课时训练(十四)　二次函数的实际应用

(限时:60分钟)

|夯实基础|

1.为切实提高农民的收入,某地把大片经济作物田地改种反季节蔬菜,若反季节蔬菜的价格y(元/千克)与出售的月份x(月)满足关系式y=22417f146ced89939510e270d4201b28.pngx2-e9d9ba6eedfb1ad2008aa2ee4e6be506.pngx+61e3672e03d52eb6e687c9f01cf13f7d.png,则10月份的蔬菜价格为 (　　)

A.7元/千克 B.35元/千克

C.0d4b1d27f4facff1a1a6624d134b215c.png元/千克 D.61e3672e03d52eb6e687c9f01cf13f7d.png元/千克

2.[2019·山西] 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图K14-1所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为 (　　)

图K14-1

A.y=23fae4bcef84297df145dc613306a25a.pngx2 B.y=-23fae4bcef84297df145dc613306a25a.pngx2

C.y=1445366715798880af9097fffee0d9e0.pngx2 D.y=-1445366715798880af9097fffee0d9e0.pngx2

3.[2019·临沂]从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图K14-2所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是 (　　)

图K14-2

A.①④ B.①② C.②③④ D.②③

4.[2018·芜湖繁昌一模] 某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品,每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y=-4x+440,要获得最大利润,该商品的售价应定为 (　　)

A.60元 B.70元 C.80元 D.90元

5.[2019·温州一模]图K14-3①是一款优雅且稳定的抛物线形落地灯,防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.86米,最高点C距灯柱的水平距离为1.6米,灯柱AB及支架的相关数据如图②所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几中心到灯柱的距离AE为　　　　米. 

图K14-3

6.[2018·沈阳] 如图K14-4,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB=　　　　m时,矩形土地ABCD的面积最大. 

图K14-4

7.[2019·青岛] 某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图K14-5所示.

(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式.

(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?

(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?

图K14-5

8.[2019·合肥庐阳区校级一模]庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲,乙两种T恤共400件,其每件的售价与进货量m(件)之间的关系及成本如下表所示:

(1)当甲种T恤进货250件时,求两种T恤全部售完的利润是多少元;

(2)若所有的T恤都能售完,求该店获得的总利润y(元)与乙种T恤的进货量x(件)之间的函数关系式;

(3)在(2)的条件下,已知两种T恤进货量都不低于100件,且所进的T恤全部售完,该商店如何安排进货才能获得利润最大?

9.如图K14-6,安徽农村新建楼房较多采用这种式样的进户大门,大门上方矩形ABCD内安装五块固定的玻璃,玻璃之间用和门框相同的材料隔开,某扇大门采用12米彩铝(图中实线)制成,AD=4AB,设AB为x米,整个大门矩形ADFE的面积为S米2.

(1)求S与x之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);

(2)当AB=0.6米时,求大门的面积;

(3)该大门的最大面积是多少?

图K14-6

10.[2018·黔西南州] 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图K14-7①所示,成本y2与销售月份x之间关系如图②所示(图①的图象是线段,图②的图象是抛物线).

(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低,此时出售每千克的收益是多少元?(收益=售价-成本)

(2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?简单说明理由.

(3)已知市场部销售该种蔬菜4,5两个月的总收益为22万元,且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克,求4,5两个月的销售量分别是多少万千克?

图K14-7

|拓展提升|

11.[2019·青岛崂山区二模] 某公园要修建一个截面为抛物线形的拱门,其最大高度为4.5 m,宽度OP为6 m,现以地面(OP所在的直线)为x轴建立如图K14-8①所示的平面直角坐标系.

(1)求这条抛物线的函数表达式.

(2)如图所示,公园想在抛物线拱门距地面3 m处钉两个钉子以便拉一条横幅,请计算该横幅的长度为多少米?

(3)为修建该拱门,施工队需搭建一个矩形“支架”ABCD(由四根木杆AB-BC-CD-DA组成),使B,C两点在抛物线上,A,D两点在地面OP上(如图②所示).请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆?

图K14-8

12.[2019·嘉兴] 某农作物的生长率p与温度t(℃)有如下关系:如图K14-9①,当10≤t≤25时可近似用函数p=91c4c3fec1c279ec7aefb6a381d78f0b.pngt-22417f146ced89939510e270d4201b28.png刻画;当25≤t≤37时可近似用函数p=-ec1f73ac306bc19c3d94888dfd78d80e.png(t-h)2+0.4刻画.

(1)求h的值.

(2)按照经验,该作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系:

①请运用已学的知识,求m关于p的函数表达式;

②请用含t的代数式表示m.

(3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度.在(2)的条件下,原计划大棚恒温20℃时,每天的成本为200元,该作物30天后上市时,根据市场调查:每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本w(元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图②.问提前上市多少天时增加的利润最大?并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用).

