞0，即＞，

则小李的购买方式合算．

故选：B．

【点评】此题考查了分式的混合运算，以及作差法比较大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8．函数y=|x2+2x﹣3|图象的草图如图所示，则关于x的方程|x2+2x﹣3|=a（a为常数）的根的情况，描述错误的是（　　）

A．方程可能没有实数根

B．方程可能有三个互不相等的实数根

C．若方程只有两个实数根，则a的取值范围为：a=0

D．若方程有四个实数根，记为x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=﹣4

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有

【分析】关于x的方程|x2+2x﹣3|=a可视为函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a的交点问题，且函数y=|x2+2x﹣3|的顶点坐标为（﹣1，4），再根据a的取值范围即可得出结论．

【解答】解：如图所示，关于x的方程|x2+2x﹣3|=a可视为函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a的交点问题，且函数y=|x2+2x﹣3|的顶点坐标为（﹣1，4），

由函数图象可知，当a＜0时，y=|x2+2x﹣3|与函数y=a没有交点，故原方程没有实数根，故A正确；

当a=4时，函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a有三个交点，故方程有三个不相等的实数根，故B正确；

当a=0或a＞4时，函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a有两个交点，故方程有两个互不相等的实数根，故C错误；

当0＜a＜4时，函数y=|x2+2x﹣3|与函数y=a有四个交点，故方程有四个互不相等的实数根，根据函数的对称性可知，x1+x2+x3+x4=﹣2﹣2=﹣4，故D正确．

故选：C．

【点评】此题考查的是二次函数与一次函数的交点问题，根据函数交点的个数可判断相应方程解的情况，特别注意函数图形的正确性，把方程看作是两个函数图象的交点是解答此题的关键．

9．如图，DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且EF=2DF，BF的延长线交AC于点H，CF的延长线交AB于点G，则S四边形AGFH：S△BFC=（　　）

A．1：10 B．1：5 C．3：10 D．2：5

【考点】KX：三角形中位线定理；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】设DF=x，EF=2x，S△GDF=S，则DE=3x，由三角形中位线性质得BC=2DE=6x，先证明△GDF∽△GBC，利用相似三角形的性质得S△GBC=36S，则利用三角形面积公式得到S△BGF=6S，S△BFC=30S，接着利用====得到==，则S△CFH=S△BCF=15S，所以S△BCH=45S，然后利用同样方法计算出S△BAH=S△BCH=15S，于是得到S四边形AGFH=9S，然后计算S四边形AGFH：S△BFC的值．

【解答】解：设DF=x，EF=2x，S△GDF=S，

则DE=3x，

∵DE是△ABC的中位线，

∴BC=2DE=6x，

∵DE∥BC，

∴△GDF∽△GBC，==，

∴=（）2，即=（）2=，

∴S△GBC=36S，

∵==，

∴S△BGF=6S，

∴S△BFC=30S，

∵EF∥BC，

∴====，

∴==，

∴S△CFH=S△BCF=15S，

∴S△BCH=45S，

而AE=CE，

∴AH：HC=1：3，

∴S△BAH=S△BCH=15S，

∴S四边形AGFH=S△BAH﹣S△BGF=15S﹣6S=9S，

∴S四边形AGFH：S△BFC=9S：30S=3：10．

故选：C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在应用相似三角形的性质时，主要利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了三角形面积公式．

10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G，EH为⊙O的切线，交AC的延长线于H，AF=3，FB=，则tan∠DEH=（　　）

A． B． C． D．

【考点】M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；MC：切线的性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有

【分析】连接OE，如图2，根据切线的性质得OE⊥EH，则∠OEF+∠DEH=90°，而∠OEF+∠FOE=90°，根据等角的余角相等得∠FOE=∠DEH，求出OF、EF，在Rt△OEF中，根据tan∠DEH=tan∠EOF= 计算即可．

【解答】解：连接OE，如图2，

∵EH为⊙O的切线，

∴OE⊥EH，

∴∠OEF+∠DEH=90°，

而∠OEF+∠FOE=90°，

∴∠FOE=∠DEH，

∵AF=3，FB=，

∴AB=AF+BF=，

∴OB=AB=，

∴OF=OB﹣FB=，

在Rt△OEF中，OE=，OF=，

∴EF===2．

∴tan∠DEH=tan∠EOF===．

故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和解直角三角形．

二．填空题（共10小题）

11．计算：（π﹣3.14）0﹣2﹣2×+（tan60°﹣2）2013（4sin30°+）2014+=　1　．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有

