有理数的概念

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初一，基础一般；

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，本节课我们要学习正负数、数轴、相反数、绝对值的概念；核心部分是相反数的概念、数轴和绝对值性质的运用。

知识梳理

讲解用时：20分钟

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课堂精讲精练

【例题1】

体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0

（1） 这8名男生有百分之几达到标准？

（2） 他们共做了多少引体向上？

【答案】（1）62.5%；（2）56个

【解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，

而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：word/media/image3_1.png；

答：这8名男生有62.5%达到标准.

（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）

答：他们共做了引体向上56个.

讲解用时：3分钟

解题思路：解题时要注意对正负数的意义准确理解

教学建议：一定要先引导学生弄清“基准”是什么.

难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019

【练习1.1】

中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（　　）

A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元

【答案】C

【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．

故选：C．

讲解用时：2分钟

解题思路：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

教学建议：解题关键是引导学生理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019

【例题2】

如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( )

A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4)

【答案】C

【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.

讲解用时：3分钟

解题思路：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．

教学建议：对学生强调数轴的三要素

难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019

【练习2.1】

填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．

【答案】±5； 5个.

【解析】画出数轴，即可观察出离原点5个单位长度的点表示的数是±5，同时可以数出-3与3之间的整数有5个

讲解用时：2分钟

解题思路：准确画出数轴，即可得出答案

教学建议：熟练掌握数轴的画法及数轴的三要素

难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019

【例题3】

如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D

【答案】A

【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，

∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A．故选A．

讲解用时：3分钟

解题思路：考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．

教学建议：引导学生观察总结互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等．

难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019

【练习3.1】

word/media/image4_1.png的相反数是（　　）

A．5 B．word/media/image5_1.png C．word/media/image4_1.png D.-5

【答案】B

【解析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案为B

讲解用时：3分钟

解题思路：解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.

教学建议：熟练掌握相反数的定义.

难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019

【例题4】

当a≠0时，请解答下列问题：

（1）求word/media/image6_1.png的值；

（2）若b≠0，且word/media/image7_1.png，求word/media/image8_1.png的值．

【答案】 （1）word/media/image9_1.png；（2）word/media/image10_1.png.

【解析】解：（1）当a＞0时，word/media/image6_1.png=1；

当a＜0时，word/media/image6_1.png=﹣1；

（2）∵word/media/image7_1.png，

∴a，b异号，

当a＞0，b＜0时，word/media/image8_1.png=﹣1；

当a＜0，b＞0时，word/media/image8_1.png=﹣1；

讲解用时：3分钟

解题思路：（1）利用绝对值的代数意义化简即可求出值；

（2）根据有理数的乘法法则和绝对值的代数意义化简即可求出值；

教学建议：利用绝对值的代数意义化简是解本题的关键．

难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019

【练习4.1】

计算：已知|x|=word/media/image11_1.png，|y|=word/media/image12_1.png，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．

【答案】﹣36．

【解析】解：∵|x|=word/media/image11_1.png，|y|=word/media/image12_1.png，且x＜y＜0，

∴x=﹣word/media/image11_1.png，y=﹣word/media/image12_1.png，

∴6÷（x﹣y）=6÷（﹣word/media/image11_1.png+word/media/image12_1.png）

=﹣36．

讲解用时：4分钟

解题思路：直接利用绝对值的性质结合有理数混合运算法则计算得出答案．

教学建议：利用绝对值的性质和有理数混合运算，正确得出x，y的值是解题关键．

难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019

【例题5】

如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a,b,c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．

【答案】2c

【解析】解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0，

因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．

∴原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c．

讲解用时：3分钟

解题思路：由数轴可知：c＞0，a＜b＜0，所以可知：a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．根据负数的绝对值是它的相反数可求值．

教学建议：此题主要是考查学生对数轴和绝对值的理解，要求学生要对这些概念性的东西牢固掌握．

难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019

【练习5.1】

已知|a﹣1|=9，|b+2|=6，且a+b＜0，求a﹣b的值．

【答案】0或﹣12．

【解析】解：∵|a﹣1|=9，|b+2|=6，

∴a=﹣8或10，b=﹣8或4，

∵a+b＜0，

∴a=﹣8，b=﹣8或4，

当a=﹣8，b=﹣8时，a﹣b=﹣8﹣（﹣8）=0，

当a=﹣8，b=4时，a﹣b=﹣8﹣4=﹣12．

综上所述，a﹣b的值为0或﹣12．

讲解用时：3分钟

解题思路：本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键．

教学建议：引导学生掌握绝对值的性质，熟记运算法则和性质并判断出a、b的对应情况是解题的关键．

难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019

【例题6】

有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　　0，a+b　　0，c﹣a　　0．

（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．

【答案】（1）＜，＜，＞；(2)﹣2b．

【解析】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，

所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；

故答案为：＜，＜，＞；

（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|

=（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）

=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a

=﹣2b．

讲解用时：3分钟

解题思路：（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；

（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．

教学建议：必须让学生熟记三种位置角的形状.

