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    上海市第二中学2021-2021学年高二数学上学期期中试题(含解析)-

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    上海市第二中学2021-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）
    一.填空题
    1.过点P(2,3，且一个法向量为n(3,1的直线的点法向式方程是________. 【答案】3(x2(y30 【解析】 【分析】
    根据直线的方向向量与其法向量垂直列式可得. 【详解】在所求直线上任取一点(x,y,则所求直线的方向向量为(x2,y3, 再根据直线的方向向量与法向量垂直可得, (3,1(x2,y30, 即3(x2(y30. 故答案为: 3(x2(y30. 【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量以及直线的点法向式方程,属于基础题. 2.三角形ABC的重心为G，A2,1,B3,4,G____________． 【答案】1,1 【解析】 【分析】
    利用三角形的重心坐标G24,，则顶点C的坐标为33x1x2x3y1y2y3,，可求得顶点C的坐标. 33223x,33【详解】设顶点C的坐标为x,y，由三角形ABC的重心坐标得：
    414y,33x1,解得：故填：1,1. y1,【点睛】本题所用的公式实际上是从共线向量定理抽象得到的，如果懂得利用这个结论能使
    - 1 -
    运算的速度更快. 3.已知矩阵A=1242，矩阵B=，计算：AB= ．
    3431104【答案】
    2410【解析】 试题分析：AB=1242104=。 34312410考点：矩阵的乘法运算。
    点评：直接考查矩阵的乘法运算：当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的。
    4.点P(1,2到直线l:3xyc0的距离为10，则c________. 【答案】9或11 【解析】 【分析】
    根据点到直线的距离公式求出点P到直线l的距离,再根据已知距离列等式可解得. 【详解】由点到直线的距离公式可得点P(1,2到直线l:3xyc0的距离为, d|3(12c|3212
    |c1|, 10依题意可得|c1|10,化简得,|c1|10, 10所以c110或c110, 解得c11或c9. 故答案为9或11. 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题. xy15.设x,yR满足约束条件yx，则z2xy最大值为________. y0【答案】2

    - 2 -
    【解析】 【分析】
    作出可行域后,将目标函数化为斜截式,比较两条直线的斜率可找到最优解,再将最优解的坐标代入目标函数可得. 【详解】作出可行域如图阴影部分:
    将目标函数z2xy化为斜截式可得,y2xz, 即求直线y2xz的纵截距最大值, 比较直线y2xz与直线xy1的斜率可知,21, 由图可知,最优解为点(1,0, 将最优解的坐标带入目标函数可得z的最大值为2. 故答案为:2. 【点睛】本题考查了利用线性规划求线性目标函数的最大值,解题关键是比较斜率找到最优解.属于中档题. 6.已知点A(1,3，B(4,1，则与向量AB方向相同的单位向量的坐标为____________. 【答案】(, 【解析】
    ∵点A1,3，B4,1，
    3545
    - 3 -
    22∴AB3,4，可得AB3(45，
    因此，与向量AB同方向的单位向量为：eABAB1343,4, 555故答案为：,354 57.已知kR，则“k5”是“直线l1:(k3x(4ky10与直线l2:2(k3x2y30平行”的________.条件
    【答案】充分不必要 【解析】 【分析】
    当k5时,两直线的斜率相等,纵截距不相等,说明是充分条件,而两直线平行时,也能推出k3,所以不是必要条件,由此可得. 【详解】因为k5时,直线l1:2xy10,直线l2:4x2y30, 即l1:y2x1,斜率k12,纵截距b11; 33l2:y2x,斜率k22 ,纵截距b2, 22因为k1k2,b1b2,所以l1//l2, 即“k5”能够推出“直线l1:(k3x(4ky10与直线l2:2(k3x2y30平行, 因为k3时,l1:y1 ,l2:y3,此时也有l1//l2, 2所以由l1//l2可能推出k3,不一定推出k5, 所以“k5”是“直线l1:(k3x(4ky10与直线l2:2(k3x2y30平行”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要条件. 【点睛】本题考查了两条直线平行条件以及充分不必要条件,易错警示容易漏掉k30这种情况,属于基础题.
    - 4 -
    35188.三阶行列式278中，元素8的代数余子式的值为________. 724【答案】29 【解析】 【分析】
    元素代数余子式的定义计算可得. 【详解】根据代数余子式的定义可得元素8的代数余子式的值为:(1故答案为:29. 【点睛】本题考查了根据行列式中元素的代数余子式的定义求值.属于基础题. 9.已知向量a(1,2，b(3,4，则向量a在向量b上的投影为________. 【答案】1 【解析】 【分析】
    根据向量在向量上的投影的定义,结合向量数量积和模长公式计算可得. 【详解】由定义可得向量a在向量b上的投影为|a|cosa,b132(43(422的233572(325729. ab |b| 1. 故答案为:1. 【点睛】本题考查了向量在向量上的投影,平面向量数量积和模长公式,属于基础题., 10.ABC中，|AB|5，|BC|10，B3，则|ABBC|________. 【答案】53 【解析】 【分析】