【分析】根据实数的混合运算法则和运算顺序计算即可．

【解答】解：原式=1﹣×（﹣4）+（﹣2）2013×（4×+）2014+

=1+1+（﹣2）2013×（+2）2013（+2）+1+

=2﹣2﹣+1+

=1，

故答案为：1

【点评】本题主要考查实数的混合运算、立方根的运算、绝对值的化简及特殊锐角的三角函数值、实数的大小比较等，正确掌握基本的运算法则是解题的关键．

12．已知实数x，y满足方程（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10，则yx=　　．

【考点】AF：高次方程．菁优网版权所有

【专题】17：推理填空题．

【分析】根据（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10，可得：[（x﹣2）2+2][（3y+1）2+5]=10，据此求出x、y的值各是多少；然后应用代入法，求出yx的值是多少即可．

【解答】解：∵（x2﹣4x+6）（9y2+6y+6）=10，

∴[（x﹣2）2+2][（3y+1）2+5]=10，

∴x﹣2=0，3y+1=0，

解得x=2，y=﹣，

∴yx==．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了高次方程的解法和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是灵活应用完全平方公式．

13．如图，正方体（图1）的展开图如图2所示，在图1中M、N分别是FG、GH的中点，CM、CN、MN是三条线段；请在图2中画出CM、CN、MN这三条线段　　．

【考点】I6：几何体的展开图．菁优网版权所有

【分析】先分别找到M、N、C在正方体的展开图中的对应点，再在展开图中连接即可．

【解答】解：作图如下：

故答案为：．

【点评】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体平面展开图的特征是解决此类问题的关键．注意找准M、N、C在正方体的展开图中的对应点．

14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连结CE交DB、DF于G、H，则EG：GH：HC=　5：4：6　．

【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有

【分析】过点G作GP∥BC交DF于P，设GH=2a，则由平行线的性质得出，进而即可得出结论．

【解答】解：过点G作GP∥BC交DF于P，如图所示：

则，

设GH=2a，则HC=3a，

∴EG=a，

∴EG：GH：HC=5：4：6．

故答案为：5：4：6．

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及正方形的一些性质问题，要求学生能够利用其性质求解一些简单的计算问题．

15．已知直线l1：y=x﹣a﹣3和直线l2：y=﹣2x+5a相交于点A（m，n），其中a为常数，且m＞n＞0，化简|1﹣a|﹣=　1　．

【考点】73：二次根式的性质与化简；FF：两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有

【分析】由直线l1：y=x﹣a﹣3和直线l2：y=﹣2x+5a相交于点A（m，n），即可得出关于m、n的二元一次方程，解方程即可得出m、n的值，再结合m＞n＞0，即可得出a的取值范围，进而即可得出代数式|1﹣a|﹣的值．

【解答】解：根据题意得：，

解得：，

∵m＞n＞0，

∴，

∴a＞2，

∴|1﹣a|﹣=a﹣1﹣（a﹣2）=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题以及二次根式的性质与化简，根据m、n之间的关系找出a的取值范围是解题的关键．

16．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，4），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为　（﹣2，0）　．

【考点】D5：坐标与图形性质；PA：轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有

【分析】利用轴对称图形的性质可作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，点M即为所求．

【解答】解：作点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′（﹣1，1），作直线A′B交x轴于点M，

由对称性知：MA′=MA，

∴MB﹣MA=MB﹣MA′=A′B，

若N是x轴上异于M的点，则NA′=NA，这时NB﹣NA=NB﹣NA′＜A′B=MB﹣MA′，

所以，点M就是使MB﹣MA的值最大的点，MB﹣MA的最大值是A′B，

设直线A′B的解析式为：y=kx+b，

把A′（﹣1，1），B（2，4）代入得：，

解得：，

∴直线A′B的解析式为y=x+2，

∵点M为直线A′B与x轴的交点，

当y=0时，x+2=0，

x=﹣2，

∴点M的坐标为（﹣2，0）．

故答案为：（﹣2，0）．

【点评】本题是求最值问题，考查了在直线上求作一点，使到直线两侧点的距离差最大，涉及待定系数法求一次函数的解析式及在三角形中任意两边之差小于第三边的应用，正确作出一个点的对称点是解题的关键．

17．若y关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣2（2a﹣1）x+a（a为常数）的图象与坐标轴只有两个不同交点，则a可取的值为　2或0　．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有

