绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．

答题前，考生务必用毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置．

参考公式：

样本数据1927b2a375f6a74cb4dcca9c2329684a.png的标准差

b52ec22c3622380c872e2bbcd69675a8.png其中90d79af00b1e8a4722f418bd2fa0a839.png为样本平均数

球的面积公式 588974957aabb8b4461773b5d5a99d9c.png

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.复数2d4642a0ba14bb5b615b4d5682b27699.png（865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png是虚数单位）的虚部是 (B )

A．bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png B．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png C．eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png D．c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png

2.已知e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png是实数集，b977eaeb11e208e1e0b423105effa810.png，则c72c130d3823cf018eac68bc464cf8c5.png( D)

A．369a154d5347e70114104fec91cf72fe.png B．93aba17dc450950057dc8fb6bbf4a8d8.png C.2a6f2e950fd897f315442448ca02a488.png D．c5168b295c366faf86f1fdc3e98436ea.png

3.现有d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png个数，其平均数是a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png，且这d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png个数的平方和是3644a684f98ea8fe223c713b77189a77.png，那么这个数组的标准差是(B)

A．c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png B．c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png C．eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png D．a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png

4.设44d853a7808a331d95220fcb38095649.png为等比数列word/media/image27.wmf的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和，e1e079cd75a9c26abb860449c7096054.png，则32fb6f7c7bca011e9de40245e93a0c88.png( A)

A．e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png B．c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png C．b64205af5451ef4a3f1de418d3579a0a.png D．15

5.已知函数b7f2941afa0f9d72762709314c45f05f.png，若存在00f08c9839470f7099fb8f6cb0606976.png，使得9d8f7197c35b4b1c84429dcc50737122.png恒成立，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值是(D)

A．81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png B．c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png C．cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png D．6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png

6.已知6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png、7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png表示直线，word/media/image44.wmf表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 ( B )

（1）word/media/image45.wmf

（2）word/media/image46.wmf

（3）a791c3db256f709e9c58b57595e90b5c.png则ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png∥dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png

（4）word/media/image50.wmf

A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4）

7.已知平面上不共线的四点5aa3fdd32763ebb903668c8f2a5bd677.png，若de4e3225b2254f55f903ba2e2c31f159.png等于(B)

A．c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png B．c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png C．eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png D．a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png

8.已知三角形75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的三边长成公差为c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png的等差数列，且最大角的正弦值为aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png，则这个三角形的周长是(D)

A．6f4922f45568161a8cdf4ad2299f6d23.png B．3c59dc048e8850243be8079a5c74d079.png C．1ff1de774005f8da13f42943881c655f.png D．9bf31c7ff062936a96d3c8bd1f8f2ff3.png

9.函数49fcf11d317cafcac7fefdb4d4fc43c0.png的零点所在的区间是(B)

A．4478b788e0fd93d3633b0dd86b1946a4.png B．6f293725d26b7722ca0ee165ca874b7b.png C．716f0e4707537b5034de7a0f66296a51.png D．da01b98eb9f741bcd2f480d4b3108316.png

10.过直线5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png上一点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png引圆c81c59583ac22b7854f10fa6d7129b08.png的切线，则切线长的最小值为(C)

A．a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png B． b8fecf2a25ddd5226c7451ea3287c0a9.png C．de21397dbdcfb678b979c3719d8cd026.png D．d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png

11.已知函数cc5557aac01dfa5246a82698e904b3cc.png.若b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png都是区间7d999da58883898c42c3f2a6babc59e2.png内的数，则使93382e3f7f2c869337564bbdb80d6106.png成立的概率是 (C)

A．9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png B．eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png C．0580caa35cb38096c461dc12b333d6da.png D．b4db34c6e0faeb02984817ff46438474.png

12.已知双曲线的标准方程为c8783276562fbd5336d0fbcbf93c1dda.png，800618943025315f869e4e1f09471012.png为其右焦点，147d59b004c6f99104e55e9e11059ea6.png是实轴的两端点，设44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png 为双曲线上不同于147d59b004c6f99104e55e9e11059ea6.png的任意一点，直线bf909ed5b44b04c1b3b4f62af34712f9.png与直线50a20ce04c291ac897290a4f2e3bc9e2.png分别交于两点c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png,若e2ff51bde5e564cda3b3ab35412a0f94.png,则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值为(B)

