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    黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期初考试数学(理)试题 Word版含答案

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    大庆实验中学2014-2015学年度高三暑期期初考试数学试
    题（理科）
    一、
    选择题（每题5分共60分）
    1．已知A{xZ|2x4}，B{x|
    2
    1}，则A(CRB的元素个数为（）x1
    A．1B．2C．3D．42．若i是虚数单位，则复数A．

    B．

    的实部与虚部之积为（）
    C．

    D．

    3．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体
    中，正方体的体积最大”是（）
    A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D以上都不是4．已知幂函数f(xx的部分对应值如则不等式f(x2的解集是(．
    f(x
    A．{x|－4≤x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|－2≤x≤2}D.{x|0≤2}
    1

    下表：
    x
    1
    12

    22
    5．已知函数f(xacosxbx22x，若f(x00则f(x0（）A、0B、2aC、2bD、22
    6．由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种B．48种C．72种D．96种
    7．高二年级计划从3名男生和4名女生中选3人参加某项会议，则选出的3人中既有男生又有女生的选法种数为（）
    A．24B．30C．60D．90
    8．某班有60名学生，一次考试后数学成绩N110,102,若P1001100.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10B．9C．8D．7
    10210
    9．已知(1＋x＝a0＋a1(1－x＋a2(1－x＋„＋a10(1－x，则a8＝(A．－180B．180C．45D．－4510．已知函数f（x）=
    1og3x,0x3
    ，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），
    21og3x,x3
    则a+b+c的取值范围为（）



    A．（
    19192032
    （,11）C．（，12）D．（6，l2）,）B．3333
    11．设函数f(x）是定义在（一，0）上的可导函数，其导函数为fx,且有
    2fxxfxx2,则不等式x20142fx20144f20的解集为(
    A,,2012B.2012，00C.,2016D.2016，12．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为
    1
    (n≥2,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如n
    111111111
    =+,=+,=+,则第10行第4个数(从左往右数为(1222363412

    11
    B.
    5041260
    11C.D.
    840360
    A.
    二、填空题（每题5分共20分）
    男女合计
    理科13720
    文科102030
    合计232750
    13.为了判断高中三年级学生选修文科是否与性
    别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：
    已知P(K2≥3.841≈0.05，P(K2≥5.024≈0.025.
    2
    根据表中数据，得到K＝
    2
    501320107≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为______．23272030
    14．已知0＜θ＜
    ，由不等式tanθ+
    ≥2，tanθ+
    =
    +
    +
    ≥3，tanθ+=+++≥4，„，启发我们得到推广结论：
    tanθ+≥n+1，则a=_________．
    15.若不等式bxc9lnxx2对任意的x0，则实数c的取值范+，b0，3恒成立，围是．
    ex2,x016．已知函数f(x＝，(a是常数且a＞0．对于下列命题：
    2ax1,x0



    ①函数f(x的最小值是－1；②函数f(x在R上是单调函数；③若f(x＞0在
    1上恒成立，则a的取值范围是a＞1；,2
    ④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f(
    x1x2f(x1f(x2

    22
    其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号．
    三、解答题（共70分）
    x2＋2x＋a
    17．（12分）已知函数f(x＝，x∈[1，＋∞．
    x
    (1当a＝4时，求函数f(x的最小值；
    (2若对任意x∈[1，＋∞，f(x>0恒成立，试求实数a的取值范围．18．（12分）已知

    3
    xx
    22n

    的展开式的二项式系数的和比(3x－1的展开式的二项式系
    n
    数和大992,求(2x－
    12n
    的展开式中:x
    (1二项式系数最大的项；(2系数的绝对值最大的项．
    19.（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
    （2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X及方差D(X.20.（12分）已知函数f(x
    131
    x(a1x2ax(aR.32
    （1）若f(x在x2处取得极值，求f(x的单调递增区间；（2）若f(x在区间(0,1内有极大值和极小值，求实数a的取值范围.21．（10分）已知曲线C的极坐标方程为
    sin24cos，直线l的参数方程为
    xtcos
    （t为参数，0）
    y1tsin
    （1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点(1,0，求直线l被曲线C截得的线段AB的长



    a22．（12分）已知关于x的函数f(xax(a0x
    e
    （1）当a1时，求函数f(x的极值；
    （2）若函数F(xf(x1没有零点，求实数a取值范围.