【分析】分二次函数或一次函数两种情形讨论即可．

【解答】解：①如果是二次函数则无解．

②如果是一次函数则a﹣2=0，

∴a=2，

a=0时，函数为y=﹣2x2+x与坐标轴只有两个交点，

综上所述a=2或0时，y关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣2（2a﹣1）x+a（a为常数）的图象与坐标轴只有两个不同交点．

故答案为2或0．

【点评】本题考查一次函数、二次函数与坐标轴的交点，记住△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，是解题的关键是，属于中考常考题型．

18．如图，已知圆O的面积为3π，AB为圆O的直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD的最小值是　3　．

【考点】M5：圆周角定理；PA：轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有

【分析】先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出r的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由轴对称的性质得出∠AOC′的度数，故可得出∠BOC′的度数，再由锐角三角函数的定义即可得出DC′的长．

【解答】解：设圆O的半径为r，

∵⊙O的面积为3π，

∴3π=πr2，即r=．

作点C关于AB的对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，

∵∠AOC=80°，

∴∠AOC=∠AOC′=80°，

∴∠BOC′=100°，

∵∠BOD=20°，

∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°，

∵OC′=OD，

∴∠ODC′=30°

∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．

故答案为：3．

【点评】本题考查的是圆周角定理及轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出点C关于直线AB的对称点是解答此题的关键．

19．已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内的点P1、P2、P3、…、P2015在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2015，纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015的长度是　　．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有

【分析】根据点P2015的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点P2015的坐标，由P2015Q2015∥y轴结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点Q2015的坐标，由此即可得出线段P2015Q2015的长度．

【解答】解：∵点P2015的纵坐标为2×2015﹣1=4029，点P2015的在反比例函数y=的图象上，

∴点P2015的坐标为（，4029），

∵P2015Q2015∥y轴，

∴点Q2015的坐标为（，），

∴P2015Q2015=4029﹣=．

故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点P2015的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点P2015、Q2015的坐标是解题的关键．

20．将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是　85　．

【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有

【分析】先根据第一行的第一列的数，以及第二行的第二列的数，第三行的第三列的数，第四行第四列的数，进而得出变化规律，由此得出第七行第七列的，从而求出答案．

【解答】方法一：

解：第一行第一列的数是 1；

第二行第二列的数是 5=1+4；

第三行第三列的数是 13=1+4+8；

第四行第四列的数是 25=1+4+8+12；

…

第n行第n列的数是 1+4+8+12+…+4（n﹣1）=1+4[1+2+3+…+（n﹣1）]=1+2n（n﹣1）；

∴第七行第七列的数是 1+2×7×（7﹣1）=85；

故答案为：85．

方法二：

n=1，s=1；n=2，s=5；n=3，s=13，

设s=an2+bn+c，

∴，

∴，

∴s=2n2﹣2n+1，

把n=7代入，s=85．

方法三：

，，，，，，

∴a7=25+=85．

【点评】此题考查了数字的变化类，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．

三．解答题（共20小题）

21．若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．

【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有

【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，在确定字母的取值范围即可．

【解答】解：

由①得：x＜21，

由②得：x＞2﹣3a，

∵不等式组只有4个整数解，

∴不等式组的解集为：2﹣3a＜x＜21，即不等式组只有4个整数解为20、19、18、17，且满足16≤2﹣3a＜17，

∴﹣5＜a≤﹣．

【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：

（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

22．跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．

（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．

【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有

【专题】12：应用题；22：方案型．

【分析】（1）关键语是“用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同”可根据此列出方程．

（2）本题中“根据进两种零件的总数量不超过95个”可得出关于数量的不等式方程，根据“使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元”看俄得出关于利润的不等式方程，组成方程组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．

【解答】解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x﹣2）元．

由题意得：．

解得：x=10．

检验：当x=10时，x（x﹣2）≠0

∴x=10是原分式方程的解．

每个甲种零件进价为：x﹣2=10﹣2=8

答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．

（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件（3y﹣5）个．

由题意得：

解得：23＜y≤25

∵y为整数∴y=24或25．

∴共有2种方案．

方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；

方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．

【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．本题要注意（2）中未知数的不同取值可视为不同的方案．