①

②

图K14-9

【参考答案】

1.C　[解析] 当x=10时,y=22417f146ced89939510e270d4201b28.pngx2-e9d9ba6eedfb1ad2008aa2ee4e6be506.pngx+61e3672e03d52eb6e687c9f01cf13f7d.png=22417f146ced89939510e270d4201b28.png×102-e9d9ba6eedfb1ad2008aa2ee4e6be506.png×10+61e3672e03d52eb6e687c9f01cf13f7d.png=0d4b1d27f4facff1a1a6624d134b215c.png.

2.B　[解析]设二次函数的表达式为y=ax2,由题可知,点A的坐标为(-45,-78),代入表达式可得:-78=a×(-45)2,解得a=-23fae4bcef84297df145dc613306a25a.png,∴二次函数的表达式为y=-23fae4bcef84297df145dc613306a25a.pngx2,故选B.

3.D　[解析]由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m.故①错误;小球抛出3秒后,速度越来越快.故②正确;小球抛出3秒时达到最高点,即速度为0.故③正确;设函数解析式为:h=a(t-3)2+40,把O(0,0)代入,得0=a(0-3)2+40,解得a=-80b1555b02576c6297a93883e3dc35bf.png,∴函数解析式为h=-80b1555b02576c6297a93883e3dc35bf.png(t-3)2+40,把h=30代入解析式得,30=-80b1555b02576c6297a93883e3dc35bf.png(t-3)2+40,解得:t=4.5或t=1.5,

∴小球的高度h=30 m时,t=1.5 s或t=4.5 s,故④错误.故选D.

4.C　[解析]设销售该商品每月所获总利润为w,则w=(x-50)(-4x+440)=-4x2+640x-22000=-4(x-80)2+3600,∴当x=80时,w取得最大值,最大值为3600,即售价为80元/件时,销售该商品所获利润最大.

5.2.88　[解析]在题图②所示平面内,以点A为坐标原点,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系,设抛物线解析式为y=a(x-1.6)2+2.5.

把x=0,y=1.5代入上式,

得1.5=a(0-1.6)2+2.5.解得a=-b63950a40f146dc30675224ae700b23f.png.

∴y=-b63950a40f146dc30675224ae700b23f.png(x-1.6)2+2.5.

∵DE的高为1.86米,

∴令y=1.86,得-b63950a40f146dc30675224ae700b23f.png(x-1.6)2+2.5=1.86.

解得x=2.88或x=0.32(舍去).故答案为2.88.

6.150　[解析]设AB=x m,矩形土地ABCD的面积为y m2,

由题意得y=x·0f843d038d8c7da619ed1ed314c2d2da.png=-bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png(x-150)2+33750,∵-bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png<0,∴该函数图象开口向下,当x=150时,该函数有最大值.即AB=150 m时,矩形土地ABCD的面积最大.

7.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,

将(30,100),(45,70)代入一次函数表达式得:dc03f0844bb4b066e6da1a7d400b78ce.png解得:0eecf9c5ef25619bd31e6dbb5b47b52c.png

故函数的表达式为y=-2x+160.

(2)由题意得:w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1250,

∵-2<0,故当x<55时,w随x的增大而增大,而30≤x≤50,

∴当x=50时,w有最大值,此时,w=1200,

故销售单价定为50元时,才能使销售该商品每天的利润最大,最大利润是1200元.

(3)由题意得:(x-30)(-2x+160)≥800,

解得:40≤x≤70,

∴每天的销售量y=-2x+160≥20,

∴每天的销售量最少应为20件.

8.解:(1)当甲种T恤进货250件时,乙种T恤进货150件,

根据题意知,两种T恤全部售完的利润是

(-0.1×250+100-50)×250+(-0.2×150+120-60)×150=10750(元).

(2)当0200时,

y=(-0.2x+120-60)x+[-0.1(400-x)+100-50]×(400-x)=-0.3x2+90x+4000;

当200≤x≤400时,

y=b3add495b35415e1e36e5a04bc9bccca.png+50-60x+[-0.1(400-x)+100-50]×(400-x)=-0.1x2+20x+10000.

(3)若100≤x<200,则y=-0.3x2+90x+4000=-0.3(x-150)2+10750,

当x=150时,y的最大值为10750;

若200≤x≤300,则y=-0.1x2+20x+10000=-0.1(x-100)2+11000,

∵x>100时,y随x的增大而减小,

∴当x=200时,y取得最大值,最大值为10000元.

综上,当购进甲种T恤250件,乙种T恤150件时,才能使获得的利润最大.

9.解:(1)由题意知:大门宽AD=4x米,高度为:14a5e91090682c290972a07799193487.png=(6-6x)米,

∴S与x之间的函数关系式为S=4x(6-6x)=-24x2+24x.

(2)当x=0.6时,S=-24×0.62+24×0.6=5.76.

