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1．5　定积分的概念

课时作业11　曲边梯形的面积、汽车行驶的路程

知识点一 曲边梯形的面积

1.把区间[1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为(　　)

A.13d68a960d512ecdbb302fc3418bedf1.png B.2848e6339cb0dc79a1a31f1116e2e68a.png C.9eadb2f4207f67110cfe4712103f94ca.png D.25e41a8ab3fd9a91358a97d2d16c6fdd.png

答案　B

解析　区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为2848e6339cb0dc79a1a31f1116e2e68a.png.

2．把区间[a，b](a<b)n等分之后，第i个小区间是(　　)

A.b87bb1940cad276b68f57291e1295c0d.png

B.8f9f7c0665648c279c440f2bab2cc574.png

C.7099d96112ebb3daddff5efb65ce1be6.png

D.bb84be3c5ae4b08be50d05854ccabc67.png

答案　D

解析　区间[a，b](a<b)的长度为(b－a)，n等分之后，每个小区间长度均为15c93e57591fd64d038e62696303a767.png，第i个小区间是bb84be3c5ae4b08be50d05854ccabc67.png(i＝1,2，…，n)．

3．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．

答案　0.33

解析　由题意得

S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33.

知识点二 汽车行驶的路程

4.物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算时间在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则路程近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为________km.

答案　66

解析　以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得路程近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．

5．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．

解　(1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．

把时间[0，t]分成n个小区间，则第i个小区间为40f34a874ae64e8628e2009d306c9a6f.png(i＝1,2，…，n)，

每个小区间所表示的时间段Δt＝eeb99ee8a2be6d23d654e0956541dbbb.png－fc7d3945e7ba6b97f0b97df4d2729d7e.pngt＝ead9a158cd3aeb0eaa31088ae83fd5ce.png，

在各个小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．

(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．

在40f34a874ae64e8628e2009d306c9a6f.png上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝g·b9e8b6c79dc2e7b3329b4c2ecf55b98f.pngt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝ead9a158cd3aeb0eaa31088ae83fd5ce.png内所经过的距离可近似表示为

Δsi≈g·b9e8b6c79dc2e7b3329b4c2ecf55b98f.pngt·ead9a158cd3aeb0eaa31088ae83fd5ce.png(i＝1,2，…，n)．

(3)求和：sn＝fbd2e79e9423ff8364c2042d1fe6a63e.pngΔsi＝fbd2e79e9423ff8364c2042d1fe6a63e.pngg·fc7d3945e7ba6b97f0b97df4d2729d7e.pngt·ead9a158cd3aeb0eaa31088ae83fd5ce.png

＝1e66b4291ef464a23fa36fa38ec3c455.png[0＋1＋2＋…＋(n－1)]

＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnggt21355e7edeac23da4b2eac056417ed51c.png.

(4)取极限：s＝2c37642eb504ba076bdf019bfd244086.png df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnggt21355e7edeac23da4b2eac056417ed51c.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnggt2.

即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pnggt2.

知识点三 近似代替思想的应用

6.当n很大时，可以代替函数f(x)＝x2在区间3176aab1edd7e34e127cef489415a6be.png，509136e98efa7c9dff653a701119fb49.png上的值的有________个．

①f22560250409e1c894705cf8d87a16f3e.png；②ff9e2bed193dcd33b03afccab351f8c68.png；③f5b9174a0e375b566416a0d664d0029b9.png；④f5f8741c2c64bf92f71171052766c4bc5.png.

答案　3

解析　因为当n很大时，区间b87bb1940cad276b68f57291e1295c0d.png上的任意取值的函数值都可以代替，又因为13d68a960d512ecdbb302fc3418bedf1.png∉b87bb1940cad276b68f57291e1295c0d.png，fc7d3945e7ba6b97f0b97df4d2729d7e.png∈b87bb1940cad276b68f57291e1295c0d.png，509136e98efa7c9dff653a701119fb49.png∈b87bb1940cad276b68f57291e1295c0d.png，509136e98efa7c9dff653a701119fb49.png－25e41a8ab3fd9a91358a97d2d16c6fdd.png∈b87bb1940cad276b68f57291e1295c0d.png，

故能代替的有②③④.

