一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

例1、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为　　　。　

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知则的最小值是 .

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（）

A. B. C. D.

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

(A) (B) (C) (D)

五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例5已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

例６在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）(A) (B)4 (C) (D)2

七、研究线性规划中的整点最优解问题

例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

∙

∙

∙

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∙

∙

∙ 八、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为

（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；

（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。

1 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18

2 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。

3 解析：画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D;

4 解析：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图4所示）时有

5 解析：如图5作出可行域，由其表示为斜率为，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数（其中）仅在点处取得最大值。则直线过Ａ点且在直线（不含界线）之间。即则的取值范围为。

6 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：从而选Ｂ。

7 解析：如图７，作出可行域，由，它表示为斜率为，纵截距为的平行直线系,要使最得最大值。当直线通过取得最大值。因为，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，

8、解：⑴              ------------------2分  

当时，取值为1，2，3，…，共有个格点

当时，取值为1，2，3，…，共有个格点

∴-      ------------------4分

（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；

解：由

则

-------------------5分

当时，

当时，-------------------6分

∴时，

时，

时，

∴中的最大值为-------------------8分

要使对于一切的正整数恒成立，

只需

∴-------------------9分

（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。

解：--------------10分

将代入，化简得，（﹡）-------------------11分

若时，显然-------------------12分

若时     （﹡）式

化简为不可能成立-------------------13分  

综上，存在正整数使成立. - --------------14分