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    先根据B算可得. 3,得到AB,BC2,然后将|ABBC|平方开方,利用向量的数量积计3【详解】在三角形ABC中,因为B所以|ABBC|32,所以AB,BC22, 3(ABBC2ABBC2ABBC |AB|2|BC|22|AB||BC|cos1 22 352102251075 53. 故答案为53. 【点睛】本题考查了向量夹角,向量数量积,向量的模的计算,属于基础题.本题易错警示是容易将三角形内角当成向量的夹角. 11.已知点A2,3,B5,2，若直线l过点P1,6，且与线段AB相交，则该直线l的斜率的取值范围是___________ -1][1, 【答案】(-，【解析】 【分析】
    利用直线的斜率公式分别计算出直线PA,PB的斜率，观察图象，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．
    【详解】解：作出直线和点对应的图象如图：

    - 6 -

    要使直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k满足kkPA或kkPB，
    kPA63621,kPB1，
    121(5k1或k1，
    -1][1,． 则直线l斜率的取值范围是(-，-1][1, 故答案为：(-，【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，要求熟练掌握直线斜率的坐标公式，比较基础．
    12.已知A、B、C是直线AB上的不同的三个点，点O不在直线AB上，则关于x的方程x2OAxOBAC0的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】
    根据三点共线得向量共线,再根据共线向量定理得ABAC,然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得x1,最后验证可知不符合题意,故解集为空集. 【详解】因为A、B、C是直线AB上的不同的三个点, 所以AB与AC共线, 根据共线向量定理可得,存在实数R,使得ABAC, - 7 -
    因为AB0,所以0, 所以OBOAAC, 所以AC1OA1OB, 又由已知得ACx2OAxOB, 根据平面向量基本定理可得,消去得x2x且x0, 解得x1,1, 当1时,ABAC,此时B与C两点重合,不符合题意,故舍去, 故于x的方程x2OAxOBAC0的解集为, 故答案: . 1x2且1x, 【点睛】本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理,三角形减法法则的逆运算,属于中档题. 二.选择题
    113.设f(xxx2A. {1} 都不对 【答案】C 【解析】 【分析】
    1111，xR，则方程f(x0的解集为（ ） 11B. {1}
    C. {1,1}
    D. 以上答案按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得. 1【详解】因为f(xx1x211x1x11111212
    11x1x11111(11111(x1x211(x11x2 2xx2xx2
    - 8 -
    2x22, 由f(x0,得2x220,即x21,所以x1或x1. 所以方程f(x0的解集为{1,1}. 故选C. 【点睛】本题考查了行列式的计算法则,属于基础题. 14.如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）
    A. 曲线C是方程f(x,y0的曲线
    B. 方程f(x,y0的每一组解对应的点都在曲线C上 C. 不满足方程f(x,y0的点(x,y不在曲线C上 D. 方程f(x,y0是曲线C的方程 【答案】C 【解析】
    【详解】由曲线与方程的对应关系,可知:由于不能判断以方程f(x,y0的解为坐标的点是否都在曲线C上, 故方程f(x,y0的曲线不一定是C,所以曲线C是方程f(x,y0的曲线不正确; 方程f(x,y0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确; 不能推出曲线C是方程f(x,y0的轨迹, 从而得到A,B,D均不正确, 不满足方程f(x,y0的点(x,y不在曲线C上是正确的. 故选 C. 15.已知直线l1：ax-y10，l2：xay10,aR，和两点A（0,1），B（-1,0），给出如下结论：
    ①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；

