特殊的锐角三角函数问题

初中数学在三角比相关内容中，重点学习了三个特殊的锐角(30°,45°,60°)三角比;对于这三个角度的正弦值、余弦值、正切值，教材运用相关三角比的定义和两个特殊的三角形(含30°与45°角的直角三角形)，非常方便的求出了相关角度的三角比值.那么，除了这三个角之外，运用初中数学现有的数学知识，还有哪些特殊角度能够通过代数运算得出相关的三角比呢?

两个利器打造半角公式:

利器一 角平分线公式+二元一次方程组

角平分线定理:如图1.在中，是的角平分线，交于点，则有(证明略).

题1 求15°;75°; 22.5°;67.5°的正切值.

解 如图2，在Rt中，平分，则.

设，则有.

根据角平分线定理，可知,

,

.

根据定义,可得到,

.

同理，运用内角为45°的直角三角形(如图3)，即可求出

.

题2 已知一个角的正切值，求这个角的半角的正切值.

已知:锐角满足，求的值.

解 如图3，在Rt中，平分，则.

设，根据及勾股定理，得.

.

.

评注 运用此运算模式，可以由已知的一个角的正切值求出其半角的正切值.

题3 推导半角公式.

如图3 , Rt中，若设长度为单位1，，则.

，

.

拓展 根据以上方法，还可以求出相关角度的正弦、余弦的三角比，以及已知一个角的三角比可以求出其半角的三角比.所以，类似7.5°;11.25°等角度都可以求出，只不过在表达上可能非常复杂，甚至是根号下套有根号.

利器二 构造等腰三角形法

方法一:底角半角法

题1 求15°; 75°; 22. 5°; 67.5°的正切值.

如图4，在Rt中，，求tan 15° , tan 75 °.

解 如图4，延长至点，使得.设，则有

，，

，.

评注 此方法主要构造一个底角为直角三角形一锐角半角的等腰三角形，利用勾股定理和锐角三角比的定义计算得到结论.如果将三角形换成45°内角的直角三角形，可以求出22. 5°与67. 5°的锐角三角比.

题2 已知一个角的正切值，求这个角的半角的正切值.

已知:锐角满足，求的值.

解 如图4，在Rt中，，延长至点，使得.

设，

根据及勾股定理，有，，

.

题3 推导半角公式.

图4中，令的长度为单位1，

则，.

方法二:顶角丰角法

题1 求15°; 75°; 22.5°; 67.5°的正切值.

解 如图5，构造顶角为30°的等腰三角形，过点作于点,

则,

.

不妨设，则有，，

，

，.

22. 5°与67. 5°角只需构造顶角为45°的等腰三角形，按照同样的方法即可求得.

题2 已知一个角的正切值，求这个角的半角的正切值.

已知:锐角满足，求的值.

解 如图5 ,中于点，则

.

由，可设，则，

.

题3 推导半角公式.

图5中，若设为单位1,则,

.

这样，便得出了第二个半角公式，即.

.

所以，可以从不同的角度，得出不同的半角公式.

评注 上面几种方法各有所长，最后一种方法相对而言更简洁明了.

借助黄金三角形与黄金比，可以得出若干个特殊角的三角比.

如图6，在中，若，类似这样的等腰三角形称为“黄金三角形”.黄金三角形的低与腰的比值即为黄金比:. (不再证明，后面直接用此结论)

如图6，作的平分线交于点.

,

,

∽,

.

设

则，

,

.

点评 利用半角公式以及上面图形的组合，可以表示出更多的特殊角及其半角的锐角三角比，只不过结果或许变得越来越复杂了.