A．09ab8743a652f3ef0ea9c02772bfe183.png B．3d54dca1696bb6b154242be0cf7df28a.png C．3be270731d6454df128577b2e4051845.png D．cd6ae9332f8211a7c78d61aa0b009624.png

双曲线 x^2/9-y^2/16=1,右焦点F，A1(-3,0)，A2(3,0)设P(x,y) M (a,m),N(a,n)∵P,A1,M三点共线，∴m/(a+3)=y/(x+3)∴m=y(a+3)/(x+3)∵P,A2,N三点共线，∴n/(a-3)=y/(x-3)∴n=y(a-3)/(x-3)∵x^2/9-y^2/16=1∴(x^2-9)/9=y^2/16∴y^2/(x^2-9)=16/9FM向量=(a-5,y(a+3)/(x+3))FN向量=(a-5,y(a-3)/(x-3))FM向量*FN向量=(a-5)^2+y^2(a^2-9)/(x^2-9)=(a-5)^2+16(a^2-9)/9∵FM向量*FN向量=0∴(a-5)^2+16(a^2-9)/9=0 25a^2-90a+81=0∴a=9/5

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1． 请用毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．

2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．

3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.如图所示的程序框图输出的结果为____c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png______.

14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_29603af387d74f472a6d6779c6340ff9.png _________.

如图。F,H是上下底的中心，O是FH中点。则：

AB＝2 AE＝√3, AF＝2√3/3 OF＝1/2

OA＝√﹙AF2+OF2﹚＝√﹙19/12﹚

球的表面积＝4π﹙19/12﹚＝19π/3≈﹙面积单位﹚

向左转|向右转

15.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为daaa37b45ab786f291616384a629f333.png．2011年3月11日，日本东海岸发生了级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 506f67f4f739781f7ba0a9351465a802.png 倍．

16.给出下列命题：

①已知da96751d26197e2e07b3895201c3a30f.png都是正数，且f96569932cb6f6120a1cce5f50f0c242.png，则1a382af93ed4b8a29ebd8e859a0168d7.png；

②已知d267392b36cc3ca35802359790ea76e6.png是50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的导函数，若cf6f4ee671bb3794608654c3b1932fed.png，则36552150716a93c92dcd78876ddfc3a2.png一定成立；

③命题“2a7add23d1f51f412501f8fbb082aa01.png，使得41cc65b80c2f19ff0c228cb4a94c6848.png”的否定是真命题；

④“b1c6ee8aa7cd1560408a6df766414955.png”是“249b4dad343074a4839c5dbefa75cc1d.png”的充要条件.

其中正确命题的序号是 ①③ .(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知向量3e653ca0c47eb09f028570836f6b199d.png共线，且有函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png．

（Ⅰ）若546e912f7f43b2233ac97a4ecf33883e.png，求a06c1bcfb065e06e8d6455ed69cd3733.png的值；

（Ⅱ）在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，角ce04be1226e56f48da55b6c130d45b94.png,的对边分别是64f47382e7ddc46583bf6d2abedf4140.png，且满足f206f76cf1994aad6458751a7b7780d5.png，求函数d4918588ec1942038a81385506ec2643.png的取值范围.

解：（Ⅰ）∵e8c34922493d9854b9f37ac5f3707bce.png与a87c4f4feb58199b4ad1153df966d3c6.png共线

∴09565e0c218d0c531f35e802a7f1e136.png

a4601e0f62ebc37ed837e52cbba0fe26.png…………3分

∴335cba2c920a8aeaa7e800a4115722c9.png，即cbb2a2324068093fbca0472795abce74.png …………………………………………4分

6721b63e199da4200500577543fe5880.png

…………………………………………6分

（Ⅱ）已知f206f76cf1994aad6458751a7b7780d5.png

由正弦定理得：

6a01166c3e39eed4044ad67b65a0a208.png

∴f330e62cb02d914ffe95a3503820d91a.png，∴在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中 ∠d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png …………………………………………8分

18e798a875f913a896cdbb98cb4a389c.png

∵∠d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png ∴b7358bdee0db53e31102e71b88c52492.png,add8ef9bc14073f18a398c1083087090.png …………………………………………10分

∴e79c31a5d46ec1984bb23a43cd370693.png,e87ae07b80316e537bab356c81f31459.png

∴函数d4918588ec1942038a81385506ec2643.png的取值范围为864fa4b9e13a9ed13e819f975c4f1314.png …………………………………………12

18．（本小题满分12分）

已知等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，公差33db0c34fe3e70a2ef89e842e147183d.png40ea5b17a53e7e1fce2bc45b7dffe660.png成等比数列．

（Ⅰ）求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；

（Ⅱ）设dfe38c559ec92e4673a086a38ddcfb47.png是首项为1，公比为3的等比数列，求数列word/media/image147.wmf的前word/media/image148.wmf项和word/media/image149.wmf.