23．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．

（1）求证：RQ是⊙O的切线；

（2）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围；

（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．

【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有

【分析】（1）连接OQ．欲证明RQ是⊙O的切线，只要证明∠OQR=90°．

（2）求出两个特殊位置的∠B的值即可解决问题．

（3）如图2中，延长AO交⊙于M．由PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），推出（OB﹣OP）（OB+OP）=PB•PQ，可得OB2﹣OP2=PB•PQ．

【解答】（1）证明：连接OQ．

∵OA⊥OB，

∴∠2+∠B=90°，

∵OB=OQ，

∴∠B=∠4，

∵RP=RQ，

∴∠1=∠3=∠2，

∴∠3+∠4=90°，

∴OQ⊥RQ，

∴RQ是⊙O的切线．

（2）解：如图1中，

①当点R与A重合时，易知∠B=45°．

②当AR=OA时，在Rt△ORQ中，∵∠OQR=90°，OR=2OQ，

∴∠R=30°，

∵RQ=RP，

∴∠RPQ=∠RQP=75°，

∴∠OPB=75°，

∴∠B=90°﹣∠OPB=15°，

综上所述，15°≤∠B＜45°．

（3）如图2中，延长AO交⊙于M．

∵PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），

∴（OB﹣OP）（OB+OP）=PB•PQ，

∴OB2﹣OP2=PB•PQ．

即OB2=PB•PQ+OP2．

【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、等腰三角形的性质、相交弦定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

24．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在y轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．

（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；

（2）若线段AB与y轴的交点为M（如图2），线段BC与直线y=x的交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆的半径；

（3）设△MNB的周长为l，试判断在正方形OABC旋转的过程中l值是否发生变化，并说明理由．

【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有

【分析】（1）由题意当点A落到y轴正半轴上时，边BC在旋转过程中所扫过的面积=S扇形OBB′+S△OCB′﹣S△OBC﹣S扇形OCC′由此计算即可．

（2）如图2中，在OA取一点E，使得EM=EO，首先证明△AEM是等腰直角三角形，推出AM=AE，设AE=AM=x，则EM=EO=x，可得x+x=1，解得x=﹣1，推出BM=AB﹣AM=1﹣（﹣1）=2﹣，同理可得BN=2﹣，推出MN=BM=2﹣2，设△BMN的内切圆的半径为r，则有（MN+BM+BN）•r=BM•BN，由此求出r即可解决问题．

（3）在正方形OABC旋转的过程中l值不发生变化．如图3中，延长BA到E使得AE=CN．只要证明△OAE≌△OCN，推出OE=ON，∠AOE=∠CON，再证明△MOA≌△MON，推出EM=MN，推出△BNM的周长=MN+BM+BN=EM+BM+BN=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2．

【解答】解：（1）如图1中，

由题意当点A落到y轴正半轴上时，边BC在旋转过程中所扫过的面积=S扇形OBB′+S△OCB′﹣S△OBC﹣S扇形OCC′

=S扇形OBB′﹣S扇形OCC′

=﹣

=．

（2）如图2中，在OA取一点E，使得EM=EO，

∵∠AOM=22.5°，

∴∠EOM=∠EMO=22.5°，

∴∠AEM=∠EOM+∠EMO=45°，

∴△AEM是等腰直角三角形，

∴AM=AE，设AE=AM=x，则EM=EO=x，

∴x+x=1，

∴x=﹣1，

∴BM=AB﹣AM=1﹣（﹣1）=2﹣，同理可得BN=2﹣，

∴MN=BM=2﹣2，

设△BMN的内切圆的半径为r，

则有（MN+BM+BN）•r=BM•BN，

∴r===3﹣2．

（3）在正方形OABC旋转的过程中l值不发生变化．

理由：如图3中，延长BA到E使得AE=CN．

∵AE=CN，∠OAE=∠OCN=90°，OA=OC，

∴△OAE≌△OCN，

∴OE=ON，∠AOE=∠CON，

∵∠MON=45°，

∴∠MOA+∠CON=∠MOA+∠AOE=45°，

∴∠MOE=∠MON，∵OM=OM，

∴△MOA≌△MON，

∴EM=MN，

∴△BNM的周长=MN+BM+BN=EM+BM+BN

=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2，

∴△BNM的周长为定值．

【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

25．（1）已知n=﹣

那么1+2+3+…+n=﹣+﹣+﹣+…+﹣，

即1+2+3+…+n=﹣=．

模仿上述求和过程，设n2=﹣，确定a与b的值，并计算12+22+32+…+n2的结果．

（2）图1中，抛物线y=x2，直线x=1与x轴围成底边长为1的曲边三角形，其面积为S，现利用若干矩形面积和来逼近该值．

①将底边3等分，构建3个矩形（见图2），求其面积为S3；

②将底边n等分，构建n个矩形（如图3），求其面积和Sn并化简；

③考虑当n充分大时Sn的逼近状况，并给出S的准确值．

（3）计算图4中抛物线y=2x2与直线y=2x+4所围成的阴影部分面积．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有

