2016年各区二模《圆》汇总

1.（西城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB=∠BAE=45°．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若AB=AD，AC=，tan∠ADC=3，

求CD的长．

（1）证明：连接OA，OB，如图1．

∵∠ACB=45°，

∴∠AOB=2∠ACB= 90°．……………1分

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°．

∵∠BAE=45°，

∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°．

∴OA⊥AE．

∵点A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切线．………………………………………………………2分

（2）解：过点A作AF⊥CD于点F，如图2．

∵AB=AD，

∴ = ．

∴∠ACB=∠ACD=45°．…………………3分

∵AF⊥CD于点F，

∴∠AFC=∠AFD=90°．

∵AC=，

∴在Rt△AFC中，AF=CF=AC·sin∠ACF =2．……………………………4分

∵在Rt△AFD中，，

∴DF=．

∴CD= CF+DF=．…………………………………………………………5分

2.（通州）如图：ΔABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.

（1）求证：CD=CB；

（2）如果⊙O的半径为，求AC的长.

（1）证明：连结OB.

∵，∠ACB＝45°，

∴，………………… 1分；

∵OA=OB，

∴

∵∠AOC=150°，

∴

∵OC=OB，

∴△OCB是等边三角形，………………… 2分；

∴，

∴，

∵CD是⊙O的切线，

∴，

∴，

∴，

∴CD=CB.………………… 3分；

（2）解：过点B作BE⊥AC于点E，

∵△OCB是等边三角形，

∴，

∵∠ACB＝45°，

∴，………………… 4分；

∵，∠BOC＝60°，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，………………… 5分；

3. （昌平）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，.