解：（Ⅰ）依题意得

c009a8dfd9fa586c97fd54744161826c.png …………………………………………2分

解得957af8887938e42756eb2da03799c823.png， …………………………………………4分

c1f59e543b86269c19b8983b89cb315a.png．……………………………6分

(Ⅱ)16085910d0a656f77466aca0fe79c5ab.png，4e4fdcb0ead7bdda7ba49e1ed9f11917.png …………………………………………7分

ad2c33160705427bf31f32add06e5207.png

bbdff669061eff1e775e01fa81bee450.png……………………9分

cdc9999e5290b96a5503333baae8e12c.png

47d9c42a26454a981245ba6ae71bbea1.png

∴474a12659e2d6e2607b2865bf98b9b5a.png …………………………………………12分

19.（本小题满分12分）

已知四棱锥ad00236f34eda060495c3a7e9b67510c.png，其中b18ad5acc1a2a69085a538f2508b7638.png，6b5a8b885a1af392fbc89b1830d55f20.png，6638f4c61b2dba94176283c9cfa144cd.png，d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png∥4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png，800618943025315f869e4e1f09471012.png为e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png的中点.

（Ⅰ）求证：2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png∥面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png；

（Ⅱ）求证：面50494e2fb89283b644df574b1521ab07.png；

（III）求四棱锥ad00236f34eda060495c3a7e9b67510c.png的体积.

解：（Ⅰ）取AC中点G,连结FG、BG，

∵F,G分别是AD,AC的中点

∴FG∥CD,且FG=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngDC=1 ．

∵BE∥CD ∴FG与BE平行且相等

∴EF∥BG． ……………………………2分

2350f45d695549df15eb5da5f3e6ac4c.png

∴2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png∥面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png ……………………………4分

（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形 ∴BG⊥AC

又∵DC⊥面ABC,BGc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png面ABC ∴DC⊥BG

∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC，

∴BG⊥面ADC ． …………………………………………6分

∵EF∥BG

∴EF⊥面ADC

∵EFc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png面ADE，∴面ADE⊥面ADC ． …………………………………………8分

（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC ．

83cbff60c4b38bf9753378457d64b085.png．………………………12分

另法：取f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的中点为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，连结2c64c5cf613d8b9f4f7f3980d29aca10.png，则5a4b1370c6f1eb569397b2878240da8f.png，又6242647c927a3cb6baa03d35a80b5b8e.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png,

∴c670ac33d675a71a5d1c0452e787c348.png , ∴08669097c73fabe72cfda4500bde7f5d.png平面e49bf34eb36b4b352f051e6625653715.png，∴2c64c5cf613d8b9f4f7f3980d29aca10.png为4616b2a5fa68b9cf527c9ca84d230512.png的高，54a8cd3817cd27f041fa1a532ff942a4.png．

20.（本小题满分12分）

在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png与腐蚀时间9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png之间对应的一组数据：

现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；

（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得415290769594460e2e485922904f345d.png关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的线性回归方程1be8f72ef08627570e145320ab263015.png，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．

解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A包含的基本事件有10种． …………………………………………3分

所以067e30b4c0d48daf046fc88c26b97090.png．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png． ………………………6分

(Ⅱ) 当285a5d1baf1b7b84552a0ab4104041b8.png时，fa8ebc58d4183bee80954fbecd20305c.png ……………………………………9分

当29753ee201445374d4c4cfd02b9a7494.png时，18f2af397cedeb3aa7259c9a647ad3e6.png

所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分

21.（本小题满分12分）

已知函数23848dc58e03079180ad86e463d17408.png在点537dba22f395f85d3505b378e0fb066e.png的切线方程为70bb459bdcd51c23a3f539fa165c6b86.png.

（Ⅰ）求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的解析式；

（Ⅱ）设ba458616b41fc773a1e79d75ea7b9038.png，求证：79c0b55d5630b681464b76116c984721.png在e8cc2b597df6e98b5a6763e2ee894acc.png上恒成立.

