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第二章能力检测

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)

1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点166e517f152997ed78315b09385c6c78.png，则k＋α等于(　　)

A．.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png　 B．1　　

C．003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png　　 D．2

【答案】C　

【解析】由幂函数的定义知k＝1.又ffed7bbbd0ae7939498c1c5d92b5deac7.png＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，所以fed7bbbd0ae7939498c1c5d92b5deac7.pngα＝d43798c8a0800bb4ff5e32d94e28ceb2.png，解得α＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，从而k＋α＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png.

2.已知f(x3)＝lg x，则f(2)等于(　　)

A．lg 2 B．lg 8

C．lg bc763c40c1afc46fbe981d117a65141c.png D．7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.pnglg 2

【答案】D

【解析】令x3＝2，则x＝ed1d040f4584cba9139c10b5778f4a04.png，∴f(2)＝lg5ad63abe51aa18ef8b56b804803a774c.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.pnglg 2.

3．(2019年湖北武汉期末)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

【答案】B　

【解析】若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的图象如图所示．故选B.

4.下列函数在区间(0,3)内是增函数的是(　　)

A．y＝b94ebb7591e5056f271e306e51125387.png B．y＝x1fac57b792d4d2466f1712cd7b975956.png

C．y＝95c0be41f06c937f5008a28f229ae657.pngx D．y＝x2－2x－15

【答案】B

【解析】由幂函数、指数函数性质即得.

5.设a＝0.71fac57b792d4d2466f1712cd7b975956.png，b＝0.81fac57b792d4d2466f1712cd7b975956.png，c＝log30.7，则(　　)

A．c<b<a B．c<a<b

C．a<b<c D．b<a<c

【答案】B

【解析】由幂函数性质与对数函数性质有b>a>0>C．

6．(2019年广东中山模拟)设函数f(x)＝f74c80c80f4cadcc36ddac9e85384b5b.png若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)　　　 B．(1，＋∞)

C．(－3,1)　　 D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

【答案】C　

【解析】当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为fed7bbbd0ae7939498c1c5d92b5deac7.pnga－7＜1，即1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pnga<8，即1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pnga＜1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.png－3，因为0＜66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为fa84d41497396ace4788002fba12ea3d.png＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．故选C.

7.幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为(　　)

A．m＝2　 B．m＝－1

C．m＝－1或2 D．m≠cfbe076b76a1b8faab890d94f59d5406.png

【答案】A

【解析】∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3在(0，＋∞)上为减函数；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)在(0，＋∞)上为常数函数(舍去)，∴m＝2.

8.定义运算a*b＝82761e5c291f78a78a26f86984d815a2.png则函数f(x)＝1](　　)

【答案】A

【解析】f(x)＝1*2x＝b8e4527b1f9dee5386469bf2f9e1415a.png即f(x)＝4100acbcabaae2ed03985a991597e2b1.png故选A.

9．(2019年黑龙江哈尔滨期末)已知函数f(x)＝ln6c6ba3e97d647dccd41adcefac58c0b1.png，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是(　　)

A.84b33eccf64a2698663f6ea6d2bbc608.png　　 B．a56da672d6659a6492b483a91611d0e5.png　

C．85d16f8fb139fd91e257b7ee7954e153.png　 D．2f3a0bac7f0a5529cda69e1b506f1cd0.png

【答案】C　

【解析】由题意可知lnbb4c189ba53ea9314f6b8e7a05c0f90d.png＋lndd2e75cbf6cbda17431c5a1d6497661b.png＝0，即ln032da051c602825cf16bc2e5f203e01a.png＝0，从而bb4c189ba53ea9314f6b8e7a05c0f90d.png×dd2e75cbf6cbda17431c5a1d6497661b.png＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－f209c1b024b72469522ea909d340832b.png2＋0495c943adeef64d4e2ed7db21a0c83e.png.又0＜a＜b＜1，所以0＜a＜df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，故0＜－0414aed5ddea380db2aafb3339a5ea20.png2＋0495c943adeef64d4e2ed7db21a0c83e.png＜70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png.

10.设函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系为(　　)

A．f(a＋1)＝f(2) B．f(a＋1)>f(2)

C．f(a＋1)<f(2) D．不确定

【答案】B

【解析】易知f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以0<a<1.所以1<a＋1<2.所以f(a＋1)>f(2).