答:当AB=0.6米时,大门的面积为5.76米2.

(3)S=-24(x2-x)=-24(x-0.5)2+6,

∵a=-24<0,∴当x=0.5时,S最大值=6.

答:大门的最大面积为6米2.

10.解:(1)当x=6时,y1=3,y2=1,

∵y1-y2=3-1=2,∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元.

(2)设y1=mx+n,y2=a(x-6)2+1.

将(3,5),(6,3)代入y1=mx+n,得b610d4b5bb5289ea290df938302b021c.png

解得d78a5498a4eb6b58200b560df7614f67.png∴y1=-6ca8c824c79dbb80005f071431350618.pngx+7;

将(3,4)代入y2=a(x-6)2+1,得4=a(3-6)2+1,

解得:a=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png,∴y2=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png(x-6)2+1=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngx2-4x+13.

∴y1-y2=-6ca8c824c79dbb80005f071431350618.pngx+7-7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngx2-4x+13=-7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngx2+bb36f7cbf0eb980f15e0b337ce132ebb.pngx-6=-7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png(x-5)2+7e6637bf7cde959dea470d81807c937e.png.∵-7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png<0,∴当x=5时,y1-y2取最大值,最大值为7e6637bf7cde959dea470d81807c937e.png,

即5月份出售这种蔬菜,每千克的收益最大.

(3)4月份每千克的收益为y1-y2=-7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngx2+bb36f7cbf0eb980f15e0b337ce132ebb.pngx-6=2.

5月份每千克的收益为y1-y2=-7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngx2+bb36f7cbf0eb980f15e0b337ce132ebb.pngx-6=7e6637bf7cde959dea470d81807c937e.png.

设4月份的销售量为t万千克,则5月份的销售量为(t+2)万千克,

根据题意得:2t+7e6637bf7cde959dea470d81807c937e.png(t+2)=22,解得:t=4,∴t+2=6.

答:4月份的销售量为4万千克,5月份的销售量为6万千克.

11.解:(1)由题意知抛物线的顶点坐标为(3,4.5),

设抛物线的表达式为y=a(x-3)2+4.5,

∵抛物线上有一点(6,0),∴0=9a+4.5,∴a=-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png,

∴抛物线的表达式为y=-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png(x-3)2+4.5,即y=-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngx2+3x(0≤x≤6).

(2)当y=3时,-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngx2+3x=3,解得x1=3-91a24814efa2661939c57367281c819c.png,x2=3+91a24814efa2661939c57367281c819c.png,

∴该横幅的长度为(3+91a24814efa2661939c57367281c819c.png)-(3-91a24814efa2661939c57367281c819c.png)=291a24814efa2661939c57367281c819c.png(m),

答:该横幅的长度为291a24814efa2661939c57367281c819c.pngm.

(3)设Bx,-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngx2+3x,

∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC=-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngx2+3x,

根据抛物线的对称性,可得:OA=DP=x,

∴AD=6-2x,即BC=6-2x,

∴令L=AB+BC+CD+AD=2-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngx2+3x+2(6-2x)=-(x-1)2+13.

∴当x=1时,L取得最大值,最大值为13,

∴AB,BC,CD,AD长度之和的最大值为13 m,

答:最多需要准备13 m该种木杆.

12.解:(1)把(25,0.3)代入p=-ec1f73ac306bc19c3d94888dfd78d80e.png(t-h)2+0.4,得h=29或h=21.

∵h>25,∴h=29.

(2)①由表格可知m是p的一次函数,

∴m=100p-20.

②当10≤t≤25时,p=91c4c3fec1c279ec7aefb6a381d78f0b.pngt-22417f146ced89939510e270d4201b28.png,

∴m=10091c4c3fec1c279ec7aefb6a381d78f0b.pngt-22417f146ced89939510e270d4201b28.png-20=2t-40.

当25≤t≤37时,p=-ec1f73ac306bc19c3d94888dfd78d80e.png(t-29)2+0.4.

∴m=100-ec1f73ac306bc19c3d94888dfd78d80e.png(t-29)2+0.4-20=-b4db34c6e0faeb02984817ff46438474.png(t-29)2+20.

(3)①当20≤t≤25时,由(20,200),(25,300),得w=20t-200,∴增加利润为600m+[200×30-w(30-m)]=40t2-600t-4000.

∴当t=25时,增加利润的最大值为6000元.

②当25≤t≤37时,w=300.

增加利润为600m+[200×30-w(30-m)]=900×-b4db34c6e0faeb02984817ff46438474.png·(t-29)2+15000=-49edea2a607d3792abb91148ca4f901a.png(t-29)2+15000,

∴当t=29时,增加利润的最大值为15000元.

综上所述,当t=29时,提前上市20天,增加利润的最大值为15000元.