    - 9 -
    ②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）； ③不论a为何值时，l1与l2都关于直线xy0对称； ④如果l1与l2交于点M，则MAMB的最大值是1； 其中，所有正确的结论的个数是（ ） A. 1 【答案】C 【解析】
    对于①，当a0时，两条直线分别化为:y1,x1，此时两条直线互相垂直，当a0时，B. 2 C. 3 D. 4. 11a两条直线斜率分别为:a,,满足1,此时两条直线互相垂直，因此不论a为何aa值时，l1与l2都互相垂直，故①正确；
    对于②，当a变化时，代入验证可得:l1与l2分别经过定点A0,1和B1,0，故②正确； 对于③，由①可知:两条直线交点在以AB为直径的圆上，不一定在直线xy0上，因此l1与l2关于直线xy0不一定对称，故③不正确；
    对于④，如果l1与l2交于点M，由③可知:MAMB2，则22MA?MB，所以22MA·MB的最大值是1，故④正确. 所有正确结论的个数是3. 故选C 16.已知两个不相等的非零向量a与b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均有2个a和3个b按照某种顺序排成一列所构成，记sx1y1x2y2x3y3x4y4x5y5，且smin表示s所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若ab，则smin与|a|无关；③ 若a∥b，则smin与|b|无关；④ 若|b|4|a|，则smin0；⑤若|b|2|a|，且smin8|a|2，则a与b的夹角为确的结论的序号是（ ）

    - 10 -     ；正4
    A. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】
    B. ②④ C. ②③ D. ①⑤
    按照S中ab的对数分3种情况,求出S的值:S1,S2,S3共3个值,故①不正确;作差比较可得S3最小,再逐个分析②③④⑤可得. 【详解】当有零对ab时,S12|a|23|b|2; 当有2对ab时,S2|a|22|b|22ab; 当有4对ab时,S3|b|24ab; 所以S有3个不同的值,所以①不正确; 因为S1S22|a|23|b|2|a|22|b|22aba2b22ab(ab2, S2S3|a|22|b|22ab|b|24aba2b22ab(ab2, 因为ab,所以S1S20,S2S30, 所以S1S2S3,所以SminS3|b|24ab, 对于②,因为ab,所以ab0,则SminS3|b|2与|a|无关,只与|b|有关,所以②正确; 对于③,当a//b时,设ab,则SminS3|b|24ab|b|24|b|2(14|b|2与|b|有关,所以③不正确; 对于④,设a与b的夹角为,因为|b|4|a|,所以SminS3
    |b|24ab16|a|24|a||b|cos16|a|216|a|2cos16|a|2(1cos0,所以Smin0,故④正确; 对于⑤,因为|b|2|a|,所以SminS3|b|24ab4|a|24|a||b|cos4|a|28|a|2cos,因为smin8|a|2,222所以4|a|8|a|cos8|a|,所以cos1, 因为0,所以,所以a与32
    - 11 -
    b的夹角为,故⑤不正确. 故选B. 【点睛】本题考查了分类讨论思想,平面向量数量积和夹角,向量共线和垂直,属于难题. 三.解答题
    3a4a217.已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组. 1aa【答案】当a2时, 方程组有无数组解; 当a2时,方程组无解; 当a2时, 方程组有唯一组解,x【解析】 【分析】
    aa1,y. a2a2先交换第一行与第二行,然后第一行乘以a加到第二行,再对a分类讨论即可得到. a4a21aa1a【详解】对于增广矩阵21aaa4a204aa1a , 0(2a(2a(a1(2a的a a2a2a1, a2- 12 - 122当a2时,矩阵化为,方程组有无数组解; 000122当a2时,矩阵化为 ,方程组无解; 004当a2时,矩阵第二行有.(2a(2ay(a1(2a,得y将ya1a1,,进一步得代入到xaya,得xaaya(1ya(1a2a2ax. a2综上,当a2时, 方程组有无数组解; 当a2时,方程组无解; 当a2时, 方程组有唯一组解,xaa1,y. a2a2【点睛】本题考查了利用矩阵变换解线性方程组,属于基础题.