11.已知函数f(x)＝e7ecb4fc1cb1e342eecf2b07257908a5.png则满足f(a)＜df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png的实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1) B．(－∞，－1)∪(0，1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)

C．(0，1553867a52c684e18d473467563ea33b.png) D．(－∞，－1)∪(0,2)

【答案】B

【解析】当a＞0时，由f(a)＜df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，可得log2a＜71358c0a34e500b4e4713f6bbaa88121.png＝log227b27a075f28548bc2b72002fca2223a.png，得0＜a＜1553867a52c684e18d473467563ea33b.png；当a≤0时，由f(a)＜df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，可得2a＜66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png＝2－1，因此得a＜－1.综上所述，a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，a5ee308c74686f6fc715cfc411104dee.png).

12．(2019年北京模拟)记x2－x1为区间[x1，x2]的长度，已知函数y＝2|x|，x∈[－2，a](a≥0)，其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是(　　)

A．6　　 B．5　

C．4　　 D．3

【答案】D　

【解析】令f(x)＝y＝2|x|，则f(x)＝834184903ce8197af5b6baf6885db235.png当a＝0时，f(x)＝2－x在[－2,0]上为减函数，值域为[1,4]；当a＞0时，f(x)在[－2,0)上递减，在[0，a]上递增，①当0＜a≤2时，f(x)max＝f(－2)＝4，值域为[1,4]；②当a＞2时，f(x)max＝f(a)＝2a＞4，值域为[1,2a]．综上可知[m，n]的长度的最小值为4－1＝3.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

13.计算64e9c5d3c2cc449ac988aeb55a7bed4d.png÷100－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＝________.

【答案】－20

【解析】64e9c5d3c2cc449ac988aeb55a7bed4d.png÷100－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＝lg 68b319693b47a4c5e61e1ce88ebe5536.png÷100－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＝－2÷b5e70c706b96c149a60e596364edf656.png＝－20.

14．(2019年广西贵港期中)若α∈ee335bd5dfd77a3789f90232c7ccd6d2.png，则使幂函数y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为________．

【答案】3　

【解析】∵幂函数y＝xα是奇函数，∴α＝－1，1c8e4106457a61c77bb8da4f53f588bd.png，1,3.又∵幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α＝1c8e4106457a61c77bb8da4f53f588bd.png，1,3，即α值的个数为3.

15．函数y＝lg(4＋3x－x2)的单调增区间为________．

【答案】a2b5ee740b6a91fa39e4bcb3f76ccaf8.png　

【解析】函数y＝lg(4＋3x－x2)的增区间即为函数h(x)＝4＋3x－x2的增区间且4＋3x－x2>0，因此所求区间为0f2650119378a422a8170af5dfc88c0c.png.

16．(2019年吉林长春模拟)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式c3b0243acc42b530e43064be8c84dfc6.pngx＋c8f5858d185985d892020f4179d772e6.pngx－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则m的最大值为________．

【答案】dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.png　

【解析】把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得3f68b10a408499493693b4c59b26b83e.png结合a＞0，且a≠1，解得0a2bb6253f2ef5a0c835cc54fb3be749.png所以f(x)＝3·2x.要使1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pngx＋57dbf8c29482f4d7a6a1035834ec2363.pngx≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pngx＋57dbf8c29482f4d7a6a1035834ec2363.pngx在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．因为函数y＝1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pngx＋57dbf8c29482f4d7a6a1035834ec2363.pngx在(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pngx＋57dbf8c29482f4d7a6a1035834ec2363.pngx有最小值e949c55f12eb28c61c83145eb9847a32.png.所以只需m≤dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.png即可．所以m的最大值为dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.png.

三、解答题(本大题共6小题，满分70分)

17．(10分)已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(2－lg x)，求g(x)的定义域、值域．

【解析】(1)设f(x)＝xα，由题意可知25α＝5，∴α＝66cb1286d2ae3e9092235381221e59d2.png.∴f(x)＝xdf4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

(2)∵g(x)＝f(2－lg x)＝bffa296c39b31bc0b3fb3877d19ef813.png，∴要使g(x)有意义，只需2－lg x≥0，即lg x≤2，解得0＜x≤100.

∴g(x)的定义域为(0,100]．

又2－lg x≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞)．

18.(12分)(1)计算：2log32－log3c741e2a1e4c9921da4ab7b0cb79aa8da.png＋log38－52log53；

(2)已知x＝27，y＝64，化简并计算：

1ca021e85dc5e9221b3f0d48c9f96c1a.png97ca0c4c8db68792eb41e0d212d6bfc6.png1fac57b792d4d2466f1712cd7b975956.png70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png0d01cf60b75a4d8e5af83516d74d2ea1.pngdce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.pngb5a2bc4a8ef46f8b14eff212abffa085.pngb269344ed8fdf265df69781bd2c810a7.png.