【分析】（1）将n2=﹣通分化简，根据恒等式的性质，列出方程即可解决问题．再模仿例题即可解决问题．

（2）①根据矩形的面积公式即可即可．

②根据矩形的面积公式以及（1）中的结论即可即可．

③由Sn=（12+22+32+…+n2）===++，因为n充分大时，、接近于0，所以Sn的值逼近于．

（3）如图4中，设抛物线y=2x2与直线y=2x+4的交点为A、B，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．记曲边三角形AEO的面积为S1，曲边三角形OBF的面积为S2．首先利用逼近法求出S1、S2，再根据S阴=S梯形AEFB﹣S1﹣S2计算即可．

【解答】解：（1）∵n2=﹣==，

∴a=2，b=1时等式成立．

∴12+22+32+…+n2=﹣+﹣+…﹣=．

（2）①S3=•（）2+•（）2+（）2=（12+22+32）=．

②由①可知Sn=（12+22+32+…+n2）=．

③∵Sn=（12+22+32+…+n2）===++，

∵n充分大时，、接近于0，

∴Sn的值逼近于，

∴S=．

（3）如图4中，设抛物线y=2x2与直线y=2x+4的交点为A、B，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．记曲边三角形AEO的面积为S1，曲边三角形OBF的面积为S2．

由交点或，

∴A（﹣1，2），B（2，8），E（﹣1，0），F（2，0），

将底边EO分成n等分，构建n个矩形

S1=•2•（）2+•2•（）2+…+•2•（）2=（1+22+32+…+n2），

由（2）

可知S1逼近于，同理可得S2逼近于，

∴S阴=S梯形AEFB﹣S1﹣S2=•3﹣﹣=9．

【点评】本题考查二次函数综合题，矩形的性质、逼近法求面积等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题，属于创新题目，中考压轴题．

26．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．

（1）求点B的坐标；

（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；

（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且，求这时点P的坐标．

【考点】D5：坐标与图形性质；KH：等腰三角形的性质；LJ：等腰梯形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题．

【分析】（1）过B作BQ⊥OA于Q易得∠COA=∠BAQ=60°，在Rt△BQA中，根据三角函数的定义可得QB的长，进而可得OQ的长；即可得B的坐标；

（2）分点P在x正半轴上与x负半轴上上两种情况讨论，结合等腰三角形的性质，可得OP、OC的长，进而可得答案；

（3）根据题意易得△COP∽△PAD，进而可得比例关系，代入数据可得答案．

【解答】解：（1）过B作BQ⊥OA于Q，则∠COA=∠BAQ=60°，

在Rt△BQA中，QB=ABsin60°=，

，

∴OQ=OA﹣QA=7﹣2=5．

∴B（5，）．

（2）①当OC=OP时，若点P在x正半轴上，

∵∠COA=60°，△OCP为等腰三角形，

∴△OCP是等边三角形．

∴OP=OC=CP=4．

∴P（4，0）．

若点P在x负半轴上，

∵∠COA=60°，

∴∠COP=120°．

∴△OCP为顶角120°的等腰三角形．

∴OP=OC=4．

∴P（﹣4，0）

∴点P的坐标为（4，0）或（﹣4，0）．

②当OC=CP时，由题意可得C的横坐标为：4×cos60°=2，

∴P点坐标为（4，0）

③当OP=CP时，

∵∠COA=60°，

∴△OPC是等边三角形，同①可得出P（4，0）．

综上可得点P的坐标为（4，0）或（﹣4，0）．

（3）∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，

∴∠OPC+∠DPA=120°．

又∵∠PDA+∠DPA=120°，

∴∠OPC=∠PDA．

∵∠COP=∠A=60°，

∴△COP∽△PAD．

∴．

∵，AB=4，

∴BD=，

AD=．

即．

∴7OP﹣OP2=6得OP=1或6．

∴P点坐标为（1，0）或（6，0）．

【点评】本题是一道动态几何压轴题，对学生的分类思想作了重点的考查，是一道很不错的题．