2019年高中数学 第6课时 柱体、锥体、台体的表面积与体积综合刷题增分练 新人教A版必修2

1.掌握柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．

2．会利用柱体、锥体、台体的表面积公式解决一些简单的实际问题．

3．掌握柱体、锥体、台体的体积的计算公式．

4．会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题．

1．棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形．

圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆台的侧面展开图是一个扇环．

2．如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么它的表面积S＝2πr(r＋l)．

如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么它的表面积S＝πr(r＋l)．

如果圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，那么它的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．

3．柱体体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高)．

锥体体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高)．

台体体积公式：V＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)．

一、选择题(每个5分，共30分)

1．若正方体的表面积为72 cm2，则它的对角线长为(　　)

A．2 cm　　　B．12 cm

C. cm D．6 cm

答案：D

解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝72，所以a＝2，所以正方体的对角线长为×2＝6 cm.

2．各棱长均为2的正三棱锥的表面积是(　　)

A. B．4

C．4 D．16

答案：C

解析：每个面的面积为×2×2×＝，∴该正三棱锥的表面积为4.

3．已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，则该圆柱的体积为(　　)

A.或 B.

C. D.或

答案：A

解析：设圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，则当l＝2a时，2πr＝a，∴r＝，这时V圆柱＝2a·π2＝；当l＝a时，2πr＝2a，∴r＝，这时V圆柱＝a·π2＝.综上，该圆柱的体积为或.

4．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为(　　)

A.π B.π

C.π D.π

答案：C

解析：圆锥的底面圆的周长为×2π×1＝π，设底面圆的半径为r，则有2πr＝π，所以r＝，于是圆锥的高h＝＝，故圆锥的体积V＝×π×2×＝π.

5．若圆台的高是4，母线长为5，侧面积是45π，则圆台的体积是(　　)

A．252π B．84π

C．150π D．102π

答案：B

解析：45π＝(c＋c′)l＝π(r＋r′)·5，

故r＋r′＝9.

(r－r′)2＋42＝52，r－r′＝3.

所以r＝6，r′＝3，V＝π·4×(62＋6×3＋32)＝84π.

6．设三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P，Q分别为侧棱AA1，CC1的中点，则四棱锥B－APQC的体积为(　　)

A. B.

C. D.

答案：C

解析：由P，Q分别为侧棱AA1，CC1的中点，则VB－APQC＝2VB－AQC＝2VQ－ABC＝2×S△ABC·QC＝2×S△ABC·CC1＝S△ABC·CC1＝V，故选C.

二、填空题(每个5分，共15分)

7．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于________．

答案：3π

解析：由圆台的正视图可知该圆台的上底面半径r＝1，下底面半径R＝2，高为2，则母线长为l＝＝，故侧面积为S＝π(rl＋Rl)＝π(1＋2)×＝3π.

8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是__________．

答案：54

解析：由题意知r ：R＝1 ：3，r，R分别为上，下底面的半径，故(V－52) ：V＝1 ：27，解出V＝54.

9．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，AB＝2，沿图中虚线将该正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是________．

答案：

解析：折叠起来后，B，C，D三点重合，设为点S，则围成的三棱锥为S－AEF，其中，SA⊥SE，SA⊥SF，SE⊥SF，且SA＝2，SE＝SF＝1，如图，所以此三棱锥的体积V＝××1×1×2＝.

三、解答题

10．(12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．

解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的半径为r，则

πl2＝3π，l＝3，×3＝2πr，r＝1；

S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，

V＝Sh＝×π×12×2＝π.

11．(13分)已知四棱锥P－ABCD的直观图及三视图如图所示，求该四棱锥的体积．

解析：由该四棱锥的三视图，可知该四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，

∴VP－ABCD＝S四边形ABCD·PC＝.

12．(5分)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为(　　)

A．48＋12 B．48＋24

C．36＋12 D．36＋24

答案：A

解析：

如图所示三棱锥．AO⊥底面BCD，O点为BD的中点，BC＝CD＝6，

BC⊥CD，AO＝4，AB＝AD.

S△BCD＝×6×6＝18.

S△ABD＝×6×4＝12.

取CD中点E.连接AE、OE.

可得AO⊥OE，

AE＝＝＝5.

∴S△ACD＝S△ABC＝×6×5＝15.

∴S全＝18＋12＋15＋15＝48＋12.

13．(15分)某几何体的三视图如图所示．

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积．

解：(1)这个几何体的直观图如图所示．

(2)这个几何体可看成是正方体ABCD－A1B1C1D1和直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．

由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.

故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4，

所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10.