【解析】(1)原式＝log34－log3c741e2a1e4c9921da4ab7b0cb79aa8da.png＋log38－52log53

＝log3688a4015fed677e900e50352f348af25.png－5log59

＝log39－9＝2－9＝－7.

(2)原式＝1ca021e85dc5e9221b3f0d48c9f96c1a.png97ca0c4c8db68792eb41e0d212d6bfc6.png1fac57b792d4d2466f1712cd7b975956.png70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png0d01cf60b75a4d8e5af83516d74d2ea1.pngdce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.pngb5a2bc4a8ef46f8b14eff212abffa085.pngb269344ed8fdf265df69781bd2c810a7.png

＝1ca021e85dc5e9221b3f0d48c9f96c1a.png97ca0c4c8db68792eb41e0d212d6bfc6.png1fac57b792d4d2466f1712cd7b975956.png3bc154eb7232a467815b7da75f4d6b3d.pngb5a2bc4a8ef46f8b14eff212abffa085.png＝24y62bcae3033f5286432a930f56efbe487.png.

又y＝64，∴原式＝24×(26)b269344ed8fdf265df69781bd2c810a7.png＝48.

19.(12分)已知函数f(x)＝fed7bbbd0ae7939498c1c5d92b5deac7.pngax，a为常数且函数的图象过点(－1,2).

(1)求a的值；

(2)若g(x)＝4－x－2且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.

【解析】(1)由已知，得fed7bbbd0ae7939498c1c5d92b5deac7.png－a＝2，解得a＝1.

(2)由(1)，知f(x)＝fed7bbbd0ae7939498c1c5d92b5deac7.pngx，又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pngx，即4c3fd1ed9fd250839aeda3882d3b5b07.pngx－1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pngx－2＝0，即41d5ac7a419381d5b09fd8678bfc30bb.png2－1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pngx－2＝0.

令fed7bbbd0ae7939498c1c5d92b5deac7.pngx＝t，则t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，又t>0，故t＝2，即1d271f32cf1e10c161c941ac74f5dc29.pngx＝2，解得x＝－1.

20.(12分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)(a＞0，a≠1).

(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求f(x)的最值；

(2)求不等式f(x)－g(x)＞0成立时x的取值范围.

【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝log2(1＋x)，

在[3,63]上为增函数，因此当x＝3时，f(x)最小值为2；

当x＝63时f(x)最大值为6.

(2)f(x)－g(x)＞0，即f(x)＞g(x).

当a＞1时，loga(1＋x)＞loga(1－x)，

满足1bf85c21cd6fac889706fc652fe6de10.png∴0＜x＜1.

当0＜a＜1时，loga(1＋x)＞loga(1－x)，

满足e4d149009396a7f98a6d17f027303c45.png∴－1<x＜0.

综上，a＞1时，x∈(0,1)；

0＜a＜1时，x∈(－1,0).

21.(12分)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1).

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.

【解析】(1)要使函数有意义，则有b5533d0d9a1a4dfdcc01f46933471c07.png

解得－3<x<1，

故f(x)的定义域为(－3,1).

(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]

＝loga(－x2－2x＋3)

＝loga[－(x＋1)2＋4].

∵－3<x<1，

∴0<－(x＋1)2＋4≤4.

∵0<a<1，

∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.

由loga4＝－2，得a－2＝4，

∴a＝4－0d01cf60b75a4d8e5af83516d74d2ea1.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

22．(12分)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.

(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．

【解析】(1)当a>0，b>0时，因为函数y＝a·2x和y＝b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；

当a<0，b<0时，因为函数y＝a·2x和y＝b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．

(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋1＋b·3x＋1－a·2x－b·3x＝a·2x＋2b·3x>0.

当a<0，b>0时，a56af1e7e528f50a4dd9a6d7b7363b3a.pngx>－870c5097a80372634327af6f2bcdee9d.png，

解得x>logad22ad9abadac44c29772f178b2c9323.pngbf8f1713a4c210f993d0dc9af6637a3d.png；

当a>0，b<0时，a56af1e7e528f50a4dd9a6d7b7363b3a.pngx<－870c5097a80372634327af6f2bcdee9d.png，

解得xad22ad9abadac44c29772f178b2c9323.pngbf8f1713a4c210f993d0dc9af6637a3d.png.