难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019

【练习6.1】

已知a、b、c都是负数，且2643b26cefa3d4cafe3582dd34c78978.png，则x + y + z______0．（填“>”、“<”、“=”）．

【答案】<

【解析】利用绝对值的非负性，可得出x=a，y=b，z=c，则x+y+z=a+b+c<0

讲解用时：4分钟

解题思路：本题考查了绝对值的性质，准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．

教学建议：利用绝对值的非负性去掉绝对值符号是解此题的关键．

难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019

【例题7】

已知：a=3，|b|=2，求（a+b）3的值．

【答案】125或1．

【解析】解：∵|b|=2，∴b=±2，

当b=2时，（a+b）3=（3+2）3=125；

当b=﹣2时，（a+b）3=（3﹣2）3=1，

综上所述，（a+b）3的值为125或1．

讲解用时：3分钟

解题思路：利用绝对值的代数意义求出b的值，代入原式计算即可求出值．

教学建议：熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．

难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019

【练习7.1】

数学实验室：

点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．

利用数形结合思想回答下列问题：

①数轴上表示2和5两点之间的距离是　　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　　．

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为　|　．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为　　．

③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值=　　．

④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|=5，则满足条件的所有整数x的是　　．

⑤若x表示一个有理数，当x为　　，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为　　．

若﹣1＜x＜4，化简|x+1|+|4﹣x|．

【答案】① 3，4；② |x+2|，|5﹣x|；③ 4；④ ﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；⑤ 3，7；

【解析】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）=4，

故答案为：3，4；

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|=|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5﹣x|，

故答案为：|x+2|，|5﹣x|；

③当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x﹣x﹣3=﹣2x﹣2，

当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x+x+3=4，

当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|=x﹣1+x+3=2x+2，

在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的距离之和，所以当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4，

故答案为：4；

④当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣2|=﹣x﹣3+2﹣x=﹣2x﹣1=5，

解得：x=﹣3，

此时不符合x＜﹣3，舍去；

当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+2﹣x=5，

此时x=﹣3或x=﹣2或0或1或2；

当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+x﹣2=2x+1=5，

解得：x=2，

此时不符合x＞2，舍去；

当x=0时，|x+3|+|x﹣2|=5；

当x=1时，|x+3|+|x﹣2|=5；

当x=﹣1时，|x+3|+|x﹣2|=5；

故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；

⑤∵设y=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|，

i、当x≥5时，y=x+2+x﹣3+x﹣5=3x﹣6，

∴当x=5时，y最小为：3x﹣6=3×5﹣6=9；

ii、当3≤x＜5时，y=x+2+x﹣3+5﹣x=x+4，

∴当x=3时，y最小为7；

iii、当﹣2≤x＜3时，y=x+2+3﹣x+5﹣x=10﹣x，

∴此时y最小接近7；

iiii、当x＜﹣2时，y=﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x=6﹣x，

∴此时y最小接近8；

∴y的最小值为7．

故答案为：3，7．

讲解用时：4分钟

解题思路：①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解；

④根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；

③首先将原式变形为y=|x﹣1|+|x+3|，然后分别从当x≥1时，当﹣3≤x＜1时，当x＜﹣3时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值；

④当x＜﹣3时，当﹣3≤x≤2时，当x＞2时，当x=﹣1，当x=1，当x=0去分析，根据一次函数的增减性，即可求得答案；

⑤当x≥5时，当3≤x＜5时，当﹣2≤x＜3时，当x＜﹣2时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值．

教学建议：本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想的运用．

难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019

课后作业

【作业1】

下列说法正确的是（　　）

A. 一个数的绝对值一定比0大

B. 一个数的相反数一定比它本身小

C. 绝对值等于它本身的数一定是正数

D. 最小的正整数是1

【答案】D

【解析】

A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；

B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；

C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；

D、最小的正整数是1，正确．

讲解用时：4分钟

难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2019

【作业2】

一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?

【答案】 108

【解析】小虫爬行的总路程为：

|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ．

小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ．

讲解用时：4分钟

难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2019

【作业3】

同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索：

（1）求|5﹣（﹣2）|=　　．

（2）若|x﹣3|=|x+1|，则x=　　．

【答案】 （1）7；（2）1.

【解析】解：（1）|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；

（2）由题意得：x﹣3+x+1=0，解得：x=1，故答案为：1；

讲解用时：5分钟

难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2019