    大庆实验中学2014-2015学年度高三暑期期初考试数学试题（理科）答案二、
    选择题（每题5分共60分）CBBAD,CBBBB,CC
    二、填空题（每题5分共20分）13.5%14.nn15.，9ln316.①③④三、解答题：（共70分）
    4x2＋2x＋417、（12分）解：(1由a＝4，则f(x＝＝x＋＋2≥6，当x＝2时，取得等号．即
    xx
    x2＋2x＋a
    当x＝2时，f(xmin＝6.(2x∈[1，＋∞，>0恒成立，即x∈[1，＋∞，x2
    x
    ＋2x＋a>0恒成立．等价于a>－x2－2x，当x∈[1，＋∞时恒成立，令g(x＝－x2－2x，x∈[1，＋∞，从而a>g(xmax＝－1－2×1＝－3，即a>－3.所以a的取值范围是3,.
    2nnnnn18、（12分）解：由题意知，2－2＝992，即(2－32(2＋31＝0，∴2＝32，解得n＝5．
    1(1由二项式系数的性质知，2x的展开式中第6项的二项式系数最大
    x
    551即C10252．∴T6C102xC1028064．x
    5
    10
    555
    (2设第r＋1项的系数的绝对值最大，
    r10rr110r1C2C210110r10rrr10r102x
    ∴Tr1C102x．∴r10r1C102xr110r1
    xC102C102
    r



    得Cr102Cr110
    11r2r811∵r∈Z，∴r＝3．2Crr1
    ，即10C10
    2r110r，解得3r3故系数的绝对值最大的是第4项，T4C3744
    102x15360x19、（12分）解：
    （1）设A1{
    日销售量不低于100个}，A2{日销售量低于50个}，B{未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个}.因
    P（A1）（0.0060.0040.002）500.6P（A2）0.003500.15
    P（B）0.60.60.1520.108
    X可能的取值为0,1,2,3，相应的概率为
    P（X0）C03
    3（10.6）0.064P（X1）C10.6）230.6（10.288
    P（X2）C2
    0.62

    3
    （10.6）0.432
    P（X3）C330.630.216
    分布列为:
    因为X~B（3,0.6），所以E（X）30.61.8，D（X）30.6（10.6）0.72
    20、（12分）解：（1）∵f(x
    13x31
    2
    (a1x2ax，∴f'(xx2(a1xa，∵f(x在x2处取得极值，∴f'(20，即42(a1a0a2
    3
    ，
    ∴f'(xx2
    5213x3(x3
    (x2，
    令f'(x0，则(x13
    (x20，∴x1
    3或x2，
    ∴函数f(x的单调递增区间为(,1
    3
    ，(2,；
    （2）∵f(x在(0,1内有极大值和极小值∴f'(xx2(a1xa在(0,1内有两不等零点，而二次函数f'(xx2(a1xa，其对称轴xa1
    2
    ，可结合题意画出f'(x的大致示意图：

    X0
    P
    0.


    (a124a0
    a110
    ∴，解得0a322，2f'(0a0f'(12a0
    ∴实数a的取值范围是(0,322.
    21、（10分）解：（1）曲线C的直角坐标方程为y24x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F(1,0的抛物线；（2）直线l的参数方程为
    xtcos
    (t为参数，0≤＜
    y1tsin
    3
    4
    故l经过点（0，1）；若直线l经过点(1,0，则
    32
    xtcost42
    直线l的参数方程为（t为参数）
    y1tsin312t42
    代入y24x，得t262t20设A、B对应的参数分别为t1,t2，则t1t262,t1t22ABt1t222．（12分）解：（1）
    (t1t224t1t2=8
    ，
    f(x
    aex(x2(e
    x2

    a(x2ex
    xR.
    当a1时，f(x,f'(x的情况如下表：
    x
    f'(xf(x
    (,2


    ↘

    20极小值
    (2,

    ↗


    所以，当a1时，函数f(x的极小值为f(xe2.（2）F(xf(x
    a(x2e
    x
    .当a0时，F(x,F'(x的情况如下表：
    2
    (2,
    x

    (,2



    f'(x


    ↘
    0极小值

    ↗
    a
    10，e2
    f(x

    因为F(1=1＞0,若使函数F(x没有零点，需且仅需F(2
    2
    解得ae2,所以此时ea0；
    当a0时，F(x,F'(x的情况如下表：
    x
    f'(xf(x
    (,2


    ↗

    20极大值
    10ea
    110a1
    (2,

    ↘
    e10e
    110a


    因为F(2F(10,且F(1
    10
    10a
    0，
    e
    所以此时函数F(x总存在零点.（或：当x2时，F(x当x2时，令F(x
    ax1e
    x
    11,
    ax1ex
    x
    10,即ax1e0,
    由于ax1exax1e2,令ax1e20,
    e2e2
    得x1，即x1时F(x0，即x2时F(x存在零点.）
    aa
    2
    综上所述，所求实数a的取值范围是ea0.






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