第21节　多边形与平行四边形

一、选择题

1．(2018·衡阳)正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为( C )

A．10 B．11 C．12 D．13

2．(2018·株洲)已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是( D )

A．OE＝DC B．OA＝OC

C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE

3．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( D )

A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC

C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC

,第3题图)　　,第4题图)

4．(2018·台湾)如图的七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为( A )

A．40° B．45° C．50° D．60°

5．(2018·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( B )

①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.

A．①②③ B．①②④

C．②③④ D．①③④

6．(导学号　14952383)(2017·乐山预测)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE.下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有( C )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

,第6题图)　,第8题图)

二、填空题

7．(2018·扬州)若多边形的每一个内角均为135°，则这个多边形的边数为__8__．

8．(2018·河南)如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为__110°__．

9．(2018·襄阳)在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为__55°或_35°__．

10．(导学号　14952384)(2018·随州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝__3__.

,第10题图)　　,第11题图)

11．(导学号　14952385)(2018·无锡)如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为__5__．

三、解答题

12．(2017·眉山预测)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．

解：AE与CF的关系是平行且相等．

理由：∵在▱ABCD中，

∴OA＝OC，AF∥EC，

∴∠OAF＝∠OCE，

在△OAF和△OCE中，

∴△OAF≌△OCE(ASA)，

∴AF＝CE，

又∵AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE∥CF且AE＝CF，

即AE与CF的关系是平行且相等

13．(2018·温州)如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.

(1)求证：△ADE≌△FCE；

(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，

∵E是▱ABCD的边CD的中点，

∴DE＝CE，

在△ADE和△FCE中，

∴△ADE≌△FCE(AAS)

(2)解：∵△ADE≌△FCE，

∴AE＝EF＝3，

∵AB∥CD，

∴∠AED＝∠BAF＝90°，

在▱ABCD中，AD＝BC＝5，

∴DE＝＝＝4，

∴CD＝2DE＝8

14．(2018·鄂州)如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N.

(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；

(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∵AM⊥BD，CN⊥BD，

∴AM∥CN，

∴CM∥AN，AM∥CN，

∴四边形AMCN是平行四边形

(2)解：∵四边形AMCN是平行四边形，

∴CM＝AN，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB，CD∥AB，

∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，

在△MDE和△NBF中，

∴△MDE≌△NBF(AAS)，

∴ME＝NF＝3，

在Rt△DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，

∴DM＝＝＝5，

∴BN＝DM＝5

15．(导学号　14952386)(2017·达州预测)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.

(1)求证：BE＝CD；

(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，

∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∠AEB＝∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE，∴BE＝CD

(2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE＝AB＝4，

∵BF⊥AE，

∴AF＝EF＝2，

∴BF＝＝＝2，

∵AD∥BC，

∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，

在△ADF和△ECF中，

∴△ADF≌△ECF(AAS)，

∴S△ADF＝S△ECF，

∴S▱ABCD＝S△ABE＝AE·BF＝×4×2＝4