解：（Ⅰ）将e28b7964a01e56385d1d9fa4da54388c.png代入切线方程得618dce02d801dd7a398b305f3625e879.png

∴fd40f60fb10889fa74f30c7439870226.png，化简得9ea7c75c2633de59e1a568cd3d45d03c.png． …………………………………………2分

64e01281bfb64f4019fdd5dc6475d4fd.png

e5be2a7e4d60fdb6191259f9262821f6.png ． …………………………………………4分

解得：c74fb1c48a1fc36790c169e9ca8b8dab.png

∴345995cc07da24176d7bd46fba42e555.png ． …………………………………………6分

（Ⅱ）由已知得d7cd8ee66974fb7ac5084eb214e26f0b.png在e2d902a9042923c98895938662785215.png上恒成立

化简得853393b1a21577733b368eefa6d6d421.png

即8f03520fd250575314642e07a0a65cb8.png在e2d902a9042923c98895938662785215.png上恒成立 ． …………………………………………8分

设469165aec02317284fe84151ea4122e8.png，

d05144033f29dc615cee2705acebcde1.png

∵e3f7f32051ade969e770ab04b5a4853b.png ∴dd2a688cddaae52a7e868fb4bae058c4.png，即48532785fb225a7014b2498879f0104c.png． …………………………………………10分

∴ca8e608169b20a94570ac837e8ba0833.png在e2d902a9042923c98895938662785215.png上单调递增，582169b50a39415d61e36a9d25fc82cd.png

∴79c0b55d5630b681464b76116c984721.png在e8cc2b597df6e98b5a6763e2ee894acc.png上恒成立 ． …………………………………………12分

22.（本小题满分14分）

实轴长为9f525fcad8e41db98394ae9281e4da10.png的椭圆的中心在原点，其焦点28685bef8286342c9f57a07854c5858c.png在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上.抛物线的顶点在原点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，对称轴为415290769594460e2e485922904f345d.png轴，两曲线在第一象限内相交于点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png,且06ba0818bca09ade7e4d2a6ca386ffb4.png，△ff35db270733ff888424877ee32b1227.png的面积为eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png.

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png作直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png分别与抛物线和椭圆交于4b9bca0a86aa323765b1ca6e05d18856.png,若fff8911866c078686d34b1b720fe7525.png,求直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png.

解（1）设椭圆方程为b2ece89a66a524aa19eac840d510f0ef.png，fda2302af273a5344ed5492891f05b34.png

由题意知0e8894dfed2760e407f419bbf5e970c4.png …………………………………………2分

解得92fb6ec17a1b16089f821ee750e373b4.png，∴7ed3b1715ca94eb2f5198f6a3bb50f29.png．

∴椭圆的方程为a3eff7bd7070f656f1a4d4fcda6c67c7.png …………………………………………4分

∵083f5046fc7a1177ba2598b5ce9268fd.png，∴1a0ee4ccc2a7e2909ff1727645562841.png,代入椭圆的方程得465cecbde890d9f9b3a354efc14900e3.png，

将点A坐标代入得抛物线方程为d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pnge8313ff6045a77ddac5e5f5dff83f655.png． …………………………………………6分

（2）设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为da951d171319b34ec841a7e59008880d.png，f4ca47d152ad4dac9e1be9523fbb9bce.png

由fff8911866c078686d34b1b720fe7525.png 得0974dda5836613d508cc99a30a6ac617.png，

化简得2d92bca6fddb8585cb2bd71fab7e62ca.png …………………………………………8分

联立直线与抛物线的方程29f18a4df71f097016c869a9b17922e9.png，

得dbc4f88ce0542d3fd94335b08bac73c7.png

∴8f32aa81f51b17f88acad7aef9c48246.png① …………………………………………10分

联立直线与椭圆的方程0b6cea29d521eef437c5bdf54a15acf7.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

得e81aacafc66df15b39f51883ddec04e9.png

∴c329f4975ee7e6013b63f2619cc84fe2.png② …………………………………………12分

∴2a64e1a25715a2fe57df7330605c7695.png

整理得：b7c0215a513bd63e416ddeb0589ffaae.png

∴ebe4536d501e56659d69342050913305.png ，所以直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率为4d8d7ba05e6c70bedca6ca67b56e1543.png ． …………………………………………14分