直线和圆的位置关系

重难点突破

一、直线和圆位置关系的分类及数量刻画

突破建议：

1．为了更好地帮助学生理解直线和圆的三种位置关系，教学中教师应该抓住现实生活中的具体实例，向学生展示；也可以从动态角度看，将直线和圆作相对运动，在动态变化中观察体会直线和圆的三种位置关系．

2．教学中，教师可借助信息化手段，演示直线和圆的位置变化，利用计算机软件的测量功能，实时测量圆半径的大小和圆心到直线的距离，并测算它们的数量关系，以帮助学生认识其中的规律．

例1　已知⊙O的半径r=5cm，圆心O到直线l到的距离为d，则

(1)当d=7cm时，直线l与⊙O            ；

(2)当d=5cm时，直线l与⊙O            ；

(3)当直线l与⊙O相交时，直线l与⊙O有         个公共点，d的取值范围是            ．

解析：

（1）、（2）两个小题直接由数量关系进行位置关系的判断，而第（3）小题则是从位置关系出发，进而推得d与r的数量关系，从不同角度设计直线和圆的位置关系问题，可以加深学生的理解．     

例2　如图1，已知Rt△ABC的斜边，直角边．

(1)以为圆心，半径分别为2cm，4cm的两个圆与直线有怎样的位置关系？

(2)以B为圆心，当半径为多长时，与相切？

解析：

第（1）题先由勾股定理求得BC边的长为3cm,即圆心B到直线AC的距离为3cm,再由其与半径的数量关系进行位置关系的判断，分别为相离和相交；第（2）小题则是从位置关系出发，进而推得BC与r的数量关系，从两个角度设计问题，可以加深学生对直线和圆位置关系的理解．     

二、直线和圆位置关系的判定与性质

突破建议：

1．在研究直线和圆的位置关系时，是从其几何特征（公共点的个数）和代数特性（圆心到直线的距离与半径的关系）两个角度来刻画的．教学中可以类比点与圆的位置关系，让学生思考直线和圆有怎样的位置关系，以强化分类讨论问题的思想．在师生共同总结归纳三种等价关系的结论后，教师应该设计一些不同形式的训练习题，从不同角度加强直线和圆位置关系的理解．例如可以通过编制不同类型的习题，如判断题、选择题等及时检测学生对知识的理解掌握情况．

2．在运用直线和圆的位置关系的判定与性质解决综合性较强的问题时，要注意前后知识的联系，并能做到用运动变化的观点看待问题．在解决具体问题过程中，始终把握好两个关系（位置关系与数量关系）之间的等价关系．

例3　如图2，已知∠AOB=30°，M为OA边上一点，以M为圆心，2 cm为半径作⊙M．若点M在OA边上运动，则当⊙M与OB相切时，求OM的长．

图2

解析：作MP⊥OB，当⊙M与OB相切时，意味着点M到直线OB的距离等于⊙M的半径，即MP=2cm，因为∠AOB=30°，∠MPO=90°，所以OM=4cm．本题将动态变化的图形静态化，综合使用了含特殊角的直角三角形的性质及直线和圆位置关系的判定，从而解决问题．