异面直线上两点间的距离公式的应用

异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步加强，但仍只以例题的形式分散于多个地方，一般不会引起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。

一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a、b是两条异面直线，夹角为，MN是公垂线，P、Q分别是a、b上的点，则由向量知识得： （1）其中，若MN=d,MP＝ｍ，NQ=n,PQ=ｌ则ｌ= (2)，公式（1）、（2）分别是异面直线上两点间的向量公式，数量公式，基本构图为两条异面直线及公垂线，符合上述基本构图即数量关系，即可用公式来解决问题，下面介绍几种常见用法

二、公式的应用

1.求异面直线上两点间的距离

例1，如图2:600的二面角的棱上有A,B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于A,B，已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD的长？

分析：AC，BD是两异面直线，AB是公垂线，AC与BD的夹角即是二面角的平面角，=60,0符合基本构图即数量关系，代公式即得CD=

2.求异面直线的距离

由公式（2）变形得d=

3.求异面直线的夹角

由公式（2）变形得cos=

4.求二面角

在直角坐标系xoy中A（-2,3），B（3，-2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后

，求的大小？

分析：分别过A、B作AAˊ⊥x轴于Aˊ，BBˊ⊥x轴于Bˊ，翻折后，AAˊ与BBˊ为异面直线，AˊBˊ为公垂线，而' altImg='e0c29bb02170ccaf203b69ecc2cb2d3a.png' w='113' h='37' class='_1'>=，

AAˊ=3，AˊBˊ=5，BˊB=2

则=

=

∴cos' altImg='9eab1806dabd5012595d609146de02cb.png' w='113' h='37' class='_1'>=∴' altImg='9eab1806dabd5012595d609146de02cb.png' w='113' h='37' class='_1'>=600∴=1200

5.求直线与平面所成的角

如图4，线段AB在平面内，线段AC⊥面，BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面所成的角

分析：图中AC，BD是两条异面直线，AB是公垂线段，符合基本构图，又直线BD与平面所成的角与异面直线AC，BD所成的角满足关系：sin=利用上述关系及公式即可得出=300