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    (word完整版)高中数学不等式知识点总结,推荐文档

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    弹性学制数学讲义不等式（4课时）
    ★知识梳理
    1、不等式的基本性质①（对称性）abba②（传递性）ab,bcac③（可加性）abacbc
    （同向可加性）ab,cdacbd（异向可减性）ab,cdacbd④（可积性）ab,c0acbc
    ab,c0acbc
    ⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd
    （异向正数可除性）
    ab0,0cd
    abcd
    nn
    ab0ab(nN,且n1⑥（平方法则）
    nn
    ⑦（开方法则）ab0ab(nN,且n1
    ab0
    ⑧（倒数法则）2、几个重要不等式
    1111;ab0abab
    a2b2
    ab.a2b22aba，bR2①（,当且仅当ab时取""号）.变形公式：
    ab
    aba，bR
    ②（基本不等式）2,（当且仅当ab时取到等号）.
    ab
    ab.
    2变形公式：ab2ab
    用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
    2

    三相等”.
    abc3
    abc
    (a、b、cR（当且仅当3③（三个正数的算术—几何平均不等式）
    abc时取到等号）.
    ④
    a2b2c2abbccaa，bR

    （当且仅当abc时取到等号）.
    333
    abc3abc(a0,b0,c0⑤
    （当且仅当abc时取到等号）.
    ba若ab0,则2
    ab⑥（当仅当a=b时取等号）ba
    若ab0,则2
    ab（当仅当a=b时取等号）
    bbmana
    1
    bnb，⑦aam（其中ab0，m0，n0
    规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧
    当a0时，xax2a2xa或xa;

    xax2a2axa.
    ⑨绝对值三角不等式
    3、几个著名不等式


    ababab.
    2aba2b2
    ab11
    （a,bRab22①平均不等式：，，当且仅当ab时取
    ""号）.
    （即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
    变形公式：

    222
    abab(ab22
    ab;ab.
    222
    2
    ②幂平均不等式：
    1
    a12a22...an2(a1a2...an2.
    n
    ③二维形式的三角不等式：
    x12y12x22y22(x1x22(y1y22(x1,y1,x2,y2R.
    ④二维形式的柯西不等式：

    22222
    (ab(cd(acbd(a,b,c,dR.当且仅当adbc时，等号成立.
    ⑤三维形式的柯西不等式：
    (a12a22a32(b12b22b32(a1b1a2b2a3b32.
    ⑥一般形式的柯西不等式：

    (a12a22...an2(b12b22...bn2(a1b1a2b2...anbn2.
    ⑦向量形式的柯西不等式：

    ururururururururur
    ,
    设,是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数k，使k
    时，等号成立.
    ⑧排序不等式（排序原理）：设
    a1a2...an,b1b2...bn
    为两组实数.
    c1,c2,...,cn
    是
    b1,b2,...,bn
    的任一排列，则
    a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.
    （反序和乱序和
    aa2...anb1b2...bn顺序和），当且仅当1或时，反序和等于顺序和.
    ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
    若定义在某区间上的函数f(x,对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2,有
    f(
    x1x2f(x1f(x2
    或22
    f(
    x1x2f(x1f(x2
    .22则称f(x为凸（或凹）函数.
    4、不等式证明的几种常用方法
    常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
    其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：

    131(a2(a2;
    242①舍去或加上一些项，如
    ②将分子或分母放大（缩小），
    11112212
    ,,,22k(k1kk(k12kkkkkk1如k
    12(kN*,k1kkk1等.
    5、一元二次不等式的解法
    2
    axbxc0(或0求一元二次不等式
    (a0,b24ac0解集的步骤：
    一化：化二次项前的系数为正数.
    二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.
    五解集：根据图象写出不等式的解集.
    规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.
    分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
    7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
    f(x
    0f(xg(x0g(x
    f(xg(x0f(x
    0g(xg(x0
    “或”（时同理）
    规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
    ⑴
    f(x0
    f(xa(a02
    f(xaf(x0
    f(xa(a02
    f(xa
    ⑵

    ⑶
    f(x0
    f(x0
    f(xg(xg(x0或
    f(x[g(x]2g(x0f(x0
    f(xg(xg(x0
    f(x[g(x]2f(x0
    f(xg(xg(x0
    f(xg(x
    ⑷
    ⑸
    规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
    9、指数不等式的解法：⑴当a1时,a
    f(x
    ag(xf(xg(x
    f(xg(xaaf(xg(x0a1⑵当时,
    规律：根据指数函数的性质转化.
    10、对数不等式的解法
    ⑴当a1时,
    f(x0
    logaf(xlogag(xg(x0
    f(xg(x

    ⑵当0a1时,
    f(x0
    logaf(xlogag(xg(x0.
    f(xg(x

    规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：
    a(a0a.
    a(a0⑴定义法：
    ⑵平方法：
    f(xg(xf2(xg2(x.

    ⑶同解变形法，其同解定理有：①②
    xaaxa(a0;


    xaxa或xa(a0;

    ③
    f(xg(xg(xf(xg(x(g(x0

    ④f(xg(xf(xg(x或f(xg(x(g(x0
    规律：关键是去掉绝对值的符号.
    12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
    规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法
    解形如axbxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题
    ⑴不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;
    22
    a0
    0.②当a0时
    ⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a0时b0,c0;
    2
    a0
    0.②当a0时
    f(xmaxa;
    ⑶f(xa恒成立
    f(xa恒成立f(xmaxa;f(xmina;⑷f(xa恒成立
    f(xa恒成立f(xmina.
    15、线性规划问题
    常见的目标函数的类型：

    ①“截距”型：zAxBy;
    z
    ②“斜率”型：
    yyb
    z;x或xa
    2222
    zxy;zxy③“距离”型：或22
    z(xa2(yb2或z(xa(yb.
    在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

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