    18.已知a、b都是单位向量，a与b满足|kab|3|akb|，其中k0. (1用k表示ab；
    (2求ab的最小值，并求此时a、b的夹角的大小. 1k21【答案】(1；(2，
    4k23【解析】 【分析】
    (1对|kab|3|akb|两边平方，化简即可求解; (2利用基本不等式求出ab的最小值，再结合数量积公式求出此时a、b的夹角. 【详解】(1|kab|3|akb|
    k2|a|22kab|b|23|a|26kab3k2|b|2 k21即ab
    4kk21k1k11(2由(1可知ab2 4k44k44k2当且仅当k1时，ab取最小值1 2ab1，a,b
    3|a||b|2此时a、b的夹角的余弦值为cosa,b所以ab的最小值为1，此时a、b的夹角为. 32【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及夹角的求法，属于中档题. 19.边长为1的正三角形ABC，E、F分别是边AB、AC上的点，若AEmAB，AFnAC，其中m,n(0,1，设EF的中点为M，BC中点为N.
    - 13 -

    （1）若A、M、N三点共线，求证：mn； （2）若mn1，求|MN|的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为【解析】 【分析】
    3. 4(1利用共线向量基本定理得AMAN,根据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应的向量的和的一半,将已知条件代入得到要证的结论; (2利用向量的运算法则:三角形减法法则的逆运算将MN用三角形的边对应的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,将|MN|2表示为m的二次函数,求出二次函数的最小值. 【详解】
    (1由A,M,N三点共线,得AM/,AN共线, 根据共线向量定理可得,存在R使得AMAN, 即11(AEAF(ABAC, 22所以mABnACABAC, 根据平面向量基本定理可得mn, 所以mn. 1111(ABAC(AEAF(1mAB(1nAC, 222211又mn1,所以MN(1mABmAC, 22(2因为MNANAM
    - 14 -
    因为三角形ABC是边长为1的正三角形,所以|AB||AC|1,ABAC|AB||AC|cos所以|MN|2 MN231, 222111(1m2ABm2AC(1mmABAC 442111(1m21m21(1mm|AB||AC|cos 4423111(1m2m2(1mm 444113(m2, 4216所以m13时,MN取得最小值. 24【点睛】本题考查了共线向量定理,平面向量基本定理,平面向量的数量积,平面向量三角形的减法法则的逆运算,二次函数求最小值,属于中档题. 20.已知倾斜角为的直线l过点A(1,2和点B，点B在第一象限，|AB|32. 4（1）求B的坐标；
    （2）若直线l与两平行直线l1:3x4y80，l2:3x4yc0相交于E、F两点，且|EF|152，求实数c的值；
    （3）记集合P{m|直线m经过点B且与坐标轴围成的面积为S}，S0，针对S的不同取值，讨论集合P中的元素个数. 【答案】（1）B(4,1；（2）7或23；（3）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】
    (1先求出直线l的方程,再根据方程设出B的坐标,利用|AB|32以及B在第一象限,可解得; (2解方程组得E,F的坐标,根据两点间的距离可解得; (3设出直线m的截距式方程xy1,代入B的坐标并根据面积公式可得|ab|2S,再分2ab种情况去绝对值,利用判别式讨论一元二次方程的根的个数可得.
    - 15 -
    【详解】(1因为倾斜角为    4的直线l过点A(1,2, 所以由点斜式得y(2tan4(x1,即yx3, 因为直线l过点B,所以设B(x,x3, 所以|AB|(x12(x322(x12, 因为|AB|32, 所以2(x1232,化简得(x129,解得x4或x2, 因为点B在第一象限,所以x0, 所以x4,y431, 所以B(4,1. (2联立yx33x4y80, 解得x20 ,所以E(20,17, y17联立yx3x4yc0,解得x12cy9c,所以F(12c,9c, 3因为|EF|152,所以(2012c2(179c2152, 化简得c216c1610, 解得c7或c23. (3因为S0,所以可设直线m的截距式方程为xayb1, 因为直线m经过点B(4,1,所以4a1b1, 所以baa4, 因为直线m与坐标轴围成的面积为S(S0, 所以12|a||b|S即|ab|2S, 所以ab2S或ab2S, 当ab2S时,aa42S,整理得a2a2Sa8S0,