一、选择题

1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上近似值等于(　　)

A．只能是左端点的函数值f(xi)

B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)

C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])

D．以上答案均正确

答案　C

解析　作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一点f(ξi)．

2．在求由x＝a，x＝b(a<b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是(　　)

①n个小曲边梯形的面积和等于S；

②n个小曲边梯形的面积和小于S；

③n个小曲边梯形的面积和大于S；

④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

答案　A

解析　n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A.

3．函数f(x)＝x2在区间60f21968e79ba24320468ff4f5526711.png上(　　)

A．f(x)的值变化很小

B．f(x)的值变化很大

C．f(x)的值不变化

D．当n很大时，f(x)的值变化很小

答案　D

解析　当n很大，即Δx很小时，在区间b87bb1940cad276b68f57291e1295c0d.png上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数．

4．在求由曲线y＝b94ebb7591e5056f271e306e51125387.png与直线x＝1，x＝3，y＝0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i个小曲边梯形的面积ΔSi约等于(　　)

A.1d0b5a591f3a5e3a891212729543fe31.png B.680db7b016b3c9496c65f12728984bb0.png

C.405ea5c04aab787ec215baae1d791d5e.png D.f88c447249b8472a56f431028008c83d.png

答案　A

解析　每个小区间长度为2848e6339cb0dc79a1a31f1116e2e68a.png，第i个小区间为

468e2592e81011af108ccc13581eea36.png，因此第i个小曲边梯形的面积ΔSi≈bc0b8b5c029c599b8e055fedaad7e925.png·2848e6339cb0dc79a1a31f1116e2e68a.png＝1d0b5a591f3a5e3a891212729543fe31.png.

5．在等分区间的情况下，f(x)＝598da3eda47eb0f13ef56c39710b3960.png(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是(　　)

A．li0ab89b1b1be1843f8b28c3d58d33eaa4.png407bc92bbbc702898248fa9f0bb13ece.png 1bfbce4f6bd10b2eff58f0ca79bccd49.png

B．li0ab89b1b1be1843f8b28c3d58d33eaa4.png407bc92bbbc702898248fa9f0bb13ece.png 45b3bd90fd24bf179b40ab1c14a26892.png

C．li0ab89b1b1be1843f8b28c3d58d33eaa4.png407bc92bbbc702898248fa9f0bb13ece.png 66aee4c1c8d6638556a425307e6f6275.png

D．li0ab89b1b1be1843f8b28c3d58d33eaa4.png407bc92bbbc702898248fa9f0bb13ece.png 4ae8bf72a0c97fa168654959c45d3728.png

答案　B

解析　若将区间[0,2]n等分，则每一区间的长度为2848e6339cb0dc79a1a31f1116e2e68a.png，第i个区间为1f604490f0c5a8201359d88012692998.png，若取每一区间的右端点进行近似代替，则和式极限形式为li78f26384ffcb31f23603e31c68376fff.png407bc92bbbc702898248fa9f0bb13ece.png 45b3bd90fd24bf179b40ab1c14a26892.png.

二、填空题

6．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．

答案　55

解析　∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.

∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.

7．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为__________、__________.

答案　3.92　5.52

解析　分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．

S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；

S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.

8．若做变速直线运动的物体V(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为________．

答案　3

解析　将区间[0，a]n等分，记第i个区间为f9b55b5c04584df3477afc92f2b0fd8e.png

31d4746ab5130992caf72d9be2f3aaf4.png(i＝1,2，…，n)，此区间长为1324afb6316060d75a82f722a12ef7a3.png，用小矩形面积a0d5813966a76739cbcbe060ed9104cd.png2·4a5fd4107ed99c5f8687525414d3ed86.png近似代替相应的小曲边梯形的面积，则decbb52b1655430048d636b1c02f7681.pnga0d5813966a76739cbcbe060ed9104cd.png2·4a5fd4107ed99c5f8687525414d3ed86.png＝ae384c8a22dc7c7071f4b292119287f9.png·(12＋22＋…＋n2)＝4634ebf074d15ce1cfeb5232834dbb03.png3beb39052d48a50aa1282d5f7d04386e.pngb5b1595feb20c07829089c92166cf3c2.png近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．

依题意得2c37642eb504ba076bdf019bfd244086.png 3d9b6b7b3e9d3e1f5886e96f1ed40dd0.png3beb39052d48a50aa1282d5f7d04386e.pngb5b1595feb20c07829089c92166cf3c2.png＝9，

∴3d9b6b7b3e9d3e1f5886e96f1ed40dd0.png＝9，解得a＝3.

三、解答题

9．汽车做变速直线运动，在时刻t的速度(单位：km/h)为v(t)＝t2＋2，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？

解　将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为90a448c7677e3b95f6037d09a5600b4f.png(i＝1,2，…，n)．

第i个时间区间的路程的近似值为

Δξi≈Δξi′＝v(t)·f0b5af76d52e010a8022aa5e5f5e579d.png＝v653d1e07d9f6cbe1c455d017fa32b67c.png·13d68a960d512ecdbb302fc3418bedf1.png

＝9eadb2f4207f67110cfe4712103f94ca.png＋b025c5e98adb79a9d1b9cd0a2821ede4.png＋5dc245cea5e0d4bcf5ac2fccc823c6ea.png，

于是sn＝fbd2e79e9423ff8364c2042d1fe6a63e.pngΔξi′＝fbd2e79e9423ff8364c2042d1fe6a63e.png ec1229c344ef5cc67022253794881838.png

＝n·9eadb2f4207f67110cfe4712103f94ca.png＋e48f34b053c0445daec1d995dae9d5eb.png·[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋8939066480c8c464925c0d78870c6499.png[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]

＝3＋e48f34b053c0445daec1d995dae9d5eb.png·c25c8a07ef92a152a5ca0bf40f25b50f.png＋8939066480c8c464925c0d78870c6499.png·85138dbca0715d0dcfa35a4fe8f4b4e5.png

＝3＋1806f652218f2870e5b8e6031ab36b77.png＋7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png1806f652218f2870e5b8e6031ab36b77.pngcfc287256f1b4c46d50491bdd8bacdcc.png.

所以s＝li78f26384ffcb31f23603e31c68376fff.png sn＝li1df12f12783fba161a8b6c2320fd91e9.png 5b654b09f70b48d9a81ae18611adfa1a.png3＋30a1d8c90be5839f6834c45b937a8c4a.png1－13d68a960d512ecdbb302fc3418bedf1.pnge9f1865913450e429603af5f98732353.png＋7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png30a1d8c90be5839f6834c45b937a8c4a.png1－13d68a960d512ecdbb302fc3418bedf1.pnge9f1865913450e429603af5f98732353.png30a1d8c90be5839f6834c45b937a8c4a.png1－25e41a8ab3fd9a91358a97d2d16c6fdd.pnge9f1865913450e429603af5f98732353.pngabbe2cec36a36af8d3f8876b5c50ba9a.png＝1f20e67538b8762a4ee7f587615b1f26.png.

故这段时间行驶的路程为1f20e67538b8762a4ee7f587615b1f26.png km.

10．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积．

解　(1)分割

将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0,1]等分成n个小区间：c771c81e4ff0b9be4ab185b3cdc7aa29.png，32427dbdbc2ca6a3ac920faaf602be90.png，…，6cb4b5316f8cc81725a92303d713b06b.png，

记第i个区间为b87bb1940cad276b68f57291e1295c0d.png(i＝1,2，…，n)，其长度为

Δx＝509136e98efa7c9dff653a701119fb49.png－028590b76d79707cf8c7608fc61a9102.png＝13d68a960d512ecdbb302fc3418bedf1.png.

把每个小曲边梯形的面积记为

ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.

(2)近似代替

根据题意可得第i个小曲边梯形的面积

ΔSi＝50e2a1ecda326e2578280dc9db77ca12.png

＝1cdf77dbc689cc6cb5af4c48c0214ac8.png

＝114059845779392dadad7b6ad40ff694.png·9e117763b7c0d27c9ad311cae3b70cba.png(i＝1,2，…，n)．

(3)求和

把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n个小矩形的面积的和

Sn＝c9d4b1c410bdbfc9ee7daaeed0fc019d.pngbc82ae0a986a6608eacaf707456046d9.png＝decbb52b1655430048d636b1c02f7681.png114059845779392dadad7b6ad40ff694.png·9e117763b7c0d27c9ad311cae3b70cba.png＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png1ceab818d5e09b3c5ea1b0428ff541b2.png，

从而得到所求图形面积的近似值S≈fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png·1ceab818d5e09b3c5ea1b0428ff541b2.png.

(4)取极限

S＝2c37642eb504ba076bdf019bfd244086.png fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png·1ceab818d5e09b3c5ea1b0428ff541b2.png＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png，

即直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积为fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png.