    - 16 -
    因为(2S32S4S32S0恒成立,所以一元二次方程a22Sa8S0恒有两个非零实根, 当ab2S时,a222a2S,整理得a22Sa8S0, a4当(2S32S0,即0S8时, a22Sa8S0无解, 当(2S32S0,即S8时, a22Sa8S0有且只有一个非零实根, 当(2S32S0,即S8时, a22Sa8S0有两个不相等的非零实根, 所以,当0S8 时,直线m有两条,集合P有两个元素, 当S8时,直线m有三条, 集合P有三个元素, 当S8时,直线m有四条, 集合P有四个元素. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式,求两直线交点坐标,讨论一元二次方程实根个数,属于中档题. 21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、22y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设此点为A'. （1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；
    （2）若折痕所在直线的斜率为k，（k为常数），试用k表示点A'的坐标，并求折痕所在的直线的方程；
    （3）当-23k0时，求折痕长的最大值.
    2k1【答案】（1）y-x1；（2）ykx；(32(62. 22【解析】
    试题分析：（1）若折痕的斜率为1时，由于A点落在线段DC上，可得折痕必过点D(0,1，即可得出；（2）当k0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y1，当k0时，2将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为Ga,1，可知A与G关于折痕所在的直线对称，有kOG•k1，故G点坐标为Gk,1，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG
    - 17 -
    的中点为M，即可得出；（3）当k0时，折痕为2，当23k0时，折痕所在直线k21k21，交y轴于F0,交BC于点E2,2k，利用两点之间的距离公式、二次函222数的单调性即可得出．
    试题解析：（1）∵折痕的斜率为1时，A点落在线段DC上 ∴折痕必过点D(0,1 ∴直线方程为yx1
    （2）①当k0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y1. 2②当k0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为Ga,1，0＜a2 则A与G关于折痕所在的直线对称，有kOGk1，即ak． ∴G点坐标为Gk,1,2k＜0
    从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点为Mk1,，折痕所在的直线方221kk21程ykx，即ykx2k0．
    2222k21综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：ykx2k0．
    22（3）当k0时，折痕长为2．
    k21，交y轴于当23k0时，折痕所在直线交BC于点E2,2k22k21F0,．
    2k21k21222k44k24474332163 ， ∵yEF22222∴折痕长的最大值为32163282122∴综上所述，折痕长度的最大值为2622. 62
    点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相
    - 18 -
    互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题


    - 19 -

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